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Nachtermin Teil A

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Punkte BnB_n auf der Geraden gg mit der Gleichung y=1,5y=-1{,}5 und Punkte

    Cn(x0,250,5x4+2)C_n(\textrm{x}|-0{,}25\cdot0{,}5^{\textrm{x}-4}+2) auf dem Graphen der Funktion ff mit der Gleichung

     y=0,250,5x4+2 \ y=-0{,}25\cdot0{,}5^{x-4}+2\ haben dieselbe Abszisse x  (G=R×R)x\;(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}). Sie bilden für x>0,19x>0{,}19 zusammen mit dem Punkt A(00)A(0|0) Dreiecke ABnCn.AB_nC_n.

    1. Im Koordinatensystem ist der Graph der Funktion f f bereits eingezeichnet.

      Ergänzen Sie die Gerade gg und das Dreieck AB1C1AB_1C_1 für x=6\textrm{x}=6.

      Funktion
    2. Unter den Dreiecken ABnCnAB_nC_n gibt es das gleichschenklige Dreieck AB2C2AB_2C_2 mit der Basis [B2C2][B_2C_2].

      Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Punktes C2C_2.

  2. 2

    Gegeben sind Sechsecke ABnCnDEnFnAB_nC_nDE_nF_n mit der Symmetrieachse ADAD. Der Punkt GG ist der Mittelpunkt der Strecken [CnEn][C_nE_n] und [BnFn][B_nF_n].

    Es gilt: AG=4  cm \overline{AG}=4\;\text{cm} und DG=3  cm\overline{DG}=3\;\text{cm}.

    Die Winkel BnAFnB_nAF_n haben das Maß φ\varphi und die Winkel EnDCnE_nDC_n haben das Maß 2φ2\varphi mit φ]0;  90[.\varphi\in\,]0^\circ;\;90^\circ\lbrack.

    Die Zeichnung zeigt das Sechseck AB1C1DE1F1AB_1C_1DE_1F_1 für φ=40\varphi= 40^\circ.

    Bild
    1. Zeigen Sie, dass für die Längen der Strecken [BnFn][B_nF_n] und [CnEn][C_nE_n] in Abhängigkeit von φ\varphi gilt: BnFn(φ)=8tan(0,5φ)cm\overline{B_nF_n}(\varphi)=8\cdot \textrm{tan}(0{,}5\cdot\varphi)\,\textrm{cm} und CnEn(φ)=6tanφ cm.\overline{C_nE_n}(\varphi)=6\cdot \textrm{tan}\varphi \ \textrm{cm}.

    2. Die Sechsecke ABnCnDEnFnAB_nC_nDE_nF_n rotieren um die Gerade AD AD.

      Zeigen Sie, dass für den Oberflächeninhalt OO der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von φ\varphi gilt:

      O(φ)=(16πtan(0,5φ)cos(0,5φ)+9πtan(φ)cos(φ)+9πtan2φ16πtan2(0,5φ)) cm2O(\varphi)=\bigg(16\pi\cdot \frac{{\tan(0{,}5\cdot\varphi})}{\cos(0{,}5\cdot\varphi)}+9 \pi\cdot\frac{{\tan(\varphi})}{\cos(\varphi)}+9\pi\cdot \tan^2\varphi-16\pi\cdot \tan^2(0{,}5\cdot\varphi)\bigg)\ \text{cm}^2

    3. Für das Sechseck AB2C2DE2F2AB_2C_2DE_2F_2 gilt: AB2=B2F2=F2A\overline{AB_2}=\overline{B_2F_2}=\overline{F_2A}.

      Zeichnen Sie das Sechseck AB2C2DE2F2AB_2C_2DE_2F_2 in die Zeichnung zur Aufgabenstellung ein.

      Berechnen Sie sodann den Oberflächeninhalt des zugehörigen Rotationskörpers. Runden Sie auf zwei Nachkommastellen.

  3. 3

    Gegeben ist das Rechteck ABCDABCD. Punkte EnE_n auf der Seite [AB][AB] und Punkte FnF_n auf der Seite [CD][CD] legen zusammen mit dem Punkt DD Dreiecke DEnFnDE_nF_n fest. Die Winkel ADEnADE_nhaben das Maß φ\varphi mit φ[24,30°;65,70°]\varphi\in[24{,}30°;65{,}70°]

    Es gilt: AB=8cm;AD=3cm \overline{AB}=8\,\textrm{cm} \,; \overline{AD}=3\,\textrm{cm}; FnEnD=90°\measuredangle F_nE_nD=90° .

    Die Skizze zeigt das Dreieck DE1F1DE_1F_1 für φ=50°\varphi=50°.

    Bild
    1. Begründen Sie, weshalb die Winkel DFnEnDF_nE_n stets das Maß φ\varphi haben

    2. Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken [CFn][CF_n] in Abhängigkeit von φ\varphi gilt: CFn(φ)=(83sinφcosφ))cm.\overline{CF_n}(\varphi)=\bigg(8-\dfrac{{3}}{\sin\varphi\cdot \cos\varphi})\bigg)cm.

    3. Berechnen Sie die Länge der Strecke [CF1][CF_1]. Runden Sie auf zwei Nachkommastellen.


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