Aufgaben
B 1.0 Gegeben ist die Funktion f1f_1 mit der Gleichung y=1,5log0,5(x1)y=-1,5 \cdot \text{log}_{0,5}(x-1) mit G=R×R\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}.
B 1.1 Geben Sie die Definitionsmenge und die Wertemenge der Funktion f1f_1 an und zeichnen Sie den Graphen der Funktion f1f_1 für x[1,5;11]x \in [1,5;11] in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: Längeneinheit 1cm1 \, \text{cm}; 1x12;  -1 \leqq x \leqq 12; \; 6y6-6 \leqq y \leqq 6.
(4 Punkte)
B 1.2 Der Graph der Funktion f1f_1 wird durch Achsenspiegelung an der xx-Achse und anschließender Parallelverschiebung mit dem Vektor v\vec{v} auf den Graphen der Funktion f2f_2 mit der Gleichung y=1,5log0,5x  y=1,5 \cdot \text{log}_{0,5} x\; (G=R×R)(\mathbb{G} = \mathbb{R} \times \mathbb{R}) abgebildet. Geben Sie die Koordinaten des Verschiebungsvektors v\vec{v} an und zeichnen Sie sodann den Graphen zu f2f_2 für x[1,5;11]x\in [1,5; 11] in das Koordinatensystem zu B1.1B1.1 ein.
(3 Punkte)
B 1.3 Punkte An(x1,5log0,5x)A_n(x|1,5 \cdot \text{log}_{0,5} x ) auf dem Graphen zu f2f_2 haben dieselbe Abszisse xx wie Punkte Cn(x1,5log0,5(x1))C_n(x| -1,5 \cdot \text{log}_{0,5}(x-1)) auf dem Graphen zu f1f_1. Sie sind für x>1,62x>1,62 zusammen mit den Punkten BnB_n und DnD_n die Eckpunkte von Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n.
Es gilt: BnDn=6LE\overline{B_nD_n}=6 \, \text{LE}.
Zeichnen Sie die Rauten A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 für x=2,5x=2,5 und A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2 für x=8,5x=8,5 in das Koordinatensystem zu B1.1B1.1 ein.
Zeigen Sie sodann, dass für die Länge der Strecken [AnCn][A_nC_n] in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n gilt: AnCn(x)=1,5log0,5(x2x)LE\overline{A_nC_n}(x) = -1,5 \cdot \text{log}_{0,5} (x^2-x) \, \text{LE}.
(4 Punkte)
B 1.4 Die Raute A3B3C3D3A_3B_3C_3D_3 ist ein Quadrat. Berechnen Sie die zugehörige xx-Koordinate des Punktes A3A_3. Runden Sie dabei auf zwei Stellen nach dem Komma.
(2 Punkte)
B 1.5 Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Koordinaten der Diagonalschnittpunkte MnM_n der Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n gilt:
Mn(x0,75log0,5(xx1))M_n \left( x | -0,75 \cdot \text{log}_{0,5} \left( \dfrac{x}{x-1}\right) \right).
(2 Punkte)
B 1.6 Geben Sie die Gleichung des Trägergraphen der Punkte DnD_n der Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n an.
(2 Punkte)

Lösung zur Teilaufgabe B 1.1

Bei dieser Teilaufgabe geht es darum die Wertemenge und Definitionsmenge einer Logarithmusfunktion zu bestimmen. Anschließend soll man diese Funktion auch zeichnen.

Definitionsmenge und Wertemenge

Die Funktion f1(x)=1,5log0,5(x1)f_1(x)=-1,5 \cdot \text{log}_{0,5}(x-1) ist nur definiert, wenn das Argument des Logarithmus positiv ist. Du kannst also schnell erkennen, dass du nur Zahlen größer als 11 einsetzen darfst.
D={xx>1}\mathbb{D}=\{ x|x>1\}
Die Wertemenge ergibt sich ebenfalls durch die Eigenschaften des Logarithmus und entspricht ganz R\mathbb{R}.
W=R\mathbb{W}=\mathbb{R}

Einzeichnen in ein Koordinatensystem

Zeichne anschließend die Funktion anhand einer Wertetabelle aus deinem Taschenrechner in ein Koordinatensystem ein.
f1 im Koordinatensystem

Lösung zur Teilaufgabe B 1.2

In dieser Teilaufgabe sollst du den Verschiebungsvektor v\vec{v} bestimmen und die Funktion f2f_2 in das Koordinatensystem aus B 1.1 einzeichnen.

Bestimmung des Verschiebungsvektors

Die Achsenspiegelung des Graphen f1f_1 führt dazu, dass sich das Vorzeichen der Funktion umkehrt.
Die Verschiebung bewirkt eine Änderung des Arguments im Logarithmus. Aus x1x-1 wird hier xx. Du kannst dir vorstellen, dass die ganze Funktion um 11 in xx-Richtung nach links geschoben wird, da nicht mehr 1-1 gerechnet wird.
Der Vektor, der "Verschiebung um 11 in xx-Richtung" repräsentiert ist dann:
v=(10)\vec{v}=\left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \end{array} \right)

Einzeichnen der Funktion f2f_2

Die Funktion f2=1,5log0,5(x)f_2=1,5\cdot \text{log}_{0,5}(x) zeichnest du wieder mithilfe einer Wertetabelle in das Koordinatensystem ein.
f1 und f2 eingezeichnet im Koordinatensystem

Lösung zur Teilaufgabe B 1.3

In dieser Teilaufgabe sollst du die Rauten A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 und A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2 einzeichnen und die Länge der Strecken [AnCn][A_nC_n] in Abhängigkeit von der Abszisse xx bestimmen.

Zeichnen der Rauten A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 und A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2

Einzeichnen der Punkte A1 und C1 und die Strecke A1C1
Die Diagonalen in Rauten halbieren sich jeweils. Du kannst nun also bei der Hälfte der Strecke [A1C1][A_1C_1] ansetzen und exakt 3LE3 \, \text{LE} nach links und rechts zeichnen.
Damit kommst du zu den Punkten B1B_1 und D1D_1.
D1 und B1 eingezeichnet und die Strecken D1B1 und C1A1
Verbinde nun die Punkte miteinander um die Raute A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 zu erhalten.
Verbindung der Strecken D1A1, A1B1, B1C1 und C1D1

Wiederhole diese Schritte für die Raute A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2. Dabei nutzt du für A2A_2 und C2C_2 den xx-Wert 8,58,5.
A1B1C1D1 und A2B2C2D2 im Koordinatensystem

Berechnung der Länge der Strecken AnCn\overline{A_nC_n}

Da die Abszissen der Punkte AnA_n und CnC_n gleich groß sind, ist die Strecke [AnCn][A_nC_n] so lang, wie die Differenz ihrer yy-Werte
Berechne diese!
AnCn=1,5log0,5(x1)1,5log0,5(x)\overline{A_nC_n}=-1,5 \cdot \text{log}_{0,5}(x-1) -1,5 \cdot \text{log}_{0,5}(x)
Klammere 1,5-1,5 aus.
AnCn=1,5(log0,5(x1)+log0,5(x))\overline{A_nC_n}=-1,5 \cdot \left( \text{log}_{0,5}(x-1) + \text{log}_{0,5}(x) \right)
Forme den Term in der Klammer nach den Regeln zum Rechnen mit dem Logarithmus um. Aus der Summe wird so ein Produkt im Logarithmus.
AnCn=1,5[log0,5((x1)x)]\overline{A_nC_n}=-1,5 \cdot \left[ \text{log}_{0,5}((x-1)\cdot x) \right]
Vereinfache das Argument des Logarithmus.
AnCn=1,5log0,5(x2x)\overline{A_nC_n}=-1,5 \cdot \text{log}_{0,5}(x^2-x)

Die Strecke [AnCn][A_nC_n] hat die, von xx abhängige, Länge AnCn=1,5log0,5(x2x)LE\overline{A_nC_n}=-1,5 \cdot \text{log}_{0,5}(x^2-x) \, \text{LE}.

Lösung zur Teilaufgabe B 1.4

Bei dieser Teilaufgabe geht es darum die x-Koordinate von A3A_3 zu bestimmen.
Die Raute A3B3C3D3A_3B_3C_3D_3 ist ein Quadrat.Bei einem Quadrat sind nicht nur alle Seitenlängen gleich lang, sondern auch die beiden Diagonalen.
In dieser Aufgabe kennst du bereits die Länge der einen Diagonalen BnDn=6LE\overline{B_nD_n}=6 \, \text{LE}. Für die andere Diagonale hast du in der Aufgabe B1.3B1.3 bereits eine Formel aufgestellt.
Setze die beiden Diagonalen gleich und berechne damit den xx-Wert von A3A_3.
6=1,5log0,5(x2x)6 = -1,5 \cdot \text{log}_{0,5}(x^2-x)
Stelle die Gleichung so um, dass nur noch der Logarithmus auf der rechten Seite steht.
Dividiere durch (-1,5)

4=log0,5(x2x)-4 = \text{log}_{0,5}(x^2-x)
Löse anschließend den Logarithmus auf.
0,54=x2x0,5^{-4} = x^2-x
16=x2x16 = x^2-x
Stelle diese Gleichung um und nutze die Mitternachtsformel um sie zu lösen!

0=x2x160=x^2-x-16
x3/4=1±14(16)121x_{3/4}=\dfrac{1 \pm \sqrt{1-4\cdot (-16) \cdot 1}}{2 \cdot 1}
x3=4,53x_3 = 4,53
x4=3,53x_4 = -3,53

Die Definitionsmenge unserer Funktionen ist nur im Positiven, daher ist x4=3,53x_4 = -3,53 keine gültige Lösung.
Der xx-Wert von A3A_3 ist x3=4,53x_3=4,53.

Lösung zur Teilaufgabe B 1.5

Bei dieser Aufgabe sollst du die Koordinaten von MnM_n bestimmen.
Die Punkte MnM_n liegen genau in der Mitte der Punkte AnA_n und CnC_n.
Aus diesem Grund muss für jeweils die xx- und die yy-Koordinate die Mitte gefunden werden.
Bei der xx-Koordinate ist dies einfach, da AnA_n und CnC_n dieselbe Abszisse besitzen. Die xx-Koordinate von MnM_n ist also xx.
Bei der yy-Koordinate musst du jetzt die Mitte herausfinden. Stelle dazu die Formel auf.
yMn=yAn+yCn2y_{M_n}=\dfrac{y_{A_n} + y_{C_n}}{2}
Setze die yy-Werte von AnA_n und CnC_n ein.
yMn=1,5log0,5(x1)+1,5log0,5(x)2y_{M_n}= \dfrac{-1,5 \text{log}_{0,5}(x-1) + 1,5 \text{log}_{0,5}(x)}{2}
Klammere 1,51,5 aus.
yMn=1,5(log0,5(x)log0,5(x1))2y_{M_n}= \dfrac{1,5 \cdot ( \text{log}_{0,5}(x) - \text{log}_{0,5}(x-1))}{2}
Vereinfache den Zähler nach den Rechenregeln für den Logarithmus!
yMn=1,5log0,5(xx1)2y_{M_n}= \dfrac{1,5 \cdot \text{log}_{0,5}\left(\frac{x}{x-1}\right) }{2}
yMn=0,75log0,5(xx1)y_{M_n}= 0,75 \cdot \text{log}_{0,5}\left(\frac{x}{x-1}\right)

Du erhältst für MnM_n:
Mn=(x    0,75log0,5(xx1))M_n = \left( x \; | \; 0,75\cdot \text{log}_{0,5}\left(\frac{x}{x-1} \right)\right)

Lösung zur Teilaufgabe B 1.6

Bei dieser Teilaufgabe sollst du die Gleichung des Trägergraphen der Punkte DnD_n der Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx angeben.
Für den Trägergraphen von DnD_n benötigst du die Koordinaten von DnD_n, ausgedrückt durch den xx-Wert von AnA_n und CnC_n.
Du weißt, dass DnD_n immer 3LE3 \, \text{LE} links von xx liegt. Damit kommst du auf die xx-Koordinate:
xD=x3x_{D}= x-3
Für die yy-Koordinate kannst du die Höhe des Punktes MnM_n nutzen. Dessen yy-Koordinate ist dieselbe wie von DnD_n.
yD=0,75log0,5(xx1)y_D = 0,75 \cdot \text{log}_{0,5}\left( \dfrac{x}{x-1}\right)
Um den Trägergraphen zu bestimmen musst du nun die Gleichung für xDx_D nach xx auflösen und in die Gleichung von yDy_D einsetzen.
Auflösen nach xx:
x=xD+3x=x_D +3
Einsetzen in yDy_D:
yD=0,75log0,5(xD+3xD+31)y_D = 0,75 \cdot \text{log}_{0,5}\left( \dfrac{x_D+3}{x_D+3-1}\right)
yD=0,75log0,5(xD+3xD+2)y_D = 0,75 \cdot \text{log}_{0,5}\left( \dfrac{x_D+3}{x_D+2}\right)
Du erhältst damit den Trägergraphen für DnD_n:
y=0,75log0,5(x+3x+2)y= 0,75 \cdot \text{log}_{0,5}\left( \dfrac{x+3}{x+2}\right)
Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video eine Schritt-für-Schritt Lösung der Aufgabe anschaun.
B 2.0 Die Diagonalen [AC][AC] und [BD][BD] des Drachenvierecks ABCDABCD schneiden sich im Punkt KK. Das Drachenviereck ABCDABCD ist die Grundfläche des geraden Prismas ABCDEFGHABCDEFGH. Der Punkt EE liegt senkrecht über dem Punkt AA. Es gilt: AC=12cm;  BD=10cm;  AK=4cm;  AE=6cm\overline{AC}=12 \, \text{cm}; \; \overline{BD}=10 \, \text{cm}; \; \overline{AK} = 4 \, \text{cm}; \; \overline{AE} = 6 \, \text{cm}.
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
B 2.1 Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas ABCDEFGHABCDEFGH wobei [AC][AC] auf der Schrägbildachse und der Punkt AA links vom Punkt CC liegen soll. Für die Zeichnung: q=12;  ω=45q = \frac{1}{2}; \; \omega =45^{\circ} Die Strecken [EG][EG] und [FH][FH] schneiden sich im Punkt LL. Berechnen Sie das Maß des Winkels LCKLCK. [Ergebnis: LCK=36,87\sphericalangle LCK = 36,87^{\circ}]
(3 Punkte)
B 2.2 Punkte PnP_n liegen auf der Strecke [LC][LC]. Die Winkel CKPnCKP_n haben das Maß φ\varphi mit φ]0;90[\varphi \in ] 0^{\circ}; 90^{\circ} [. Die Punkte PnP_n sind zusammen mit den Punkten BB und DD die Eckpunkte gleichschenkliger Dreiecke BDPnBDP_n mit der Basis [BD][BD]. Zeichnen Sie das Dreieck BDP1BDP_1 sowie die Strecke [KP1][KP_1] für φ=78\varphi = 78^{\circ} in das Schrägbild zu B2.1B2.1 ein. Begründen Sie sodann, dass keines der Dreiecke BDPnBDP_n gleichseitig ist.
(3 Punkte)
B 2.3 Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken [KPn][KP_n] in Abhängigkeit von φ\varphi gilt:
KPn(φ)=4,80sin(φ+36,87)cm\overline{KP_n}(\varphi) = \dfrac{4,80}{\text{sin} (\varphi+36,87^{\circ})} \, \text{cm}
Die Länge der Strecke [KP0][KP_0] ist minimal. Geben Sie den zugehörigen Wert für φ\varphi an.
(3 Punkte)
B 2.4 Die Punkte PnP_n sind die Spitzen von Pyramiden ABCDPnABCDP_n mit der Grundfläche ABCDABCD und den Höhen [PnQn][P_nQ_n]. Die Punkte QnQ_n liegen auf der Strecke [KC][KC]. Zeichnen Sie die Pyramide ABCDP1ABCDP_1 und die Höhe [P1Q1][P_1Q_1] in das Schrägbild zu B2.1B2.1 ein. Ermitteln Sie sodann durch Rechnung das Volumen VV der Pyramiden ABCDPnABCDP_n in Abhängigkeit von φ\varphi.
[Ergebnis: V(φ)=96sinφsin(φ+36,87)]\left[ \text{Ergebnis: } V(\varphi)= \dfrac{96 \cdot \text{sin}\varphi}{\text{sin}(\varphi + 36,87^{\circ})}\right]
(3 Punkte)
B 2.5 Das Volumen der Pyramide ABCDP2ABCDP_2 beträgt 96cm396 \, \text{cm}^3. Berechnen Sie das zugehörige Maß für φ\varphi.
(3 Punkte)
B 2.6 Begründen Sie, dass die Volumina der Pyramiden ABDPnABDP_n mit der Grundfläche ABDABD und der Pyramiden BCDPnBCDP_n mit der Grundfläche BCDBCD stets im Verhältnis 1:21:2 stehen.
(2 Punkte)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck

Lösung zur Teilaufgabe B 2.1

Bei so langen Angaben ist es wichtig, sich nicht verwirren zu lassen und die Aufgabe Schritt für Schritt zu bearbeiten. Für diese Aufgabe solltest du die Eigenschaften eines Drachenvierecks kennen. Das Ziel ist es das Schrägbild dieses Vierecks zu zeichnen.
Die wichtigsten Informationen hier sind, dass AC\overline{AC} auf der Schrägbildachse bzw. auf der Zeichenebene liegt, der Verzerrungswinkel der Geraden BD  ω=45°\overline{BD}\;\omega=45° und das Verzerrungsverhältnis q=12q=\dfrac{1}{2} beträgt. Damit kannst du anfangen.
die Punkte A, B, C, D, K und der Strecken AC, BD gezeichnet
AC\overline{AC} liegt in der Zeichenebene, ist also auch in der Zeichnung 12cm12\,cm lang.
KK kannst du direkt einzeichnen, da AK=4cm\overline{AK}=4\,cm.
BD\overline{BD} schneidet AC\overline{AC} im Punkt KK, wobei KK genau in der Mitte von BD\overline{BD} liegt. KD\overline{KD} ist also 5cm5\,cm lang, was unter dem Verzerrungverhältnis 2,5cm2,5\,cm bedeutet. Zeichne diese Strecke mit einem Winkel von 45°45° ein. Dasselbe machst du mit BK\overline{BK}.
es werden zusätzlich zu den Punkten A, B, C, D, K auch die Punkte E, F, G und H  eingezeichnet und teilweise miteinander verunden
AE\overline{AE} liegt ebenfalls in der Zeichenebene, da laut Angabe EE senkrecht über AA liegt. Damit kannst du nun alle senkrechten Linien (je 6cm6\,cm) einzeichnen.
EE liegt senkrecht über AA, die anderen Punkte FGHFGH liegen über BCDBCD, das kannst du der Angabe entnehmen, da das Prisma mit ABCDEFGHABCDEFGH bezeichnet wird.
entstandene Prisma
Nun kannst du alle schrägen Linien miteinander verbinden.
Vergiss nicht, dass die Strecken [EG][EG] und [FH][FH] sich im Punkt LL schneiden.
Du könntest an der Stelle nochmal die Angabe durchgehen und überprüfen, ob du alle Punkte berücksichtigt hast! Wenn ja, kannst du weiter mit dem Winkel LCK\sphericalangle{LCK} machen.

Berechnung eines Winkels im rechtwinkligen Dreieck

Einzeichnen des Dreiecks KCL in das Prisma
Zu betrachten ist das Dreieck LCKLCK mit einem rechten Winkel bei KK, da LL senkrecht über KK steht.Überlege dir, welche Längen im Dreieck bekannt sind.
LK=6cm\overline{LK} =6\,cm nach Angabe und da AK=4cm\overline{AK}=4\,cm muss KC=12cm4cm=8cm\overline{KC}=12\,cm - 4\,cm=8\,cm sein.
Gegeben sind also die beiden Katheten, daher musst du den Tangens benutzen:
tan(LCK)=LKKC=6cm8cm=68tan1()\tan(\sphericalangle{LCK})=\dfrac{\overline{LK}}{\overline{KC}}=\dfrac{6\,cm}{8\,cm}=\dfrac{6}{8}\hspace{2cm}|\tan^{-1}(…)
LCK=tan1(68)=36,87°\Rightarrow \sphericalangle{LCK} = \tan^{-1}\left( \dfrac{6}{8}\right) = 36,87°

Lösung zur Teilaufgabe B 2.2

In das Prisma werden die Punkte K und P1 eingezeichnet, zudem werden sowohl B und K und K und D, als auch K und P1, verbunden
Miss mit dem Geodreieck 78°78° vom Punkt KK und ziehe eine Strecke. Der Schnittpunkt mit LC\overline{LC} ist der Punkt P1P_1.
Dies kannst du ohne Berücksichtigung auf etwaige Schräglagen machen, da sowohl KK als auch LL und CC und somit auch LC\overline{LC} in der Zeichenebene liegen.
Prisma, in dem nun sowohl P1 und D, als auch B und P1 miteinander verbunden werden


Eigenschaften eines gleichseitigen Dreiecks

Falls du die Eigenschaften eines gleichseitigen Dreiecks nicht mehr weißt, kannst du sie hier nochmal nachlesen.
Mit den Winkeln kannst du nichts anfangen, da du sie schwer ausrechnen kannst. Da du aber die Länge der Grundseite BD=10cm\overline{BD}=10\,cm kennst, kannst du die Höhe des Dreiecks BDPnBDP_n berechnen, falls dieses gleichseitig wäre.
hBDPn=3210cm8,66cmh_{BDP_n}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot 10\,cm \approx 8,66\,cm
Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks wäre also 8,66cm8,66\,cm.
Überlege dir nun welche Strecke die Höhe von BDPnBDP_n darstellt und welche Längen annehmen kann.
Wenn du genau hinsiehst, erkennst du, dass KPn\overline{KP_n} die Höhe von BDPnBDP_n ist, weil KPn\overline{KP_n} senkrecht in der Mitte (KK) auf BD\overline{BD} steht.
KPn\overline{KP_n} wäre am kleinsten, wenn Pn=LP_n =L und somit KPn=KL=6cm\overline{KP_n}=\overline{KL}=6\,cm wäre.
Andererseits wäre KPn\overline{KP_n} am größten, wenn Pn=CP_n=C und somit KPn=KC=8cm\overline{KP_n}=\overline{KC}=8\,cm wäre.
Die Höhe 8,66cm8,66\,cm kann also nie erreicht werden, damit kann keines der Dreiecke BDPnBDP_n gleichseitig sein.

Lösung zur Teilaufgabe B 2.3

Berechnung einer Streckenlänge in Abhängigkeit eines Winkels

Vorüberlegungen: Die Strecken [KPn][KP_n] kommen in drei Dreiecken BKPnBKP_n, DKPnDKP_n und KPnCKP_nC vor. BKPnBKP_n und DKPnDKP_n sind zwar rechtwinklig, du könntest also den Sinus benutzen, aber du kennst keinen zweiten Winkel in den beiden Dreiecken. Betrachtest du hingegen KPnCKP_nC, siehst du, dass du zwar keinen rechten Winkel, aber LCK=36,87\sphericalangle{LCK}=36,87^{\circ} gegeben hast, welcher der gegenüberliegende Winkel der gesuchten Strecke ist. Das bringt dich auf den Sinussatz.
Prisma, in dem LPn miteinander verbunden ist und die Winkel angetragen werden
Um festzulegen, welches Verhältnis du noch für den Sinussatz verwendest, beachte, dass die Länge der Strecke KC=8cm\overline{KC}=8\,cm gegeben ist, die von PnC\overline{P_nC} jedoch nicht. Dies bringt dich auf
KPn(φ)sin(LCK)=KCsin(KPnC)\dfrac{\overline{KP_n}(\varphi)}{\text{sin}(\sphericalangle{LCK})}=\dfrac{\overline{KC}}{\text{sin}(\sphericalangle{KP_nC})}
KPn(φ)sin(36,87)=8cmsin[180(φ+36,87)]\dfrac{\overline{KP_n}(\varphi)}{\text{sin}(36,87^{\circ})}=\dfrac{8\,cm}{\text{sin}[180^{\circ}-(\varphi+36,87^{\circ})]}
Jetzt kannst du nach KPn(φ)\overline{KP_n}(\varphi) auflösen. Beachte dabei die Supplemenbeziehungen, welche besagen, dass sin(180α)=sin(α)\text{sin}(180^{\circ}-\alpha)=\text{sin}(\alpha).
KPn(φ)sin(36,87)=8cmsin[180(φ+36,87)]sin(36,87)\dfrac{\overline{KP_n}(\varphi)}{\text{sin}(36,87^{\circ})}=\dfrac{8\,cm}{\text{sin}[180^{\circ}-(\varphi+36,87^{\circ})]}\hspace{2cm}|\cdot\text{sin}(36,87^{\circ})
KPn(φ)=4,80cmsin(φ+36,87)\overline{KP_n}(\varphi)=\dfrac{4,80\,cm}{\text{sin}(\varphi+36,87^{\circ})}
Nun ist noch die Größe des Winkels φ\varphi für die minimale Strecke [KP0][KP_0] gesucht. Betrachte dazu die gerade aufgestellte Formel für die Länge der Strecke KPn\overline{KP_n}. Diese wird minimal, wenn der Nenner am größten ist. Der Sinus erreicht sein Maximum bei 9090^{\circ}. Damit muss φ+36,87=90\varphi+36,87^{\circ}=90^{\circ} sein, also φ=53,13\varphi=53,13^{\circ}.

Lösung zur Teilaufgabe B 2.4

Einzeichnen der Pyramide

[P1Q1][P_1Q_1] soll die Höhe unserer Pyramide sein, wobei Q1Q_1 auf der Streke [KC][KC] liegt. Da die Höhe senkrecht auf der Grundfläche steht, muss du also zunächst ein Lot von P1P_1 auf die Gerade KC\overline{KC} fällen. Danach kannst du die Pyramide einzeichnen.
In Prisma ist die Pyramide ABCDP1 eingezeichnet


Berechnung des Volumens einer Pyramide

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich aus V=13Gh=13AABCDPnQnV=\dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h=\dfrac{1}{3} \cdot A_{ABCD} \cdot \overline{P_nQ_n} Die Grundfläche unserer Pyramide ist ein Drachenviereck, dessen Flächeninhalt man wiederum berechnet mit AABCD=12ACBD=1212cm10cm=60cm2A_{ABCD}=\dfrac{1}{2} \cdot \overline{AC} \cdot \overline{BD}=\dfrac{1}{2} \cdot 12\,cm \cdot 10\,cm=60\,cm^2.
Die Höhe der Pyramide ist nun die Länge der Strecke PnQn\overline{P_nQ_n}. Diese Strecke ist Teil von zwei rechtwinkligen Dreiecken KQnPnKQ_nP_n und QnCPnQ_nCP_n. In letzterem Dreieck haben wir keine Länge gegeben, während in KQnPnKQ_nP_n die Länge der Strecke KPn\overline{KP_n} in Abhängigkeit von φ\varphi aus Aufgabe B2.3B2.3 bekannt ist. Da auch in dieser Aufgabe das Volumen in Abhängigkeit von φ\varphi gesucht ist, liegt es nahe, dieses Dreieck zu betrachten, um die Länge berechnen zu können.
Im Prisma ist das Dreieck QnPnK eingezeichnet
sin(φ)=PnQnKPnKPn\text{sin}(\varphi)=\dfrac{\overline{P_nQ_n}}{\overline{KP_n}}\hspace{2cm}|\cdot \overline{KP_n}
PnQn=sin(φ)KPn=sin(φ)4,80cmsin(φ+36,87)\overline{P_nQ_n}=\text{sin}(\varphi) \cdot \overline{KP_n}= \text{sin}(\varphi) \cdot \dfrac{4,80\,cm}{\text{sin}(\varphi+36,87^{\circ})}
Dies können wir nun alles in die Formel für das Volumen der Pyramide einsetzen:
V(φ)=1360cm2sin(φ)4,80cmsin(φ+36,87)=96sin(φ)sin(φ+36,87)cm3V(\varphi)=\dfrac{1}{3} \cdot 60\,cm^2 \cdot \text{sin}(\varphi) \cdot \dfrac{4,80\,cm}{\text{sin}(\varphi+36,87^{\circ})}=\dfrac{96 \cdot \text{sin}(\varphi)}{\text{sin}(\varphi + 36,87^{\circ})}\,cm^3

Lösung zur Teilaufgabe B 2.5

Nutze die Formel aus der Teilaufgabe B 2.4. Diese kannst du mit 96cm396 \, \text{cm}^3 gleichsetzen und nach φ\varphi auflösen.
V(φ)=96sinφsin(φ+36,87)V(\varphi) = \dfrac{96 \cdot \text{sin}\varphi}{\text{sin}(\varphi +36,87^{\circ})}

96=96sinφsin(φ+36,87)96 = \dfrac{96 \cdot \text{sin}\varphi}{\text{sin}(\varphi +36,87^{\circ})}
Teile zunächst durch 9696.

1=sinφsin(φ+36,87)1 = \dfrac{\text{sin}\varphi}{\text{sin}(\varphi +36,87^{\circ})}

Um diese Gleichung lösen zu können musst du zuerst den Nenner mit dem Additionstheorem für den Sinus vereinfachen.
1=sinφsinφcos(36,87)+cosφsin(36,87)1 = \dfrac{\text{sin}\varphi}{\text{sin}\varphi \cdot \text{cos}(36,87^{\circ})+\text{cos}\varphi \cdot \text{sin}(36,87^{\circ})}
Berechne nun die Werte für sin(36,87)\text{sin}(36,87^{\circ}) und cos(36,87)\text{cos}(36,87^{\circ}). Setze diese direkt in die Formel ein.
1=sinφsinφ0,80+cosφ0,601 = \dfrac{\text{sin}\varphi}{\text{sin}\varphi \cdot 0,80+\text{cos}\varphi \cdot 0,60}
Multipliziere mit dem Nenner und teile durch den Nenner, so dass der Nenner im Zähler auf der linken Seite steht


sinφ0,80+cosφ0,60=sinφ\text{sin}\varphi \cdot 0,80+\text{cos}\varphi \cdot 0,60 = \text{sin} \varphi \hspace{2cm} 
sinφ0,80+cosφ0,60=sinφ\text{sin}\varphi \cdot 0,80+\text{cos}\varphi \cdot 0,60 = \text{sin} \varphi \hspace{2cm} 

sinφ0,80+cosφ0,60sinφ=1\dfrac{\text{sin}\varphi \cdot 0,80+\text{cos}\varphi \cdot 0,60}{\text{sin}\varphi}=1
Jetzt kannst du den Bruch aufteilen, so dass auf der linken Seite zwei Brüche entstehen.
sinφ0,80sinφ+cosφ0,60sinφ=1\dfrac{\text{sin}\varphi \cdot 0,80}{\text{sin}\varphi}+\dfrac{\text{cos}\varphi \cdot 0,60}{\text{sin}\varphi}=1
Kürze den ersten Bruch mit sinφ\text{sin}\varphi. Im zweiten Bruch hast du cosφsinφ\dfrac{\text{cos}\varphi}{\text{sin}\varphi}. Das wird nach der Definition des Tangens zu: 1tanφ\dfrac{1}{\text{tan}\varphi}.
0,80+0,60tanφ=10,80+\dfrac{ 0,60}{\text{tan}\varphi}=1
0,80tan(φ)+0,60=tan(φ)0,80 \cdot\tan(\varphi)+0,60=\tan(\varphi)
0,60=0,20tan(φ)0,60=0,20\cdot\tan(\varphi)
Löse diese Gleichung so auf, dass auf der rechten Seite nur noch tanφ\text{tan}\varphi steht.

0,600,20=tanφ\dfrac{ 0,60}{0,20}=\text{tan}\varphi
Wende den tan1\text{tan}^{-1} auf die Gleichung an und berechne φ\varphi mit dem Taschenrechner.
tan1(0,600,20)=φ\text{tan}^{-1} \left( \dfrac{0,60}{0,20} \right) = \varphi

φ=71,57\varphi = 71,57^{\circ}

Für das Volumen von 96cm396 \text{cm}^3 der Pyramide ergibt sich ein Winkel von φ=71,57\varphi = 71,57^{\circ}.

Lösung zur Teilaufgabe B 2.6

Volumen von Pyramiden berechnen

Um schließen zu können, in welchem Verhältnis die Volumina der beiden Pyramiden stehen, solltest du zuerst die Formel zur Volumenberechnung von Pyramiden aufstellen.
VPyramide=13GhV_{Pyramide}=\dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h
Im Prisma ist die Pyramide ABDPn eingezeichnet
Für deine Pyramide ABDPnABDP_n bedeutet dies:
VABDPn=13AABDPnQn=1312BDAKPnQnV_{ABDP_n}=\dfrac{1}{3} \cdot A_{ABD} \cdot \overline{P_nQ_n}=\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \overline{BD} \cdot \overline{AK} \cdot \overline{P_nQ_n}
Beachte dabei, dass die Grundfläche ein Dreieck, mit Grundseite [BD][BD] und Höhe [AK][AK] ist. [AK][AK] kann deshalb als Höhe benutzt werden, weil in einem Drachenviereck die Diagonalen senkreht aufeinander stehen.
Aus B2.4B2.4 weißt du, dass die Strecke [PnQn][P_nQ_n] senkrecht auf der Grundfläche steht. Diese stellt damit die Höhe deiner Pyramide dar.
Prisma mit eingezeichneter Pyramide BCDPn
Für deine Pyramide BCDPnBCDP_n bedeutet dies wiederum:
VBCDPn=13ABCDPnQn=1312BDCKPnQnV_{BCDP_n}=\dfrac{1}{3} \cdot A_{BCD} \cdot \overline{P_nQ_n}=\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \overline{BD} \cdot \overline{CK} \cdot \overline{P_nQ_n}
Der einzige Unterschied zur vorherigen Formel besteht also in der Höhe des Dreiecks als Grundseite [CK][CK] statt [AK][AK].
Wie kannst du also das Verhältnis 1:21:2 begründen?
Betrachte dafür beide Volumen deiner Pyramiden
VABDPn=1312BDAKPnQnV_{ABDP_n}=\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \overline{BD} \cdot \overline{AK} \cdot \overline{P_nQ_n}
VBCDPn=1312BDCKPnQnV_{BCDP_n}=\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \overline{BD} \cdot \overline{CK} \cdot \overline{P_nQ_n}
und stelle sie direkt in ein Verhältnis:
VABDPnVBCDPn=1312BDAKPnQn1312BDCKPnQn\dfrac{V_{ABDP_n}}{V_{BCDP_n}}=\dfrac{\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \overline{BD} \cdot \overline{AK} \cdot \overline{P_nQ_n}}{\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \overline{BD} \cdot \overline{CK} \cdot \overline{P_nQ_n}}
Dann siehst du, dass du fast alles kürzen kannst:
VABDPnVBCDPn=AKCK=48=12\dfrac{V_{ABDP_n}}{V_{BCDP_n}}=\dfrac{\overline{AK}}{\overline{CK}}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}
Du könntest das natürlich auch mit einem Text begründen, entscheidend dabei ist, dass die Länge der Strecke [CK][CK] doppelt so lang ist, wie [AK][AK], wodurch ein Verhältnis von 1:21:2 entsteht!
Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video eine Schritt-für-Schritt Lösung der Aufgabe anschaun.
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