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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Die Skizze zeigt das Fünfeck ABCDEABCDE, das den Grundriss eines Badezimmers darstellt. Es gilt:

    AC=6,00  m    AE=2,25  m    CD=3,60  m;CBA=90;    BAE=85;BAC=DCA=36,87.\overline{AC}=6{,}00\;\text{m}\;\;\overline{AE}=2{,}25\;\text{m}\;\;\overline{CD}=3{,}60\;\text{m};\\\angle CBA=90^\circ;\;\;\angle BAE=85^\circ;\\\angle BAC=\angle DCA=36{,}87^\circ.

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    Bild
    1. Berechnen Sie jeweils die Länge der Strecken [AB][AB] und [BC][BC].

      [[Ergebnisse: AB=4,80  m;BC=3,60  m\overline{AB}=4{,}80\;\text{m};\:\overline{BC}=3{,}60\;\text{m}]]

    2. Zeichnen Sie den Grundriss des Badezimmers im Maßstab 1:501 : 50 und begründen Sie, dass die Geraden ABAB und CDCD parallel zueinander sind.

    3. Ermitteln Sie rechnerisch jeweils die Länge der Strecken [EC][EC] und [ED][ED].

      [[Teilergebnis: DCE=16,44\angle DCE=16{,}44^\circ; Ergebnisse: EC=4,80  m;ED=1,69  m\overline{EC}=4{,}80\;\text{m};\:\:\overline{ED}=1{,}69\;\text{m}]]

    4. Der Kreis um DD mit dem Radius DE\overline{DE} schneidet die Strecke [DC][DC] im Punkt FF.

      Zeichnen Sie den zugehörigen Kreisbogen EF\overset\frown{EF} in die Zeichnung zu Teilaufgabe b) ein und berechnen Sie sodann das Maß des Winkels EDFEDF.

      [[Ergebnis: EDF=126,42\angle EDF=126{,}42^\circ]]

    5. Im Bereich, der durch die Strecken [FD][FD] und [DE][DE] sowie durch den Kreisbogen EF\overset\frown{EF} begrenzt ist, wird eine Dusche errichtet. Die restliche Bodenfläche wird gefliest. Ermitteln Sie den Flächeninhalt AA des zu fliesenden Bodens.

    6. Der Punkt PP mit P[EF]P \in[EF] kennzeichnet die Lage des Abflusses der Dusche.

      Dabei hat PP die minimale Entfernung zum Punkt DD.

      Zeichnen Sie die Strecke [EF][EF] und den Punkt PP in die Zeichnung zu Teilaufgabe b) ein und bestimmen Sie sodann durch Rechnung die Länge der Strecke [PD][PD].

  2. 2

    Die Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide ABCDSABCDS, deren Grundfläche das Quadrat ABCDABCD ist.

    Die Spitze SS der Pyramide liegt senkrecht über dem Mittelpunkt MM der Strecke [AD][AD].

    NN ist der Mittelpunkt der Strecke [BC][BC].

    Es gilt: AB=8  cm;    SNM=55\overline{AB}=8\;\text{cm};\;\;\sphericalangle SNM=55^\circ

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    Bild
    1. Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCDSABCDS, wobei die Strecke [MN][MN] auf der Schrägbildachse und der Punkt MM links vom Punkt NN liegen soll.

      Für die Zeichnung gilt: q=12;      ω=45.q=\frac12;\;\;\;\omega=45^\circ.

      Berechnen Sie sodann die Höhe [MS][MS] der Pyramide ABCDSABCDS und die Länge der Strecke [SN][SN].

      [[Ergebnisse: MS=11,43  cm;    SN=13,95  cm\overline{MS}=11{,}43\;\text{cm};\;\;\overline{SN}=13{,}95\;\text{cm}]]

    2. Punkte PnP_n auf der Strecke [SN][SN] mit PnS(x)=x  cm\overline{P_nS}(x)=x\;\text{cm} und xRx\in\mathbb{R} und x  ]0;13,95[x\in\; ] 0;13{,}95 [ sind die Spitzen von Pyramiden BCMPnBCMP_n. Punkte FnF_n sind die Fußpunkte der Pyramidenhöhen[PnFn][P_nF_n].

      Zeichnen Sie für x=5x=5 die Pyramide BCMP1BCMP_1 zusammen mit ihrer Höhe [P1F1P_1F_1] in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein. Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels SP1M\measuredangle SP_1M

      [[Teilergebnis: MP1=7,88  cm\overline{MP_1}=7{,}88\;\text{cm}]]

    3. Zeigen Sie, dass für das Volumen VVder Pyramiden BCMPnBCMP_n in Abhängigkeit von xx gilt: V(x)=(8,75x+121,92)  cm3V(x)=(-8{,}75x+121{,}92)\;\text{cm}^3

    4. Ermitteln Sie rechnerisch, für welche Werte von xx das zugehörige Volumen der Pyramiden BCMPnBCMP_n mehr als 34  %34\;\% des Volumens der Pyramide ABCDSABCDS beträgt.

    5. Unter den Punkten PnP_n hat der Punkt P2P_2 die kürzeste Entfernung zu MM.

      Zeichnen Sie die Pyramide BCMP2BCMP_2 in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein. Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [MP2MP_2] sowie den zugehörigen Wert für xx.


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