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Aufgaben

Löse folgende Gleichung. (4 Punkte)

%%0,8\cdot(7,5x-12)-10x+51,6=6-16\cdot(13x-40,5)%%

Bei dieser Aufgabe musst du eine lineare Gleichung lösen. Dafür musst du hier Klammern ausmultiplieren und Brüche multiplizieren und addieren können.

%%0,8\cdot(7,5x-12)-10x+51,6=6-16\cdot(13x-40,5)%%

Multipliziere zuerst die Klammern aus.

%%6x-9,6-10x+51,6=6-208x+648%%

Addiere auf beiden Seiten jeweils getrennt die %%x%%-Ausdrücke und die Zahlen (ohne %%x%%).

%%-4x+42=654-208x\qquad|+208x-42%%

Addiere auf beiden Seiten %%208x%% und subtrahiere %%42%%, um Zahlen und Ausdrücke mit %%x%% auf beiden Seiten zu trennen.

%%204x=612 \qquad|:204%%

Teile durch den Faktor %%204%%.

%%x=3%%

Die Lösung ist %%x=3%%.

Mona und ihre Freundin Kati interessieren sich beide für Motorroller. (4 Punkte)
a) Mona bekommt folgende zwei Angebote:
Grafik zu Angeboten
Ermittle, welches dieser beiden Angebote günstiger ist.
b) Kati kauft einen Roller, der von 4100 € auf 3567 € reduziert wurde.
Berechne, wie viel Prozent der Rabatt beträgt.
c) Um den Roller zu kaufen, muss Kati 10 Monate lang einen Kredit in Höhe von 3300 € zu einem Zinssatz von 4,5 % aufnehmen.
Berechne die tatsächlichen Anschaffungskosten für Katis Roller.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mithilfe des Dreisatzes

Teilaufgabe a)

Angebot 1

Ermittle, wie viel einem Prozent entspricht, indem du den Gesamtpreis 42754275€ durch 100100 teilst.
4275:100=42,754275€:100=42,75€
Das Angebot kostet 12%12\% weniger, also multipliziere den Betrag für ein Prozent mit 1212.
42,7512=51342,75€\cdot 12=513€
Der Motorroller kostet also 513513€ weniger. Berechne den neuen Preis:
4275513=37624275€-513€=3762€
Das Angebot 1 gibt einen neuen Preis von 37623762€.

Angebot 2

Gehe für Angebot zwei genauso vor:
Ermittle, wie viel einem Prozent entspricht, indem du den Gesamtpreis 39953995€ durch 100100 teilst.
3995:100=39,953995€:100=39,95€
Das Angebot kostet 3%3\% weniger, also multipliziere den Betrag für ein Prozent mit 33.
39,953=119,8539,95€\cdot 3=119,85€
Der Motorroller kostet also 119,85119,85€ weniger. Berechne den neuen Preis:
3995119,85=3875,153995€-119,85€=3875,15€
Das Angebot 2 gibt einen neuen Preis von 3875,153875,15€. Dieser Preis ist höher als der von Angebot 1. Also ist das Angebot 1 besser.

Teilaufgabe b)

100%100\% entsprechen dem ursprünglichen Preis von 41004100€. Du sollst am Ende die Prozentzahl an Rabatt berechnen, also solltest du die Prozentzahl pro Euro berechnen. Teile deswegen 100100 durch 41004100€.
100%:4100=0,02439%100\%:4100=0,02439\% 
Rechne aus, wie viel Kati weniger gezahlt hat.
41003567=5334100€-3567€=533€
Multipliziere das mit dem Prozentbetrag pro Euro:
0,02439%533=13%0,02439\%\cdot533=13\% 
Der Rabatt beträgt 13%13\,\% .

Teilaufgabe c)

Berechne, wie viel einem Prozent entspricht, indem du den Gesamtbetrag 33003300€ durch 100100 teilst.
3300:100=333300€:100=33€
Multipliziere die Prozentzahl 4,54,5 mit dem Betrag pro Prozent 3333€.
4,533=148,504,5\cdot 33€=148,50€
Das sind die Zinsen für ein ganzes Jahr mit 12 Monaten. Multipliziere mit 1012\frac{10}{12}, um den richtigen Betrag für 10 Monate zu erhalten.
148,501012=123,75148,50€\cdot \frac{10}{12}=123,75€
Die tatsächlichen Anschaffungskosten erhältst du, wenn du die Zinskosten durch den Kredit noch addierst.
3567+123,75=3690,753567€+123,75€=3690,75€
Der Roller hat 3690,753690,75€ gekostet.
Die nachstehende Abbildung zeigt einen Richtungspfeil. (4 Punkte)
Pfeilskizze
a) Die dunkel gefärbten Flächen werden mit reflektierender Folie beklebt.
Berechne, wie viele m2m^2 Folie aufgeklebt werden.
b) Berechne die Länge der Strecke s in cm.

Lösung zur Teilaufgabe a)

Für diese Teilaufgabe brauchst du die Flächeninhaltsformel eines Parallelogramms.
A=ahA=a\cdot h
Der dunkle Teil des Pfeils besteht aus 88 gleich großen Parallelogrammen. Für die Berechnung des Flächeninhalts musst du einerseits die Höhe und andrerseits die Grundseite berechnen.
Die Höhe ist die halbe Gesamthöhe des Pfeils: h=40:2=20h=40:2=20
Für die Länge der Grundseite zählst du die Anzahl an Parallelogrammseiten entlang der Strecke von 140140. Es sind 77 Parallelogramme, also hat ein Parallelogramm eine Grundseite von 140:7=20140:7=20.
Parallelogramm
Ein Parallelogramm hat also eine Fläche von
A=ah=2020=400cm2A=a\cdot h=20\cdot 20=400 \,\text{cm}^2
88 Parallelogramme und damit der gesamte Pfeil haben also eine Fläche von 400cm28=3200cm2=0,32m²400 \,\text{cm}^2\cdot 8= 3200\,\text{cm}^2=0,32m².

Lösung zur Teilaufgabe b)

Hier benötigst du den Satz des Pythagoras.
In dem rechtwinkligen Dreieck sind hh und aa die Katheten und ss die Hypothenuse. Mit diesen Informationen kannst du den Satz des Pythagoras aufstellen.
Rechtwinkliges Dreieck
s2=h2+a2s^2=h^2+a^2
Setze die Werte ein.
s2=(20cm)2+(20cm)2=800cm²s^2=(20 \,\text{cm})^2+(20 \,\text{cm})^2=800 \,\text{cm²}
Ziehe die Wurzel.
s28,28cms\approx28,28\,\text{cm}
Die Strecke ss ist 28,28cm28,28\,\text{cm} lang.
Aus einem Holzwürfel soll ein möglichst großer Zylinder hergestellt werden (sieheSkizze). (4 Punkte)
Zylinder aus Holzwürfel
a) Berechne das Volumen des Holzes, das dafür entfernt werden muss.
b) Ermittle den Oberflächeninhalt des entstehenden Zylinders.

Lösung zur Teilaufgabe a)

Hier brauchst du die Volumenformeln für Würfel und Zylinder.
Das Material, das du entfernen musst, ist das Volumen des Würfels minus das Volumen des Zylinders.
Vges=VQuaderVZylinderV_{ges}=V_{Quader}-V_{Zylinder}
Setze die Formeln für Quader und Zylinder ein.
Vges=a3r2πhV_{ges}=a^3- r^2\cdot \pi \cdot h
Setze die Werte ein. Die Seitenlänge des Würfels beträgt a=20cma=20\,\text{cm}, genau wie die Höhe des Zylinders h=20cmh=20\,\text{cm}. Der Radius des Zylinders ist die Hälfte einer Seitenlänge r=20cm:2=10cmr=20\,\text{cm}:2=10\,\text{cm}.
Vges=(20cm)3(10cm)2π20cmV_{ges}=(20\,\text{cm})^3-(10\,\text{cm})^2\cdot \pi \cdot 20\,\text{cm}
Rechne es aus.
Vges1717cm3V_{ges}\approx 1717\,\text{cm}^3
Das überflüssige Volumen ist 1717cm31717\,\text{cm}^3

Lösung zur Teilaufgabe b)

Hier ist die Kenntnis der Oberflächenformel des Zylinders nützlich.
OZylinder=2r2π+2rπhO_\text{Zylinder}=2 r^2\pi+2rπh
Setze rr und hh wie in der Aufgabe oben ein.
OZylinder=2(10cm)2π+210cmπ20cmO_\text{Zylinder}=2 \cdot(10\,\text{cm})^2\pi+2\cdot 10 \,\text{cm}\cdotπ\cdot 20 \,\text{cm}
Rechne aus.
OZylinder1885cm2O_\text{Zylinder}\approx 1885\,\text{cm}^2
Der Oberflächeninhalt beträgt 1885cm21885\,\text{cm}^2.
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