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Nachtermin Teil B

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Die Parabel p1p_1 mit dem Scheitel S(0,51)S(0{,}5|1) hat eine Gleichung der Form y=0,5x2+bx+c(G=R×R; bR; cR)y=0{,}5x^2+bx+c\quad(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R};~b\in\mathbb{R};~c\in\mathbb{R}).

    Die Parabel p2p_2 hat die Gleichung y=0,5x2+3(G=R×R)y=0{,}5x^2+3\quad(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}). Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für bb und cc, dass die Parabel p1p_1 die Gleichung y=0,5x20,5x+1,125y=0{,}5x^2-0{,}5x+1{,}125 hat. Zeichnen Sie sodann die Parabeln p1p_1 und p2p_2 für x[2;4]x\in[-2;4] in ein Koordinatensystem ein.

      Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm1~\text{cm}; 2x4; 0y11-2\le x\le 4;~0\le y\le 11

    2. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts TT der Parabeln p1p_1 und p2p_2.

    3. Punkte An(x0,5x2+3)A_n(x|0{,}5x^2+3) auf der Parabel p2p_2 haben dieselbe Abszisse xx wie Punkte Bn(x0,5x20,5x+1,125)B_n(x|0{,}5x^2-0{,}5x+1{,}125) auf der Parabel p1p_1. Sie sind für x>3,75x>-3{,}75 zusammen mit Punkten CnC_n die Eckpunkte von Dreiecken AnBnCnA_nB_nC_n.

      Die Punkte CnC_n liegen auf der Parabel p2p_2, wobei die Abszisse der Punkte CnC_n stets um 2 größer ist als die Abszisse xx der Punkte AnA_n.

      Zeichnen Sie das Dreieck A1B1C1A_1B_1C_1 für x=1,5x=-1{,}5 und das Dreieck A2B2C2A_2B_2C_2 für x=1x=1 in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe (a) ein.

      Zeigen Sie sodann, dass sich die Koordinaten der Punkte CnC_n in Abhängigkeit von der Abszisse AnA_n wie folgt darstellen lassen: Cn(x+20,5x2+2x+5)C_n(x+2|0{,}5x^2+2x+5)

    4. Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecke [AnBn][A_nB_n] in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n gilt:

      AnBn(x)=(0,5x+1,875) LE\overline{A_nB_n}(x)=(0{,}5x+1{,}875)~\text{LE}

    5. Unter den Dreiecken AnBnCnA_nB_nC_n gibt es das rechtwinklige Dreieck A3B3C3A_3B_3C_3 mit der Hypotenuse [A3C3][A_3C_3].

      Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Punktes B3B_3.

    6. Unter den Dreiecken AnBnCnA_nB_nC_n gibt es das gleichschenklige Dreieck A4B4C4A_4B_4C_4 mit der Basis [A4B4][A_4B_4].

      Bestimmen Sie rechnerisch den zugehörigen Wert für xx.

  2. 2
    Bild

    Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild des Prismas ABCDEFABCDEF, dessen Grundfläche das gleichschenklige Dreieck ABCABC mit der Basis [BC][BC] ist. Der Punkt DD liegt senkrecht über dem Punkt AA. Der Punkt MM ist der Mittelpunkt der Strecke [BC][BC] und der Punkt GG ist der Mittelpunkt der Strecke [EF][EF].

    Es gilt: BC=14 cm; AM=10 cm; AD=6 cm\overline{BC}=14~\text{cm};~\overline{AM}=10~\text{cm};~\overline{AD}=6~\text{cm}

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas ABCDEFABCDEF, wobei die Strecke [AM][AM] auf der Schrägbildachse und der Punkt AA links von MM liegen soll.

      Für die Zeichnung gilt: q=0,5; ω=45q=0{,}5;~\omega=45^\circ

      Zeichnen Sie sodann die Strecke [AG][AG] in das Schrägbild ein und berechnen Sie deren Länge sowie das Maß φ\varphi des Winkels AGMAGM.

      [[Ergebnis: φ=59,04]\varphi=59{,}04^\circ]

    2. Ebenen, die zur Grundfläche ABCABC parallel sind, schneiden [AG][AG] in Punkten PnP_n, [BE][BE] in Punkten QnQ_n, [CF][CF] in Punkten RnR_n und [MG][MG] in Punkten NnN_n.

      Es gilt: GNn(x)=x cm\overline{GN_n}(x)=x~\text{cm} mit xRx\in\mathbb{R} sowie 0<x<60<x<6.

      Der Punkt MM ist die Spitze von Pyramiden PnQnRnMP_nQ_nR_nM mit Dreiecken PnQnRnP_nQ_nR_n als Grundfläche.

      Zeichnen Sie die Strecke [GM][GM], den Punkt N1N_1 sowie die Pyramide P1Q1R1MP_1Q_1R_1M für x=3x=3 in das Schrägbild zur Teilaufgabe (a) ein.

    3. Zeigen Sie rechnerisch, dass sich das Volumen VVder Pyramiden PnQnRnMP_nQ_nR_nM in Abhängigkeit von xx wie folgt darstellen lässt: V(x)=(3,90x2+23,38x) cm3V(x)=(-3{,}90x^2+23{,}38x)~\text{cm}^3.

      [[Teilergebnis: PnNn(x)=1,67x cm]\overline{P_nN_n}(x)=1{,}67x~\text{cm}]

    4. Unter den Pyramiden PnQnRnM{P_nQ_nR_nM} hat die Pyramide P0Q0R0MP_0Q_0R_0M das maximale Volumen.

      Berechnen Sie, um wie viel Prozent das Volumen der Pyramide P0Q0R0MP_0Q_0R_0M kleiner ist als das Volumen des Prismas ABCDEFABCDEF.

    5. Die Pyramiden P2Q2R2MP_2Q_2R_2M und P3Q3R3MP_3Q_3R_3M haben jeweils ein Volumen von 7,5 cm37{,}5~\text{cm}^3.

      Berechnen Sie die zugehörigen Werte für xx.

    6. Zeigen Sie, dass für die Längen der Strecken [PnM][P_nM] in Abhängigkeit von xx gilt:

      PnM(x)=3,79x212x+36 cm\overline{P_nM}(x)=\sqrt{3{,}79x^2-12x+36}~\text{cm}.

      Unter den Strecken [PnM][P_nM] hat die Strecke [P4M][P_4M] die minimale Länge.

      Zeichnen Sie die Strecken [P4M][P_4M] in das Schrägbild zur Teilaufgabe (a) ein und berechnen Sie deren Länge.


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