Die abgebildete Figur besteht aus einem Quadrat und vier deckungsgleichen Parallelogrammen.
Berechne den gesamten Inhalt der graumarkierten Fläche.
Überlege, aus welchen Teilflächen sich die Figur zusammensetzt.

Lösung als Video

Textlösung

Die Figur setzt sich zusammen aus vier Parallelogrammen und zwei Dreiecken.AGesamt=4AP+2ADA_{Gesamt}=4⋅A_P+2⋅A_D

​Berechnung der Fläche eines Parallelogramms:

Die allgemeine Formel lautet: AP=ghA_P=g\cdot h
Die Grundseite gg ist 6 cm lang. Die Höhe können wir berechnen mit dem Satz des Pythagoras:
h2=7,52cm262cm2h=56,25cm236cm2h=20,25cm2h=4,5 cm\begin{array}{rcll} h^2&=&7,5^2\text{cm}^2−6^2\text{cm}^2\\h&=&\sqrt{56,25 \text{cm}^2−36 \text{cm}^2}\\h&=&\sqrt{20,25 \text{cm}^2}\\h&=&4,5 \text{cm}\end{array}

AP=gh=6 cm4,5 cm=27 cm\begin{array}{rcl}A_P&=&g\cdot h\\&=&6 \text{cm}\cdot 4,5 \text{cm}\\&=&27 \text{cm}\end{array}

Berechnung der Fläche der Dreiecke

Die Fläche eines Dreiecks ist hier ein Viertel des mittigen Quadrats. Die Fläche des Quadrats beträgt
A=a2=62cm2=36cm2\displaystyle \begin{array}{rcl}A_\square&=&a^2\\&=&6^2\text {cm}^2\\&=&36\text{cm}^2\end{array}
Die Fläche eines Dreiecks beträgt also AΔ=36cm2:4=9cm2A_\Delta = 36\text{cm}^2:4 = 9\text{cm}^2

Berechnung der Gesamtfläche

AGesamt=427cm2+29cm2=126cm2\begin{array}{rcl}A_\text{Gesamt}&=&4\cdot 27\text{cm}^2+2\cdot 9\text{cm}^2\\&=&126\text{cm}^2\end{array}