Aufgaben

A 1.0 Trapeze %%AB_nCD%% rotieren um die Achse %%AD%%. Die Winkel %%DCB_n%% haben das Maß %%\varphi%% mit %%\varphi \in \left] 45^{\circ}; 90^{\circ} \right[%%.

Es gilt: %%\overline{AD} = 4 \, \text{cm}%%; %%\overline{CD} = 4 \, \text{cm}%%; %%\sphericalangle ADC= \sphericalangle B_nAD = 90^{\circ}%%.

Die Zeichnung zeigt das Trapez %%AB_1CD%% für %%\varphi = 80^{\circ}%%.

A 1.1 Zeichnen Sie das Trapez %%AB_2CD%% für %%\varphi=55^{\circ}%% in die Zeichnung zu %%A1.0%% ein.

(1 Punkt)

A 1.2 Bestätigen Sie die untere Intervallgrenze für %%\varphi%% und begründen Sie sodann, dass das Volumen %%V%% der Rotationskörper gilt: %%V>\dfrac{64}{3} \pi \, \text{cm}^3%%.

(2 Punkte)

A 1.3 Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken %%[AB_n]%% in Abhängigkeit von %%\varphi%% gilt:

%%\overline{AB_n}= \left( 4 - \dfrac{4}{\text{tan} \varphi} \right) \, \text{cm}%%

(2 Punkte)

Lösung zur Teilaufgabe A 1.1

Einzeichnen des Trapezes

Das Trapez %%AB_2CD%% mit dem Winkel %%\varphi=55^{\circ}%% besitzt dieselben Streckenlängen %%\overline{AD}%% und %%\overline{CD}%% wie das Trapez %%AB_1CD%%. An diesen Strecken musst du also nichts ändern.

Auch die Winkel %%\sphericalangle DAB_n%% und %%\sphericalangle CDA%% bleiben gleich.

Nur der Winkel %%\varphi%% muss verändert werden und so der neue Punkt %%B_2%% gefunden werden.

Trapez AB1CD

Zeichne zunächst den Winkel %%\varphi=55^{\circ}%% beim Punkt %%C%% ein.

Trapez AB1CD mit dem Punkt B2

Markiere den Schnittpunkt der Strecke %%[AB_1]%% mit dem Schenkel des Winkels %%\varphi%% als deinen Punkt %%B_2%%.

Das Trapez %%AB_2CD%% ist damit fertig eingezeichnet.

Lösung zur Teilaufgabe A 1.2

Intervallgrenze von %%\varphi%%

Die untere Intervallgrenze ist, wie angegeben, bei %%45^{\circ}%%.
Die Begründung ergibt sich, wenn du den Winkel %%\varphi=45^{\circ}%% in die Zeichnung einzeichnest.

in Trapez 45° Winkel angetragen, Verbindung von A und C

Wenn der Winkel %%\varphi%% genau %%45^{\circ}%% groß ist, wird aus dem Trapez %%AB_nCD%% ein Dreieck %%ACD%%, da der Punkt %%B_n%% auf %%A%% liegt.

Minimales Volumen

Das Volumen des Rotationskörpers von Trapezen %%AB_nCD%% wird immer größer sein, als das Volumen des Rotationskörpers des Dreiecks %%ACD%% bei der unteren Intervallgrenze von %%\varphi%%.

Stelle nun das Volumen des Rotationskörpers vom Dreieck %%ACD%% auf. Aus einem Dreieck, das um eine Achse rotiert wird ein Kegel.

%%V_{\text{Kegel}}=\dfrac{1}{3} \cdot r^2 \cdot \pi \cdot h%%

Dieser Rotationskörper dreht sich um die Achse %%AD%%. Damit erhältst du den Radius %%r=\overline{CD}=4\, \text{cm}%%.

Die Höhe beträgt %%h = \overline{AD}=4\, \text{cm}%%

%%V_{AB_nCD} > V_{\text{Kegel}}%%

%%V_{AB_nCD} > \dfrac{1}{3} \cdot (4 \, \text{cm})^2 \cdot \pi \cdot 4 \, \text{cm}%%

%%V_{AB_nCD} > \dfrac{64}{3} \cdot \pi \, \text{cm}^3%%

Das Volumen des Rotationskörpers des Trapezes %%AB_nCD%% ist also größer als %%\dfrac{64}{3} \cdot \pi \, \text{cm}^3%%.

Lösung zur Teilaufgabe A 1.3

Berechnung der Strecke %%\overline{AB_n}%%

Betrachte die Strecken im Trapez %%AB_2CD%%.

Trapez mit angetragenen Längen

Du kannst die Strecke %%\overline{AB}%% auf der Strecke %%[CD]%% abtragen und erhältst so zwei Streckenteile (in der Skizze grün und türkis markiert).

Du kannst nun die türkise Strecke %%4 \, \text{cm} - \overline{AB_n}%% mithilfe des Tangens des Winkels %%\varphi%% berechnen.

Stelle die Formel für den Tangens auf!

%%tan(\varphi)= \dfrac{4 \, \text{cm}}{4 \, \text{cm} - \overline{AB}}%%

Löse diese Gleichung nach %%\overline{AB}%% auf!

%%\text{tan}(\varphi)= \dfrac{4 \, \text{cm}}{4 \, \text{cm} - \overline{AB}}\hspace{2cm}|\cdot (4 \, \text{cm}-\overline{AB}) \hspace{1cm}|:\text{tan}(\varphi)%%


%%4 \, \text{cm} - \overline{AB} = \dfrac{4 \, \text{cm}}{\text{tan}(\varphi)} \hspace{2cm}|-4 \, \text{cm}%%

%%- \overline{AB} = -4 \, \text{cm} + \dfrac{4 \, \text{cm}}{\text{tan}(\varphi)}\hspace{1,3cm}|\cdot (-1)%%


%%\overline{AB} = 4 \, \text{cm} - \dfrac{4 \, \text{cm}}{\text{tan}(\varphi)} = \left( 4- \dfrac{4}{\text{tan}(\varphi)} \right) \text{cm}%%

Die Strecke %%[AB]%% hat die Länge %%\overline{AB} = \left( 4- \dfrac{4}{\text{tan}(\varphi)} \right) \text{cm}%%.

A 2.0 Der Punkt %%A(1\, | \, -2)%% ist gemeinsamer Eckpunkt von gleichschenkligen Dreiecken %%AB_nC_n%% mit den Schenkeln %%[AB_n]%% und %%[AC_n]%%.

Die Mittelpunkte %%M_n(x \, | \, -0,4x+2)%% der Schenkel %%[AC_n]%% liegen auf der Geraden %%g%% mit der Gleichung %%y=-0,4x+2%% (%%\mathbb{G} = \mathbb{R} \times \mathbb{R}%%).
Es gilt: %%\sphericalangle B_nAC_n = 35^{\circ}%%.

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

A 2.1 Zeichnen Sie die Gerade %%g%% sowie die Dreiecke %%AB_1C_1%% für %%x=-1,5%% und %%AB_2C_2%% für %%x=3,5%% in das Koordinatensystem ein.

Koordinatenystem

(3 Punkte)

A 2.2 Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken %%[AC_n]%% gilt:

%%\overline{AC_n} = 1,66 \cdot \overline{B_nC_n}%%

(2 Punkte)

A 2.3 Unter den Dreiecken %%AB_nC_n%% hat das Dreieck %%AB_3C_3%% die kürzesten Schenkel.
Berechnen Sie die Koordinaten des zugehörigen Mittelpunktes %%M_3%% des Schenkels %%[AC_3]%%.

(4 Punkte)

Lösung zu der Teilaufgabe A 2.1

Zeichnen der Dreiecke

Zeichne zuerst die Gerade %%g%% sowie den Punkt %%A%% in das Koordinatensystem ein.

Punkt A und Gerade g in einem Koordinatensystem

Zeichne anschließend den Punkt %%M_1%%. Dieser besitzt den %%x%%-Wert %%x=-1,5%% und liegt auf der Geraden %%g%%.

Punkt A, Gerade g und Punkt M1 im Koordinatensystem

Zeichne einen Strahl durch %%A%% und %%M_1%%. Auf diesem Strahl liegt %%C_1%%.

%%C_1%% ist genau so weit von %%M_1%% entfernt, wie %%A%% von %%M_1%% entfernt liegt.

(da %%M_1%% der Mittelpunkt der Strecke %%[AC_1]%% ist)

Gerade g und die Punkte A, C1 und M1 eingezeichnet, Gerade durch A, M1 und C1 eingezeichnet

Du kennst außerdem den Winkel %%\sphericalangle C_1AB_1%%.
Diesen Winkel kannst du bei %%A%% einzeichnen um auf den Schenkel %%[AB_1]%% zu kommen.

Gerade g, Gerade durch A und C1 und um 35° gedrehte Gerade im Koordinatensystem

Die Strecken %%[AC_1]%% und %%[AB_1]%% haben dieselbe Länge, da das Dreieck %%AB_1C_1%% gleichschenklig ist.

Zeichne den Punkt %%B_1%% ein, indem du die Länge %%\overline{AC_1}%% auf dem zweiten Schenkel des Dreiecks abträgst.

Gerade g, Gerade durch A und C1 und um 35° gedrehte Gerade im Koordinatensystem und Strecke von C1 zu B1

Das erste Dreieck ist nun fertig.

Zeichne das Dreieck %%AB_2C_2%% genau wie das Dreieck %%AB_1C_1%%. Nutze für den %%x%%-Wert von %%M_2%% %%x=3,5%%.

Die Gerade g, die Punkte M1 und M2 und die Dreiecke AB1C1, AB2C2 im Koordinatensystem

Lösung zur Teilaufgabe A 2.2

Berechnung der Strecken %%AC_n%%

Um diese Aufgabe lösen zu können benötigst du die Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks.

Insbesondere, dass die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks immer auch die Seitenhalbierende der Basis und die Winkelhalbierende des gegenüberliegenden Winkels ist.

Im Folgenden Bild, ist diese Höhe eingezeichnet:

Gerade g und Dreieck AB1C1 mit Mittelpunkt M1

Die Höhe %%h%% teilt also die Strecke %%[C_nB_n]%% in der Mitte und sie halbiert den Winkel von %%35^{\circ}%% bei %%A%%.

Du erhältst also zwei rechtwinklige Dreiecke, mit denen du die Strecke %%\overline{AC_n}%% berechnen kannst.

Stelle eine Formel für die Strecke %%\overline{AC_n}%% in Abhängigkeit von %%\frac{1}{2} \overline{B_nC_n}%% und dem halben Winkel %%17,5^{\circ}%% auf.

%%\text{sin}(17,5^{\circ})=\dfrac{\dfrac{1}{2}\overline{B_nC_n}}{\overline{AC_n}}%%

Stelle diese Formel nun nach %%\overline{AC_n}%% um.

%%\text{sin}(17,5^{\circ})=\dfrac{\dfrac{1}{2}\overline{B_nC_n}}{\overline{AC_n}} \hspace{2cm}|\cdot \overline{AC_n} \hspace{1cm}|:\text{sin}(17,5^{\circ})%%

%%\overline{AC_n} = \dfrac{\overline{B_nC_n}}{2 \cdot \text{sin}(17,5^{\circ})} = \dfrac{1}{2 \cdot \text{sin}(17,5^{\circ})} \cdot \overline{B_nC_n}%%

%%\overline{AC_n}=1,66 \cdot \overline{B_nC_n}%%

Die Strecke %%\overline{AC_n}%% steht im Verhältnis zu %%\overline{B_nC_n}%% mit %%\overline{AC_n}=1,66 \cdot \overline{B_nC_n}%%.

Lösung zur Teilaufgabe A 2.3

Berechnung von %%M_3%%

Gesucht ist der kürzest mögliche Schenkel unter den gegebenen Voraussetzungen.

Du weißt, dass der kürzeste Schenkel auch automatisch die kürzeste Strecke %%[AM_3]%% haben muss. Du suchst nun also einen Punkt %%M_3%%, der auf der Gerade liegen muss und einen minimalen Abstand zu %%A%% hat.

Die kürzeste Verbindung von einem Punkt zu einer Geraden ist immer eine zur Gerade senkrechten Verbindung.
Diese findest du am einfachsten über eine Vektorenbetrachtung.

Der Richtungsvektor der Geraden %%g%% muss senkrecht auf den Verbindungsvektor %%\overrightarrow{AM_3}%% stehen. Das ist der Fall, wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren %%0%% ergibt.

Stelle das Skalarprodukt auf!

%%\overrightarrow{AM_3} \cdot \vec{v_g}=0%%

Der Richtungsvektor %%\vec{v_g}%% ergibt sich durch die Steigung der Geraden:

%%\vec{v_g}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -0,4 \end{array} \right)%%

Der Verbindungsvektor %%\overrightarrow{AM_3}%% ergibt sich durch %%\vec{M_3}-\vec{A}%%

%%\overrightarrow{AM_3} = \vec{M_3}-\vec{A} = \left( \begin{array}{c} x_m - 1 \\ y_m+2 \end{array} \right)%%

Du weißt außerdem, dass %%M_3%% auf der Geraden %%g%% liegt. Dadurch ergibt sich der folgende Zusammenhang von %%x_m%% und %%y_m%%:

%%y_m = -0,4 x_m +2%%

%%\overrightarrow{AM_3} =\left( \begin{array}{c} x_m - 1 \\ -0,4x_m+2 +2 \end{array} \right)%%

Betrachte nun erneut das Skalarprodukt:

%%\overrightarrow{AM_3} \cdot \vec{v_g}=0%%

%%\left( \begin{array}{c} x_m - 1 \\ -0,4x_m+4 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ -0,4 \end{array} \right)=0%%

Löse das Skalarprodukt und die daraus entstehende Gleichung nach %%x%% auf!

%%(x_m-1)\cdot 1 + (-0,4x_m+4)\cdot (-0,4) = 0%%

Vereinfache die Gleichung zunächst.

%%x_m - 1 +0,16x_m-1,6 = 0%%

%%1,16x_m -2,6 = 0%%

Löse nun nach %%x_m%% auf.

%%1,16x_m -2,6 = 0 \hspace{2cm} |+2,6%%

%%1,16x_m = 2,6 \hspace{2,8cm}|:1,16%%

%%x_m = 2,24%%

Du erhältst %%x_m=2,24%% für den %%x%%-Wert von %%M_3%%.
Berechne nun noch den %%y%%-Wert über die Geradengleichung von %%g%%.

%%y_m = -0,4 \cdot 2,24 + 2 = 1,10%%

Du erhältst den Punkt: %%M_3 (2,24\,| \, 1,10)%%.

A 3.0 Das radioaktive Isotop Cäsium-137 zerfällt mit einer Halbwertszeit von %%30%% Jahren, d.h. nach dieser Zeit ist von einer bestimmten Anfangsmasse dieses Isotops nur noch die Hälfte an Cäsium-137 vorhanden.
Der Zusammenhang zwischen der Anzahl %%x%% der Jahre seit Beginn des Zerfalls und der Masse %%y \, \text{mg}%% lässt sich näherungsweise durch eine Funktion der Form %%y=y_0 \cdot 0,5^{\frac{x}{30}}%% %%\left( \mathbb{G} = \mathbb{R}^+_0 \times \mathbb{R}^+_0; \; y_0 \in \mathbb{R}^+\right)%% darstellen, wobei %%y_0 \, \text{mg}%% die Masse zu Beginn eines Versuches darstellt. Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

A 3.1 Bei einem Langzeitversuch sind nach sechs Jahren noch %%39 \, \text{mg}%% des Isotops Cäsium-137 nachweisbar. Bestimmen Sie rechnerisch die Masse, die zu Beginn des Versuches vorhanden war.

(2 Punkte)

A 3.2 In einem anderen Versuch lässt sich der Zerfallsprozess durch die Funktion mit der Gleichung %%y=13,5 \cdot 0,5^{\frac{x}{30}}%% %%\left( \mathbb{G} = \mathbb{R}^+_0 \times \mathbb{R}^+_0 \right)%% darstellen.
Berechnen Sie, im wievielten Jahr erstmals weniger als %%8 \, \text{mg}%% des Isotops nachweisbar sind.

(2 Punkte)

A 3.3 Wie viel Prozent der ursprünglichen Masse des Isotops Cäsium-137 sind nach zehn Jahren noch vorhanden?

Kreuzen Sie die zutreffende Lösung an.

(1 Punkt)

a) %%20,63 \%%%

b) %%79,37 \% %%

c) %%66,67\% %%

d) %%83,33\% %%

e) %%33,33\% %%

Lösung zur Teilaufgabe A 3.1

Anfangsmasse

Überlege dir anhand der Formel %%y=y_0 \cdot 0,5^{\frac{x}{30}}%% welche Werte du gegeben hast und was du berechnen möchtest.

Gegeben:
%%y =\text{Masse nach bestimmmter Zeit} = 39 \, \text{mg}%%
%%x = \text{vergangene Zeit} = 6 \,\text{Jahre}%%

Gesucht:
%%y_0 = \text{Anfangsmasse}%%

Stelle die Formel mit den gegebenen Werten auf und löse sie nach der gesuchten Größe %%y_0%% auf!

%%y=y_0 \cdot 0,5^{\frac{x}{30}}%%

%%39=y_0 \cdot 0,5^{\frac{6}{30}}%%

Setze ein und vereinfache die Formel!

%%39 = y_0 \cdot 0,5^{\frac{6}{30}} \hspace{2cm} |:0,5^{\frac{6}{30}}%%

%%44,80 = y_0%%

Löse die Gleichung nach %%y_0%% auf!

Du erhältst für die Anfangsmasse einen Wert von %%44,80 \, \text{mg}%%

Lösung zur Teilaufgabe A 3.2

In dieser Aufgabe ist die Anfangsmasse %%y_0%% schon gegeben.
Es wird dieses Mal die vergangene Zeit (%%x%%) gesucht, nach der weniger als %%8 \, \text{mg}%% vorhanden sind.

Du kannst diesen Zusammenhang mithilfe einer Ungleichung beschreiben:

%%8 > y%%

%%8 > 13,5 \cdot 0,5^{\frac{x}{30}}%%

Löse diese Ungleichung nun nach %%x%% auf!

%%8 > 13,5 \cdot 0,5^{\frac{x}{30}} \hspace{2cm} |:13,5%%

%%\dfrac{8}{13,5} >0,5^{\frac{x}{30}}%%

Löse die Ungleichung mithilfe des Logarithmus!

%%\dfrac{8}{13,5} >0,5^{\frac{x}{30}}\hspace{3,3cm} |\text{log}_{0,5}(…)%%

%%\text{log}_{0,5}\left(\dfrac{8}{13,5} \right) > \dfrac{x}{30} \hspace{2cm}|\cdot 30%%

%%30 \cdot \text{log}_{0,5}\left(\dfrac{8}{13,5} \right) > x%%

%%22,65 > x%%

Im %%23.%% Jahr ist die Menge an Cäsium-137 auf unter %%8 \, \text{mg}%% gesunken.

Lösung zur Teilaufgabe A 3.3

Die Antwortmöglichkeit b) ist richtig.

Prozentanteil nach 10 Jahren

Um die Prozent der ursprünglichen Masse nach 10 Jahren zu berechnen benötigst du den hinteren Teil der Exponentialfunktion:

%%y=y_0 \cdot 0,5^{\frac{x}{30}}%%

Berechnest du von dieser Funktion %%0,5^{\frac{x}{30}}%% für %%x=10%% kommst du auf den Prozentanteil nach 10 Jahren.

%%0,5^{\frac{10}{30}}= 0,7937 = 79,37\% %%

Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video eine Schritt-für-Schritt Lösung der Aufgabe anschaun.

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