Teil B

Geben Sie die Definitionsmenge und die Wertemenge der Funktion $f_1$ an und zeichnen Sie den Graphen der Funktion $f_1$ für $x \in [1{,}5;11]$ in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 \, \text{cm}$; $-1 \leqq x \leqq 12; \;$ $-6 \leqq y \leqq 6$.

(4 Punkte)

Der Graph der Funktion $f_1$ wird durch Achsenspiegelung an der $x$-Achse und anschließender Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec{v}$ auf den Graphen der Funktion $f_2$ mit der Gleichung $y=1{,}5 \cdot \text{log}_{0{,}5} x\;$ $(\mathbb{G} = \mathbb{R} \times \mathbb{R})$ abgebildet. Geben Sie die Koordinaten des Verschiebungsvektors $\vec{v}$ an und zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f_2$ für $x\in [1{,}5; 11]$ in das Koordinatensystem zu $B1.1$ ein.

(3 Punkte)

Punkte $A_n(x|1{,}5 \cdot \text{log}_{0{,}5} x )$ auf dem Graphen zu $f_2$ haben dieselbe Abszisse $x$ wie Punkte $C_n(x| -1{,}5 \cdot \text{log}_{0{,}5}(x-1))$ auf dem Graphen zu $f_1$. Sie sind für $x>1{,}62$ zusammen mit den Punkten $B_n$ und $D_n$ die Eckpunkte von Rauten $A_nB_nC_nD_n$.

Es gilt: $\overline{B_nD_n}=6 \, \text{LE}$.

Zeichnen Sie die Rauten $A_1B_1C_1D_1$ für $x=2{,}5$ und $A_2B_2C_2D_2$ für $x=8{,}5$ in das Koordinatensystem zu $B1.1$ ein.

Zeigen Sie sodann, dass für die Länge der Strecken $[A_nC_n]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ gilt: $\overline{A_nC_n}(x) = -1{,}5 \cdot \text{log}_{0{,}5} (x^2-x) \, \text{LE}$.

(4 Punkte)

Die Raute $A_3B_3C_3D_3$ ist ein Quadrat. Berechnen Sie die zugehörige $x$-Koordinate des Punktes $A_3$. Runden Sie dabei auf zwei Stellen nach dem Komma.

(2 Punkte)

Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Koordinaten der Diagonalenschnittpunkte $M_n$ der Rauten $A_nB_nC_nD_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ gilt:

$M_n \left( x | 0{,}75 \cdot \text{log}_{0{,}5} \left( \dfrac{x}{x-1}\right) \right)$.

(2 Punkte)

Geben Sie die Gleichung des Trägergraphen der Punkte $D_n$ der Rauten $A_nB_nC_nD_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ an.

(2 Punkte)

Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas $ABCDEFGH$ wobei $[AC]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll. Für die Zeichnung: $q = \frac{1}{2}; \; \omega =45^{\circ}$ Die Strecken $[EG]$ und $[FH]$ schneiden sich im Punkt $L$. Berechnen Sie das Maß des Winkels $LCK$. [Ergebnis: $\sphericalangle LCK = 36{,}87^{\circ}$]

(3 Punkte)

Punkte $P_n$ liegen auf der Strecke $[LC]$. Die Winkel $CKP_n$ haben das Maß $\varphi$ mit $\varphi \in ] 0^{\circ}; 90^{\circ} [$. Die Punkte $P_n$ sind zusammen mit den Punkten $B$ und $D$ die Eckpunkte gleichschenkliger Dreiecke $BDP_n$ mit der Basis $[BD]$. Zeichnen Sie das Dreieck $BDP_1$ sowie die Strecke $[KP_1]$ für $\varphi = 78^{\circ}$ in das Schrägbild zu B 2.1 ein. Begründen Sie sodann, dass keines der Dreiecke $BDP_n$ gleichseitig ist.

(3 Punkte)

Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken $[KP_n]$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt:

$\overline{KP_n}(\varphi) = \dfrac{4{,}80}{\text{sin} (\varphi+36{,}87^{\circ})} \, \text{cm}$

Die Länge der Strecke $[KP_0]$ ist minimal. Geben Sie den zugehörigen Wert für $\varphi$ an.

(3 Punkte)

Die Punkte $P_n$ sind die Spitzen von Pyramiden $ABCDP_n$ mit der Grundfläche $ABCD$ und den Höhen $[P_nQ_n]$. Die Punkte $Q_n$ liegen auf der Strecke $[KC]$. Zeichnen Sie die Pyramide $ABCDP_1$ und die Höhe $[P_1Q_1]$ in das Schrägbild zu B 2.1 ein. Ermitteln Sie sodann durch Rechnung das Volumen $V$der Pyramiden $ABCDP_n$ in Abhängigkeit von $\varphi$.

$\left[ \text{Ergebnis: } V(\varphi)= \dfrac{96 \cdot \text{sin}\varphi}{\text{sin}(\varphi + 36{,}87^{\circ})}\right]$

(3 Punkte)

Das Volumen der Pyramide $ABCDP_2$ beträgt $96 \, \text{cm}^3$. Berechnen Sie das zugehörige Maß für $\varphi$.

(3 Punkte)

Begründen Sie, dass die Volumina der Pyramiden $ABDP_n$ mit der Grundfläche $ABD$ und der Pyramiden $BCDP_n$ mit der Grundfläche $BCD$ stets im Verhältnis $1:2$ stehen.

(2 Punkte)