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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Der Punkt A(00) A(0|0) ist gemeinsamer Eckpunkt von Dreiecken ABnCnAB_nC_n.

    Die Punkte Bn(x0,25x2)B_n(\text{x}|0{,}25\text{x}-2) liegen auf der Geraden gg mit y=0,25x2(G=R×R)\\\textrm{y}=0{,}25\textrm{x}-2\, (\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}).

    Es gilt: BnACn=50;ACn=1,5ABn\measuredangle B_nAC_n=50^\circ;\overline{AC_n}=1{,}5\cdot\overline{AB_n}.

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    Abschlussprüfung 2020
    1. Zeichnen Sie das Dreieck AB1C1AB_1C_1 für x=4\textrm{x\,=\,4}\, in das Koordinatensystem zu 1.0 ein.

    2. Für das Dreieck AB2C2AB_2C_2 gilt: x=8\textrm{x=8}.

      Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Punktes C2C_2.

  2. 2

    Gegeben ist die Funktion ff mit der Gleichung y=0,5(x+2)3  +1  (G=R×R)y=0{,}5\cdot(\textrm{x}+2)^{-3}\;+1 \ \ (\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}). Im Koordinatensystem ist für x>2x>-2 der Graph zu ff eingezeichnet.

    Graph
    1. Zeichnen Sie für x[6;  2,5]x\in\lbrack-6;\;-2{,}5\rbrack den Graphen zu ff in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein und geben Sie die Wertemenge von f f an.

    2. Punkte An(x  0,5(x+2)3+1)A_n(\textrm{x}\vert\;0{,}5\cdot(\textrm{x}+2)^{-3}+1) mit der Abszisse xx liegen auf dem Graphen zu ff mit xR(2)x\in\mathbb{R}\setminus{(-2)}.

      Sie legen mit Punkten Bn,CnB_n,C_n und DnD_n Quadrate AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n fest.

      Die x-Koordinate der Punkte BnB_n ist um 2 größer als die Abszisse xx der Punkte AnA_n, die y-Koordinate der Punkte BnB_n ist um 1 größer als die yy-Koordinate der Punkte An.A_n. Zeichnen Sie die Quadrate A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 für x=3\textrm{x}=-3 und A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2 für

      x=2x=2 in das Koordinatensystem zu 2.0.

    3. Begründen Sie, weshalb alle Quadrate AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n den gleichen Flächeninhalt AA haben, und geben Sie diesen an.

    4. Zeigen Sie, dass für die Koordinaten der Punkte CnC_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n gilt: Cn(x+1  0,5(x+2)3+4)C_n({x}+1\vert\;0{,}5\cdot({x}+2)^{-3}+4).

    5. Der Punkt C3C_3 des Quadrats A3B3C3D3A_3B_3C_3D_3 liegt auf der yy–Achse. Geben Sie die Koordinaten des Punktes C3C_3 an.

  3. 3

    Gegeben sind Drachenvierecke ABnCDnAB_nCD_n mit der Symmetrieachse AC AC. Punkte EnE_n sind die Mittelpunkte der Strecken [BnDn][B_nD_n] . Die Winkel BnCEnB_nCE_n haben das Maß φ\varphi mit φ]0;  90[.\varphi\in\,]0^\circ;\;90^\circ\lbrack.\\

    Es gilt: AC=2 cm\overline{AC}=2\ \text{cm} und BnC=CDn=3 cm.\overline{B_nC}=\overline{CD_n}=3\ \text{cm}.

    Die nebenstehende Zeichnung zeigt das Drachenviereck AB1CD1AB_1CD_1 für φ=50°φ=50°.

    Rotation
    1. Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Längen der Strecken [BnEn][B_nE_n] und [AEn][AE_n] in Abhängigkeit von φ\varphi gilt:

      BnEn(φ)=3sinφcm\overline{B_nE_n}(\varphi)=3\cdot \textrm{sin}\varphi \,\textrm{cm} und AEn(φ)=(3cosφ+2)cm.\overline{AE_n}(\varphi)=(3\cdot \textrm{cos}\varphi +2) \,\textrm{cm}.

    2. Die Drachenvierecke ABnCDnAB_nCD_n rotieren um die Gerade ACAC.

      Bestätigen Sie rechnerisch, dass für das Volumen VVder entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von φ\varphi gilt: V(φ)=6πsin2φcm3V(\varphi)=6\cdot\pi\cdot\textrm{sin}^2\varphi\,\textrm{cm}^3.

    3. Eine der folgenden Aussagen zu den Rotationskörpern aus 3.2 ist richtig. Kreuzen Sie diese Aussage an.


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