Teil B

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gegeben ist die Funktion $f_1$ mit der Gleichung $y=-2\cdot\log_{0{,}5}x-1{,}5~~(\mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R})$ .
Der Graph der Funktion $f_1$ wird durch orthogonale Affinität mit der $x$ -Achse als Affinitätsachse und dem Affinitätsmaßstab $k=-0{,}5$ sowie anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec{v}=\begin{pmatrix} 0\\ -1{,}5\end{pmatrix}$ auf den Graphen der Funktion $f_2$ abgebildet. Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion $f_2$ die Gleichung
  $y=\log_{0{,}5}x-0{,}75$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R}$ $\times$ $\mathbb{R}$ hat.
2. Zeichnen Sie die Graphen zu $f_1$ und $f_2$ für $x\in\ [0{,}5;11]$ in ein Koordinatensystem. Berechnen Sie sodann die Nullstelle der Funktion $f_1$ .
  Für die Zeichnung: Längeneinheit $1$ cm; $-1\leq x\leq12; -5\leq y\leq6$ .
3. Punkte $A_n(x|-2\cdot\log_{0{,}5}x-1{,}5$ ) auf dem Graphen zu $f_1$ haben dieselbe Abszisse $x$ wie Punkte $B_n(x|\log_{0{,}5}x-0{,}75)$ auf dem Graphen zu $f_2$ . Sie sind für $x \gt 1{,}19$ zusammen mit Punkten $C_n$ Eckpunkte von Dreiecken $A_nB_nC_n$ .
  Es gilt: $\overrightarrow{A_nC_n}=\begin{pmatrix} 4 \\ -1{,}5 \end{pmatrix}$ .
  Zeichnen Sie das Dreieck $A_1B_1C_1$ für $x=2$ und das Dreieck $A_2B_2C_2$ für $x=7$ in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe b) ein.
4. Das Dreieck $A_3B_3C_3$ ist gleichschenklig mit der Basis $[A_3B_3]$ . Bestimmen Sie rechnerisch die $x$ -Koordinate des Punktes $A_3$ .
5. Berechnen Sie die Koordinaten der Schwerpunkte $S_n$ der Dreiecke $A_nB_nC_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ und geben Sie die Gleichung des Trägergraphen der Punkte $S_n$ an.
  Zeichnen Sie sodann die Schwerpunkte $S_1$ und $S_2$ der Dreiecke $A_1B_1C_1$ und $A_2B_2C_2$ in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe b) ein.
2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Die Punkte $A(-2|2)$ und $C(3|3)$ sind für $x<8$ gemeinsame Eckpunkte von Vierecken $AB_nCD_n$ . Die Eckpunkte $B_n(x|0{,}5x)$ liegen auf der Geraden $g$ mit der Gleichung $y=0{,}5x; (\mathbb{G}=\mathbb{R}$ $\times$ $\mathbb{R})$ . Der Punkt $M$ ist der Mittelpunkt der Diagonalen $[AC]$ .
Für die Diagonalen $[B_nD_n]$ gilt: $M\in[B_nD_n]$ und $\overrightarrow{B_nD_n}=3{,}5\cdot\overrightarrow{B_nM}$ .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Zeichnen Sie die Gerade $g$ und das Viereck $AB_1CD_1$ für $x=0{,}5$ sowie die Diagonalen $[AC]$ und $[B_1D_1]$ in ein Koordinatensystem.
  Für die Zeichnung: Längeneinheit $1$ cm; $-5 \leq x \leq 5; -2 \leq y \leq 10$
2. Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte $D_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_n$ .
  [Ergebnis: $D_n(-2{,}5x+1{,}75|-1{,}25x+8{,}75)$ ]
3. Bestimmen Sie die Gleichung des Trägergraphen der Punkte $D_n$ .
4. Unter den Vierecken $AB_nCD_n$ gibt es das Drachenviereck $AB_2CD_2$ .
  Zeigen Sie rechnerisch, dass für die $x$ -Koordinate des Punktes $B_2$ gilt: $x=0{,}91$ .
  Berechnen Sie sodann den Flächeninhalt des Drachenvierecks $AB_2CD_2$ .
5. Der Punkt $C'$ entsteht durch Achsenspiegelung des Punktes $C$ an der Geraden $g$ . Für das Viereck $AB_3CD_3$ gilt: $B_3 \in [AC']$ .
  Berechnen Sie die Koordinaten von $C'$ und zeichnen Sie sodann das Viereck $AB_3CD_3$ in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe a) ein.
6. Begründen Sie, dass für die Flächeninhalte der Dreiecke $AMD_n$ und $MB_nC$ gilt:

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