3.0 Vitamin D kann im menschlichen Körper produziert werden, wenn Sonnenstrahlung unter bestimmten Bedingungen auf die Haut trifft. Im Winterhalbjahr nimmt daher die Konzentration von Vitamin D im Körper normalerweise ab.

Bei Andreas wurde Ende September eine Anfangskonzentration von 55 Nanogramm Vitamin D pro Milliliter Blut %%(55\frac{ng}{ml})%% gemessen.Der Zusammenhang zwischen der Anzahl x der Wochen und der verbleibenden Konzentration %%y\frac{ng}{ml}%% an Vitamin D lässt sich bei Andreas näherungsweise durch die Funktion %%f_1%% mit der Gleichung

%%y=55\cdot0,93^x\;(\;G=\mathbb{R}^+x\;\mathbb{R}^+)%% beschreiben.

3.1 Um wie viel Prozent reduziert sich folglich bei Andreas die Konzentration an Vitamin D in einer Woche?

3.2 Berechnen Sie mithilfe der Funktion %%f_1%% die Konzentration an Vitamin D bei Andreas nach 21 Tagen.

Runden Sie auf 2 Nachkommastellen.

3.3 Berechnen Sie, in welcher Woche sich die Anfangskonzentration an Vitamin D bei Andreas entsprechend der Funktion %%f_1%% halbiert.

3.4 Bei Stephan wurde gleichzeitig mit Andreas eine Messung begonnen. Bei Stephan lässt sich der Zusammenhang zwischen der Anzahl x der Wochen und der verbleibenden Konzentration %%y\frac{ng}{ml}%% an Vitamin D durch die Funktion %%f_2%% mit der Gleichung

%%y=51\cdot0,91^x\;\;(G={\mathbb{R}}_0^+x\;{\mathbb{R}}_0^+)%% beschreiben.

Ist es unter diesen Voraussetzungen möglich, dass die Konzentrationen an Vitamin D zu einem Zeitpunkt bei Stephan und Andreas den gleichen Wert erreichen? Begründen Sie Ihre Entscheidung ohne Rechnung.

Lösung zur Teilaufgabe 3.1

Die Vitamin D Konzentration beträgt zu Beginn der Messung 55ng/ml. Nach einer Woche (x=1) beträgt sie: $$55*0,93^1$$ Somit hat die konzentration um 7% abgenommen

Lösung zur Teilaufgabe 3.2

Nach 21 Tagen, also x=3 Wochen beträgt die Konzentration $$f_1\left(3\right)=55\cdot0,93^3=44,24\frac{ng}{ml}$$

Lösung zur Teilaufgabe 3.3

nach welcher Zeit hat sich die Konzentration halbiert? Also $$f_1\left(x\right)=\frac12\cdot55\Leftrightarrow55\cdot0,93^x=55\cdot\frac12\Leftrightarrow0,93^x=\frac12\Leftrightarrow\\\log0,93^x=\log\frac12\Leftrightarrow x\cdot\log0,93=-\log2\Leftrightarrow x=\frac{-\log2}{\log0,93}=9,55$$ Also in der 10. Woche hat sich die Vitamin-D Konzentration halbiert

Lösung zur Teilaufgabe 3.4

Die Vitamin D Konzentationen bei Stephan und Andreas können zu keinem Zeitpunkt gleich sein. Denn die beiden Exponentialfunktionen sind streng monoton fallend und fallend. Die Graphen der Exponentialfunktionen schneiden sich nur bei x=0; auf der y-Achse.