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Nachtermin Teil B

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Das Rechteck ABCDABCD ist die Grundfläche des Quaders ABCDEFGHABCDEFGH. Der Punkt EE liegt senkrecht über dem Punkt AA.

    Es gilt: AB=7,5cm;BC=10cm;AE=13cm\overline{AB}=7{,}5 \text{cm}; \overline{BC}=10 \text{cm}; \overline{AE}=13 \text{cm}

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Zeichnen Sie das Schrägbild des Quaders ABCDEFGHABCDEFGH, wobei die Strecke [AB][AB] auf der Schrägbildachse und AA links von BB liegen soll.

      Für die Zeichnung gilt: q=0,5; ω=45°q=0{,}5;\ \omega=45\degree.

      Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels EBAEBA.

      [Ergebnis: EBA=60,02°\sphericalangle EBA = 60{,}02 \degree]

    2. Punkte PnP_n liegen auf der Strecke [BE][BE]. Die Winkel BAPnBAP_n haben das Maß φ\varphi mit φ]0°;90°]\varphi \in ]0 \degree; 90 \degree].

      Die Punkte PnP_n sind die Spitzen von Pyramiden ABCDPnABCDP_n mit der Grundfläche ABCDABCD und den Höhen [PnTn][P_nT_n].

      Zeichnen Sie die Strecke [BE][BE] sowie die Pyramide ABCDP1ABCDP_1 für φ=55°\varphi=55 \degree und ihre Höhe [P1T1][P_1T_1] in die Zeichnung zu a.) ein.

    3. Zeigen Sie durch Rechnung, dass für das Volumen VV der Pyramiden ABCDPnABCDP_n in Abhängigkeit von φ\varphi gilt:

      [Teilergebnis: APn(φ)=6,5sin(φ+60,02°)cm3\overline{AP_n}(\varphi) = \frac{6{,}5}{\sin (\varphi + 60{,}02 \degree)}\text{cm}^3]

    4. Das gleichschenklige Dreieck ADP2ADP_2 hat die Basis [DP2][DP_2].

      Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide ABCDP2ABCDP_2 am Volumen des Quaders ABCDEFGHABCDEFGH.

    5. Unter den Strecken [APn][AP_n] hat die Strecke [AP3][AP_3] die minimale Länge.

      Bestimmen Sie das zugehörige Winkelmaß φ\varphi sowie die Länge der Strecke [AP3][AP_3].

      Zeichnen Sie sodann die Strecke [AP3][AP_3] in das Schrägbild zu A.) ein.

    6. Begründen Sie, dass für das Volumen der Pyramiden ABCDPnABCDP_n gilt:

      VABCDPn13VABCDEFGHV_{ABCDP_n}\le \frac{1}{3}\cdot V_{ABCDEFGH}

  2. 2

    Der Punkt A(20,5)A(-2|0{,}5) ist gemeinsamer Eckpunkt von Rauten ABnCnDnAB_nC_nD_n. Die Eckpunkte Bn(x1,5x+1,5)B_n(x|-1{,}5x+1{,}5) der Rauten ABnCnDnAB_nC_nD_n liegen auf der Geraden gg mit der Gleichung y=1,5x+1,5y=-1{,}5x+1{,}5 mit G=R×R\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}.

    Es gilt: BnADn=60\sphericalangle B_nAD_n=60^\circ.

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Zeichnen Sie die Gerade gg sowie die Rauten AB1C1D1AB_1C_1D_1 für x=0,5x=-0{,}5 und AB2C2D2AB_2C_2D_2 für x=2x=2 in ein Koordinatensystem.

      Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; 4x7; 2y51 ~\text{cm};~-4\le x\le 7;~-2\le y\le 5

    2. Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten der Punkte DnD_n in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte BnB_n.

      [[Ergebnis: Dn(1,80x1,870,12x+2,73)]D_n(1{,}80x-1{,}87|0{,}12x+2{,}73)]

    3. Bestimmen Sie die Gleichung des Trägergraphen hh der Punkte DnD_n und zeichnen Sie sodann den Trägergraphen hh in das Koordinatensystem zur Teilaufgabe (a) ein.

      [[Ergebnis: h: y=0,07x+2,85]h:~y=0{,}07x+2{,}85]

    4. Zeigen Sie, dass für den Umfang uu der Rauten ABnCnDnAB_nC_nD_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte BnB_n gilt: u(x)=52x2+16x+80 LEu(x)=\sqrt{52x^2+16x+80}~\text{LE}.

    5. Der Punkt B3B_3 der Raute AB3C3D3AB_3C_3D_3 liegt auf dem Trägergraphen hh der Punkte DnD_n.

      Berechnen Sie den Umfang der Raute AB3C3D3AB_3C_3D_3.

    6. Die Diagonale [B4D4][B_4D_4] der Raute AB4C4D4AB_4C_4D_4 ist parallel zur yy-Achse.

      Bestimmen Sie den zugehörigen Wert für xx und geben Sie den Flächeninhalt der Raute AB4C4D4AB_4C_4D_4 an.


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