B 1.0 Gegeben ist die Funktion f1f_1 mit der Gleichung y=1,5log0,5(x1)y=-1,5 \cdot \text{log}_{0,5}(x-1) mit G=R×R\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}.
B 1.1 Geben Sie die Definitionsmenge und die Wertemenge der Funktion f1f_1 an und zeichnen Sie den Graphen der Funktion f1f_1 für x[1,5;11]x \in [1,5;11] in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: Längeneinheit 1cm1 \, \text{cm}; 1x12;  -1 \leqq x \leqq 12; \; 6y6-6 \leqq y \leqq 6.
(4 Punkte)
B 1.2 Der Graph der Funktion f1f_1 wird durch Achsenspiegelung an der xx-Achse und anschließender Parallelverschiebung mit dem Vektor v\vec{v} auf den Graphen der Funktion f2f_2 mit der Gleichung y=1,5log0,5x  y=1,5 \cdot \text{log}_{0,5} x\; (G=R×R)(\mathbb{G} = \mathbb{R} \times \mathbb{R}) abgebildet. Geben Sie die Koordinaten des Verschiebungsvektors v\vec{v} an und zeichnen Sie sodann den Graphen zu f2f_2 für x[1,5;11]x\in [1,5; 11] in das Koordinatensystem zu B1.1B1.1 ein.
(3 Punkte)
B 1.3 Punkte An(x1,5log0,5x)A_n(x|1,5 \cdot \text{log}_{0,5} x ) auf dem Graphen zu f2f_2 haben dieselbe Abszisse xx wie Punkte Cn(x1,5log0,5(x1))C_n(x| -1,5 \cdot \text{log}_{0,5}(x-1)) auf dem Graphen zu f1f_1. Sie sind für x>1,62x>1,62 zusammen mit den Punkten BnB_n und DnD_n die Eckpunkte von Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n.
Es gilt: BnDn=6LE\overline{B_nD_n}=6 \, \text{LE}.
Zeichnen Sie die Rauten A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 für x=2,5x=2,5 und A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2 für x=8,5x=8,5 in das Koordinatensystem zu B1.1B1.1 ein.
Zeigen Sie sodann, dass für die Länge der Strecken [AnCn][A_nC_n] in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n gilt: AnCn(x)=1,5log0,5(x2x)LE\overline{A_nC_n}(x) = -1,5 \cdot \text{log}_{0,5} (x^2-x) \, \text{LE}.
(4 Punkte)
B 1.4 Die Raute A3B3C3D3A_3B_3C_3D_3 ist ein Quadrat. Berechnen Sie die zugehörige xx-Koordinate des Punktes A3A_3. Runden Sie dabei auf zwei Stellen nach dem Komma.
(2 Punkte)
B 1.5 Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Koordinaten der Diagonalschnittpunkte MnM_n der Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n gilt:
Mn(x0,75log0,5(xx1))M_n \left( x | -0,75 \cdot \text{log}_{0,5} \left( \dfrac{x}{x-1}\right) \right).
(2 Punkte)
B 1.6 Geben Sie die Gleichung des Trägergraphen der Punkte DnD_n der Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n an.
(2 Punkte)

Lösung zur Teilaufgabe B 1.1

Bei dieser Teilaufgabe geht es darum die Wertemenge und Definitionsmenge einer Logarithmusfunktion zu bestimmen. Anschließend soll man diese Funktion auch zeichnen.

Definitionsmenge und Wertemenge

Die Funktion f1(x)=1,5log0,5(x1)f_1(x)=-1,5 \cdot \text{log}_{0,5}(x-1) ist nur definiert, wenn das Argument des Logarithmus positiv ist. Du kannst also schnell erkennen, dass du nur Zahlen größer als 11 einsetzen darfst.
D={xx>1}\mathbb{D}=\{ x|x>1\}
Die Wertemenge ergibt sich ebenfalls durch die Eigenschaften des Logarithmus und entspricht ganz R\mathbb{R}.
W=R\mathbb{W}=\mathbb{R}

Einzeichnen in ein Koordinatensystem

Zeichne anschließend die Funktion anhand einer Wertetabelle aus deinem Taschenrechner in ein Koordinatensystem ein.
f1 im Koordinatensystem

Lösung zur Teilaufgabe B 1.2

In dieser Teilaufgabe sollst du den Verschiebungsvektor v\vec{v} bestimmen und die Funktion f2f_2 in das Koordinatensystem aus B 1.1 einzeichnen.

Bestimmung des Verschiebungsvektors

Die Achsenspiegelung des Graphen f1f_1 führt dazu, dass sich das Vorzeichen der Funktion umkehrt.
Die Verschiebung bewirkt eine Änderung des Arguments im Logarithmus. Aus x1x-1 wird hier xx. Du kannst dir vorstellen, dass die ganze Funktion um 11 in xx-Richtung nach links geschoben wird, da nicht mehr 1-1 gerechnet wird.
Der Vektor, der "Verschiebung um 11 in xx-Richtung" repräsentiert ist dann:
v=(10)\vec{v}=\left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \end{array} \right)

Einzeichnen der Funktion f2f_2

Die Funktion f2=1,5log0,5(x)f_2=1,5\cdot \text{log}_{0,5}(x) zeichnest du wieder mithilfe einer Wertetabelle in das Koordinatensystem ein.
f1 und f2 eingezeichnet im Koordinatensystem

Lösung zur Teilaufgabe B 1.3

In dieser Teilaufgabe sollst du die Rauten A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 und A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2 einzeichnen und die Länge der Strecken [AnCn][A_nC_n] in Abhängigkeit von der Abszisse xx bestimmen.

Zeichnen der Rauten A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 und A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2

Einzeichnen der Punkte A1 und C1 und die Strecke A1C1
Die Diagonalen in Rauten halbieren sich jeweils. Du kannst nun also bei der Hälfte der Strecke [A1C1][A_1C_1] ansetzen und exakt 3LE3 \, \text{LE} nach links und rechts zeichnen.
Damit kommst du zu den Punkten B1B_1 und D1D_1.
D1 und B1 eingezeichnet und die Strecken D1B1 und C1A1
Verbinde nun die Punkte miteinander um die Raute A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 zu erhalten.
Verbindung der Strecken D1A1, A1B1, B1C1 und C1D1

Wiederhole diese Schritte für die Raute A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2. Dabei nutzt du für A2A_2 und C2C_2 den xx-Wert 8,58,5.
A1B1C1D1 und A2B2C2D2 im Koordinatensystem

Berechnung der Länge der Strecken AnCn\overline{A_nC_n}

Da die Abszissen der Punkte AnA_n und CnC_n gleich groß sind, ist die Strecke [AnCn][A_nC_n] so lang, wie die Differenz ihrer yy-Werte
Berechne diese!
AnCn=1,5log0,5(x1)1,5log0,5(x)\overline{A_nC_n}=-1,5 \cdot \text{log}_{0,5}(x-1) -1,5 \cdot \text{log}_{0,5}(x)
Klammere 1,5-1,5 aus.
AnCn=1,5(log0,5(x1)+log0,5(x))\overline{A_nC_n}=-1,5 \cdot \left( \text{log}_{0,5}(x-1) + \text{log}_{0,5}(x) \right)
Forme den Term in der Klammer nach den Regeln zum Rechnen mit dem Logarithmus um. Aus der Summe wird so ein Produkt im Logarithmus.
AnCn=1,5[log0,5((x1)x)]\overline{A_nC_n}=-1,5 \cdot \left[ \text{log}_{0,5}((x-1)\cdot x) \right]
Vereinfache das Argument des Logarithmus.
AnCn=1,5log0,5(x2x)\overline{A_nC_n}=-1,5 \cdot \text{log}_{0,5}(x^2-x)

Die Strecke [AnCn][A_nC_n] hat die, von xx abhängige, Länge AnCn=1,5log0,5(x2x)LE\overline{A_nC_n}=-1,5 \cdot \text{log}_{0,5}(x^2-x) \, \text{LE}.

Lösung zur Teilaufgabe B 1.4

Bei dieser Teilaufgabe geht es darum die x-Koordinate von A3A_3 zu bestimmen.
Die Raute A3B3C3D3A_3B_3C_3D_3 ist ein Quadrat.Bei einem Quadrat sind nicht nur alle Seitenlängen gleich lang, sondern auch die beiden Diagonalen.
In dieser Aufgabe kennst du bereits die Länge der einen Diagonalen BnDn=6LE\overline{B_nD_n}=6 \, \text{LE}. Für die andere Diagonale hast du in der Aufgabe B1.3B1.3 bereits eine Formel aufgestellt.
Setze die beiden Diagonalen gleich und berechne damit den xx-Wert von A3A_3.
6=1,5log0,5(x2x)6 = -1,5 \cdot \text{log}_{0,5}(x^2-x)
Stelle die Gleichung so um, dass nur noch der Logarithmus auf der rechten Seite steht.
Dividiere durch (-1,5)

4=log0,5(x2x)-4 = \text{log}_{0,5}(x^2-x)
Löse anschließend den Logarithmus auf.
0,54=x2x0,5^{-4} = x^2-x
16=x2x16 = x^2-x
Stelle diese Gleichung um und nutze die Mitternachtsformel um sie zu lösen!

0=x2x160=x^2-x-16
x3/4=1±14(16)121x_{3/4}=\dfrac{1 \pm \sqrt{1-4\cdot (-16) \cdot 1}}{2 \cdot 1}
x3=4,53x_3 = 4,53
x4=3,53x_4 = -3,53

Die Definitionsmenge unserer Funktionen ist nur im Positiven, daher ist x4=3,53x_4 = -3,53 keine gültige Lösung.
Der xx-Wert von A3A_3 ist x3=4,53x_3=4,53.

Lösung zur Teilaufgabe B 1.5

Bei dieser Aufgabe sollst du die Koordinaten von MnM_n bestimmen.
Die Punkte MnM_n liegen genau in der Mitte der Punkte AnA_n und CnC_n.
Aus diesem Grund muss für jeweils die xx- und die yy-Koordinate die Mitte gefunden werden.
Bei der xx-Koordinate ist dies einfach, da AnA_n und CnC_n dieselbe Abszisse besitzen. Die xx-Koordinate von MnM_n ist also xx.
Bei der yy-Koordinate musst du jetzt die Mitte herausfinden. Stelle dazu die Formel auf.
yMn=yAn+yCn2y_{M_n}=\dfrac{y_{A_n} + y_{C_n}}{2}
Setze die yy-Werte von AnA_n und CnC_n ein.
yMn=1,5log0,5(x1)+1,5log0,5(x)2y_{M_n}= \dfrac{-1,5 \text{log}_{0,5}(x-1) + 1,5 \text{log}_{0,5}(x)}{2}
Klammere 1,51,5 aus.
yMn=1,5(log0,5(x)log0,5(x1))2y_{M_n}= \dfrac{1,5 \cdot ( \text{log}_{0,5}(x) - \text{log}_{0,5}(x-1))}{2}
Vereinfache den Zähler nach den Rechenregeln für den Logarithmus!
yMn=1,5log0,5(xx1)2y_{M_n}= \dfrac{1,5 \cdot \text{log}_{0,5}\left(\frac{x}{x-1}\right) }{2}
yMn=0,75log0,5(xx1)y_{M_n}= 0,75 \cdot \text{log}_{0,5}\left(\frac{x}{x-1}\right)

Du erhältst für MnM_n:
Mn=(x    0,75log0,5(xx1))M_n = \left( x \; | \; 0,75\cdot \text{log}_{0,5}\left(\frac{x}{x-1} \right)\right)

Lösung zur Teilaufgabe B 1.6

Bei dieser Teilaufgabe sollst du die Gleichung des Trägergraphen der Punkte DnD_n der Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx angeben.
Für den Trägergraphen von DnD_n benötigst du die Koordinaten von DnD_n, ausgedrückt durch den xx-Wert von AnA_n und CnC_n.
Du weißt, dass DnD_n immer 3LE3 \, \text{LE} links von xx liegt. Damit kommst du auf die xx-Koordinate:
xD=x3x_{D}= x-3
Für die yy-Koordinate kannst du die Höhe des Punktes MnM_n nutzen. Dessen yy-Koordinate ist dieselbe wie von DnD_n.
yD=0,75log0,5(xx1)y_D = 0,75 \cdot \text{log}_{0,5}\left( \dfrac{x}{x-1}\right)
Um den Trägergraphen zu bestimmen musst du nun die Gleichung für xDx_D nach xx auflösen und in die Gleichung von yDy_D einsetzen.
Auflösen nach xx:
x=xD+3x=x_D +3
Einsetzen in yDy_D:
yD=0,75log0,5(xD+3xD+31)y_D = 0,75 \cdot \text{log}_{0,5}\left( \dfrac{x_D+3}{x_D+3-1}\right)
yD=0,75log0,5(xD+3xD+2)y_D = 0,75 \cdot \text{log}_{0,5}\left( \dfrac{x_D+3}{x_D+2}\right)
Du erhältst damit den Trägergraphen für DnD_n:
y=0,75log0,5(x+3x+2)y= 0,75 \cdot \text{log}_{0,5}\left( \dfrac{x+3}{x+2}\right)
Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video eine Schritt-für-Schritt Lösung der Aufgabe anschaun.