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Nachtermin Teil A

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Trapeze ABnCDAB_nCD rotieren um die Achse ADAD. Die Winkel DCBnDCB_n haben das Maß φ\varphi mit φ]45;90[\varphi \in \left] 45^{\circ}; 90^{\circ} \right[.

    Es gilt: AD=4cm\overline{AD} = 4 \, \text{cm}; CD=4cm\overline{CD} = 4 \, \text{cm}; ADC=BnAD=90\sphericalangle ADC= \sphericalangle B_nAD = 90^{\circ}.

    Die Zeichnung zeigt das Trapez AB1CDAB_1CD für φ=80\varphi = 80^{\circ}.

    Trapez
    1. Zeichnen Sie das Trapez AB2CDAB_2CD für φ=55\varphi=55^{\circ} in die Zeichnung ein.

      (1 Punkt)

    2. Bestätigen Sie die untere Intervallgrenze für φ\varphi und begründen Sie sodann, dass das Volumen VV der Rotationskörper gilt: V>643πcm3V>\dfrac{64}{3} \pi \, \text{cm}^3.

      (2 Punkte)

    3. Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken [ABn][AB_n] in Abhängigkeit von φ\varphi gilt:

      ABn=(44tanφ)cm\overline{AB_n}= \left( 4 - \dfrac{4}{\text{tan} \varphi} \right) \,\text{cm}

      (2 Punkte)

  2. 2

    Das radioaktive Isotop Cäsium-137 zerfällt mit einer Halbwertszeit von 3030 Jahren, d.h. nach dieser Zeit ist von einer bestimmten Anfangsmasse dieses Isotops nur noch die Hälfte an Cäsium-137 vorhanden. Der Zusammenhang zwischen der Anzahl xx der Jahre seit Beginn des Zerfalls und der Masse ymgy \, \text{mg} lässt sich näherungsweise durch eine Funktion der Form y=y00,5x30y=y_0 \cdot 0{,}5^{\frac{x}{30}} (G=R0+×R0+;  y0R+)\left( \mathbb{G} = \mathbb{R}^+_0 \times \mathbb{R}^+_0; \; y_0 \in \mathbb{R}^+\right) darstellen, wobei y0mgy_0 \, \text{mg} die Masse zu Beginn eines Versuches darstellt. Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Bei einem Langzeitversuch sind nach sechs Jahren noch 39mg39 \, \text{mg} des Isotops Cäsium-137 nachweisbar. Bestimmen Sie rechnerisch die Masse, die zu Beginn des Versuches vorhanden war.

      (2 Punkte)

    2. In einem anderen Versuch lässt sich der Zerfallsprozess durch die Funktion mit der Gleichung y=13,50,5x30y=13{,}5 \cdot 0{,}5^{\frac{x}{30}} (G=R0+×R0+)\left( \mathbb{G} = \mathbb{R}^+_0 \times \mathbb{R}^+_0 \right) darstellen. Berechnen Sie, im wievielten Jahr erstmals weniger als 8mg8 \, \text{mg} des Isotops nachweisbar sind.

      (2 Punkte)

    3. Wie viel Prozent der ursprünglichen Masse des Isotops Cäsium-137 sind nach zehn Jahren noch vorhanden?

      Kreuzen Sie die zutreffende Lösung an.

      (1 Punkt)

      a) 20,63 %20{,}63\ \%

      b) 79,37 %79{,}37\ \%

      c) 66,67 %66{,}67\ \%

      d) 83,33 %83{,}33\ \%

      e) 33,33 %33{,}33\ \%

  3. 3

    Der Punkt A(12)A(1|-2) ist gemeinsamer Eckpunkt von gleichschenkligen Dreiecken

    ABnCnAB_nC_n mit den Schenkeln [ABn][AB_n] und [ACn][AC_n].

    Die Mittelpunkte Mn(x0,4x+2)M_n (x |- 0{,}4x + 2) der Schenkel [ACn][AC_n] liegen auf der Geraden gg

    mit der Gleichung y=0,4x+2y =-0{,}4x + 2 (G=R×R)(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}). Es gilt: BnACn=35\sphericalangle B_nAC_n = 35^\circ.

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Zeichnen Sie die Gerade gg sowie die Dreiecke AB1C1AB_1C_1 für x=1,5x=-1{,}5 und AB2C2AB_2C_2 für

      x=3,5x=3{,}5 in das Koordinatensystem ein.

      (Maße des Koodinatensystems: 4x9-4 \le x\le 9, 2y9-2\le y\le 9)

    2. Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken [ACn][AC_n] gilt: ACn=1,66BnCn\overline{AC_n}=1{,}66\cdot \overline{B_nC_n}.

    3. Unter den Dreiecken ABnCnAB_nC_n hat das Dreieck AB3C3AB_3C_3 die kürzesten Schenkel.

      Berechnen Sie die Koordinaten des zugehörigen Mittelpunktes M3M_3 des Schenkels [AC3][AC_3].


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