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Teil B

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B 1.0 Gegeben ist die Funktion f1\sf f_1 mit der Gleichung y=1,5log0,5(x1)\sf y=-1,5 \cdot \text{log}_{0,5}(x-1) mit G=R×R\sf \mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}.

B 1.1 Geben Sie die Definitionsmenge und die Wertemenge der Funktion f1\sf f_1 an und zeichnen Sie den Graphen der Funktion f1\sf f_1 für x[1,5;11]\sf x \in [1,5;11] in ein Koordinatensystem.

Für die Zeichnung: Längeneinheit 1cm\sf 1 \, \text{cm}; 1x12;  \sf -1 \leqq x \leqq 12; \; 6y6\sf -6 \leqq y \leqq 6.

(4 Punkte)

B 1.2 Der Graph der Funktion f1\sf f_1 wird durch Achsenspiegelung an der x\sf x-Achse und anschließender Parallelverschiebung mit dem Vektor v\sf \vec{v} auf den Graphen der Funktion f2\sf f_2 mit der Gleichung y=1,5log0,5x  \sf y=1,5 \cdot \text{log}_{0,5} x\; (G=R×R)\sf (\mathbb{G} = \mathbb{R} \times \mathbb{R}) abgebildet.

Geben Sie die Koordinaten des Verschiebungsvektors v\sf \vec{v} an und zeichnen Sie sodann den Graphen zu f2\sf f_2 für x[1,5;11]\sf x\in [1,5; 11] in das Koordinatensystem zu B1.1\sf B1.1 ein.

(3 Punkte)

B 1.3 Punkte An(x1,5log0,5x)\sf A_n(x|1,5 \cdot \text{log}_{0,5} x ) auf dem Graphen zu f2\sf f_2 haben dieselbe Abszisse x\sf x wie Punkte Cn(x1,5log0,5(x1))\sf C_n(x| -1,5 \cdot \text{log}_{0,5}(x-1)) auf dem Graphen zu f1\sf f_1. Sie sind für x>1,62\sf x>1,62 zusammen mit den Punkten Bn\sf B_n und Dn\sf D_n die Eckpunkte von Rauten AnBnCnDn\sf A_nB_nC_nD_n.

Es gilt: BnDn=6LE\sf \overline{B_nD_n}=6 \, \text{LE}.

Zeichnen Sie die Rauten A1B1C1D1\sf A_1B_1C_1D_1 für x=2,5\sf x=2,5 und A2B2C2D2\sf A_2B_2C_2D_2 für x=8,5\sf x=8,5 in das Koordinatensystem zu B1.1\sf B1.1 ein.

Zeigen Sie sodann, dass für die Länge der Strecken [AnCn]\sf [A_nC_n] in Abhängigkeit von der Abszisse x\sf x der Punkte An\sf A_n gilt: AnCn(x)=1,5log0,5(x2x)LE\sf \overline{A_nC_n}(x) = -1,5 \cdot \text{log}_{0,5} (x^2-x) \, \text{LE}.

(4 Punkte)

B 1.4 Die Raute A3B3C3D3\sf A_3B_3C_3D_3 ist ein Quadrat. Berechnen Sie die zugehörige x\sf x-Koordinate des Punktes A3\sf A_3. Runden Sie dabei auf zwei Stellen nach dem Komma.

(2 Punkte)

B 1.5 Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Koordinaten der Diagonalschnittpunkte Mn\sf M_n der Rauten AnBnCnDn\sf A_nB_nC_nD_n in Abhängigkeit von der Abszisse x\sf x der Punkte An\sf A_n gilt:

Mn(x0,75log0,5(xx1))\sf M_n \left( x | -0,75 \cdot \text{log}_{0,5} \left( \dfrac{x}{x-1}\right) \right).

(2 Punkte)

B 1.6 Geben Sie die Gleichung des Trägergraphen der Punkte Dn\sf D_n der Rauten AnBnCnDn\sf A_nB_nC_nD_n in Abhängigkeit von der Abszisse x\sf x der Punkte An\sf A_n an.

(2 Punkte)

2

B 2.0 Die Diagonalen [AC]\sf [AC] und [BD]\sf [BD] des Drachenvierecks ABCD\sf ABCD schneiden sich im Punkt K\sf K. Das Drachenviereck ABCD\sf ABCD ist die Grundfläche des geraden Prismas ABCDEFGH\sf ABCDEFGH. Der Punkt E\sf E liegt senkrecht über dem Punkt A\sf A.

Es gilt: AC=12cm;  BD=10cm;  AK=4cm;  AE=6cm\sf \overline{AC}=12 \, \text{cm}; \; \overline{BD}=10 \, \text{cm}; \; \overline{AK} = 4 \, \text{cm}; \; \overline{AE} = 6 \, \text{cm}.

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

B 2.1 Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas ABCDEFGH\sf ABCDEFGH wobei [AC]\sf [AC] auf der Schrägbildachse und der Punkt A\sf A links vom Punkt C\sf C liegen soll.

Für die Zeichnung: q=12;  ω=45\sf q = \frac{1}{2}; \; \omega =45^{\circ}

Die Strecken [EG]\sf [EG] und [FH]\sf [FH] schneiden sich im Punkt L\sf L. Berechnen Sie das Maß des Winkels LCK\sf LCK.

[Ergebnis: LCK=36,87\sf \sphericalangle LCK = 36,87^{\circ}]

(3 Punkte)

B 2.2 Punkte Pn\sf P_n liegen auf der Strecke [LC]\sf [LC]. Die Winkel CKPn\sf CKP_n haben das Maß φ\sf \varphi mit φ]0;90[\sf \varphi \in ] 0^{\circ}; 90^{\circ} [. Die Punkte Pn\sf P_n sind zusammen mit den Punkten B\sf B und D\sf D die Eckpunkte gleichschenkliger Dreiecke BDPn\sf BDP_n mit der Basis [BD]\sf [BD].

Zeichnen Sie das Dreieck BDP1\sf BDP_1 sowie die Strecke [KP1]\sf [KP_1] für φ=78\sf \varphi = 78^{\circ} in das Schrägbild zu B2.1\sf B2.1 ein.

Begründen Sie sodann, dass keines der Dreiecke BDPn\sf BDP_n gleichseitig ist.

(3 Punkte)

B 2.3 Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken [KPn]\sf [KP_n] in Abhängigkeit von φ\sf \varphi gilt:

KPn(φ)=4,80sin(φ+36,87)cm\sf \overline{KP_n}(\varphi) = \dfrac{4,80}{\text{sin} (\varphi+36,87^{\circ})} \, \text{cm}

Die Länge der Strecke [KP0]\sf [KP_0] ist minimal. Geben Sie den zugehörigen Wert für φ\sf \varphi an.

(3 Punkte)

B 2.4 Die Punkte Pn\sf P_n sind die Spitzen von Pyramiden ABCDPn\sf ABCDP_n mit der Grundfläche ABCD\sf ABCD und den Höhen [PnQn]\sf [P_nQ_n]. Die Punkte Qn\sf Q_n liegen auf der Strecke [KC]\sf [KC].

Zeichnen Sie die Pyramide ABCDP1\sf ABCDP_1 und die Höhe [P1Q1]\sf [P_1Q_1] in das Schrägbild zu B2.1\sf B2.1 ein.

Ermitteln Sie sodann durch Rechnung das Volumen V\sf V der Pyramiden ABCDPn\sf ABCDP_n in Abhängigkeit von φ\sf \varphi.

[Ergebnis: V(φ)=96sinφsin(φ+36,87)]\sf \left[ \text{Ergebnis: } V(\varphi)= \dfrac{96 \cdot \text{sin}\varphi}{\text{sin}(\varphi + 36,87^{\circ})}\right]

(3 Punkte)

B 2.5 Das Volumen der Pyramide ABCDP2\sf ABCDP_2 beträgt 96cm3\sf 96 \, \text{cm}^3.

Berechnen Sie das zugehörige Maß für φ\sf \varphi.

(3 Punkte)

B 2.6 Begründen Sie, dass die Volumina der Pyramiden ABDPn\sf ABDP_n mit der Grundfläche ABD\sf ABD und der Pyramiden BCDPn\sf BCDP_n mit der Grundfläche BCD\sf BCD stets im Verhältnis 1:2\sf 1:2 stehen.

(2 Punkte)


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