Nachtermin Teil B

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Die Aufgabenstellung findest Du hier als PDF.

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Die Parabel $p$ verläuft durch die Punkte $P\left(−6\vert10\right)\ \text{und}\ Q\left(4|−5\right)$ .
Sie hat eine Gleichung der Form $y=0{,}25x^2+bx\ +c\ \text{mit}\ \mathbb{G} = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ und $b, c$ $\in \mathbb{R}$ .
Die Gerade $g$ besitzt die Gleichung $\text{y}= −0{,}5x + 1 \ \text{mit}\ \mathbb{G} = \mathbb{R}\times \mathbb{R}.$
1. Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für $b$ und $c$ , dass die Parabel $p$ die Gleichung $y=0{,}25x^2 − x − 5$ besitzt.
  Zeichnen Sie sodann die Parabel $p$ und die Gerade $g$ für $x\ \in \left[−5;7\right]$ in ein Koordinatensystem.
  Für die Zeichnung: Längeneinheit $1$ cm; $−5\leq x \leq 7 ; −7\leq y \leq 7$ .
2. Punkte $A_n(x|0{,}25x^2\ −\ x\ −\ 5)$ auf der Parabel $p$ und Punkte $C_n(x|-0{,}5x+1$ ) auf der Geraden $g$ haben dieselbe Abszisse $x$ . Sie sind zusammen mit Punkten $B_n$ auf der Geraden $g$ und Punkten $D_n$ für $\ x\in\ ]−4;6[$ Eckpunkte von Drachenvierecken $A_nB_nC_nD_n$ mit der Geraden $A_nC_n$ als Symmetrieachse. Der Abstand der Punkte $B_n$ von der Geraden $A_nC_n$ beträgt $2$ LE.
  Zeichnen Sie die Drachenvierecke $A_1B_1C_1D_1$ für $x=−2$ und $A_2B_2C_2D_2$ für $x=3$ in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe a) ein.
3. Geben Sie die Koordinaten der Punkte $D_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ an.
4. Ermitteln Sie durch Rechnung den Flächeninhalt $A$ der Drachenvierecke $A_nB_nC_nD_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ .
  $[\text{Teilergebnis:}\ \overline{A_nC_n}(x)=(−0{,}25x^2\ +0{,}5x\ +6)\ \text{LE}]$
5. Unter den Drachenvierecken $A_nB_nC_nD_n$ gibt es das Drachenviereck $A_0B_0C_0D_0$ , das die größtmögliche Streckenlänge $\overline{A_0C_0}$ besitzt. Bestimmen Sie rechnerisch die Länge der Strecke $[A_0C_0]$ sowie die Koordinaten des Punktes $B_0$ .
6. Unter den Drachenvierecken $A_nB_nC_nD_n$ gibt es die Drachenvierecke $A_3B_3C_3D_3$ und $A_4B_4C_4D_4$ , für die gilt: $\overline{A_nC_n}=1{,}5\cdot \overline {B_nD_n}$ . Berechnen Sie die $x$ -Koordinaten der Punkte $A_3$ und $A_4$ .
7. Begründen Sie, dass das Maß der Winkel $C_nB_nD_n$ für alle Drachenvierecke $A_nB_nC_nD_n$ gleich ist.
2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild des geraden Prismas $ABCDEF$ , dessen Grundfläche das gleichschenklige Dreieck $ABC$ mit der Basis $\left[BC\right]$ ist. Der Punkt $M$ ist der Mittelpunkt der Strecke $\left[BC\right]$ , der Punkt $N$ ist der Mittelpunkt der Strecke $\left[EF\right]$ .
Es gilt: $\overline{AM}=8\ \text{cm};\overline{BC}=10\ \text{cm};\overline{AD}=9\ \text{cm}.$
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas $ABCDEF$ , wobei die Strecke $\left[AM\right]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $M$ liegen soll. Für die Zeichnung gilt:
  Berechnen Sie sodann das Maß $\varphi$ des Winkels $BAC$ .
2. Zeichnen Sie die Strecke $[MD]$ in das Schrägbild zur Teilaufgabe (a) ein. Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke $[MD]$ sowie das Maß $\epsilon$ des Winkels $NMD$ . $[\text{Ergebnisse}:\ =12{,}04\ \text{cm};\ 41{,}63\degree]$
3. Punkte $S_n$ liegen auf der Strecke $[MD]$ mit $\overline{DS_n}$ $(x)$ = $x$ $\ \text{cm}$ , $x$ $\in \mathbb{R}$ und $x$ $\in$ $]0;12{,}04[$ . Für die Strecken $[S_nH_N]$ mit Punkten $H_n$ auf der Strecke $[MN]$ gilt: $[S_nH_n] \vert \vert [DN]$ . Zeichnen Sie die Strecke $[S_1H_1]$ für $x=4$ in das Schrägbild zur Teilaufgabe (a) ein und berechnen Sie deren Länge.
4. Punkte $Q_n \in[BE]$ und $R_n \in \text{[CF]}$ bilden zusammen mit den Punkten $M$ und N Drachenvierecke $MR_n NQ_n$ mit dem Diagonalenschnittpunkt $H_n$ . Diese Drachenvierecke sind Grundflächen von Pyramiden $MR_n NQ_n S_n$ mit der Spitze $S_n$ . Zeichnen Sie die Pyramide $MR_1 NQ_1 S_1$ in das Schrägbild zur Teilaufgabe (a) ein. Zeigen Sie sodann, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $MR_1 NQ_1 S_1$ in Abhängigkeit von $x$ gilt: $V(x)= (120-9{,}9x)\ \text{cm}^3$ .
5. Das Volumen der Pyramide $MR _2 NQ_2 S_2$ beträgt $25\%$ des Volumens des Prismas $ABCDEF.$ Ermitteln Sie rechnerisch den zugehörigen Wert für $x$ .
6. Der Winkel $MS_3 N$ hat das Maß $110°$ . Zeichnen Sie die Strecke $[S_3N]$ in das Schrägbild zru Teilaufgabe (a) ein und berechnen Sie den zugehörigen Wert für $x$ .

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