Nachtermin Teil B

Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Funktion $f_1$ die Gleichung $y=-\text{log}_3(x+1)+2$ hat. Geben Sie sodann die Definitionsmenge der Funktion $f_1$ an und zeichnen Sie den Graphen zu $f_1$ für $x \in [-0{,}5 ; 9]$ in ein Koordinatensystem.

Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 \, \text{cm}$; $-2 \leqq x \leqq 10$; $-1 \leqq y \leqq 7$

(4 Punkte)

Der Graph der Funktion $f_1$ wird durch orthogonale Affinität mit der $x$-Achse als Affinitätsachse und dem Affinitätsmaßstab $k=2$ und anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor $\def\arraystretch{1.25} \vec{v} =\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0{,}5 \end{array} \right)$ auf den Graphen der Funktion $f_2$ abgebildet.

Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion $f_2$ die Gleichung $y=-2 \cdot \text{log}_3 (x) + 4{,}5$ hat $\left( \mathbb{G} = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \right)$ und zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f_2$ in das Koordinatensystem zur Teilaufgabe (a) ein.

(4 Punkte)

Punkte $A_n (x | -\text{log}_3(x+1)+2)$ auf dem Graphen zu $f_1$ und Punkte $D_n(x|-2 \cdot \text{log}_3(x)+4{,}5)$ auf dem Graphen zu $f_2$ haben dieselbe Abszisse $x$ und sind zusammen mit den Punkten $B_n$ und $C_n$ für $0 < x <16{,}53$ die Eckpunkte von Trapezen $A_nB_nC_nD_n$. Es gilt: $\overline{A_nB_n} = 2 \, \text{LE}$; $\sphericalangle B_nA_nD_n = 90^{\circ}$; $\sphericalangle A_nD_nC_n = 125^{\circ}$; $[A_nD_n]\,||\, [B_nC_n]$.

Zeichnen Sie die Trapeze $A_1B_1C_1D_1$ für $x=1$ und $A_2B_2C_2D_2$ für $x=5{,}5$ in das Koordinatensystem zur Teilaufgabe (a) ein.

(2 Punkte)

Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken $[B_nC_n]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ gilt: $\overline{B_nC_n}(x)=\left( \text{log}_3 \left( \dfrac{x+1}{x^2} \right) +3{,}90 \right) \, \text{LE}$.

$\left[ \text{Teilergebnis}: \overline{A_nD_n}(x) = \left( \text{log}_3 \left( \dfrac{x+1}{x^2} \right) +2{,}5 \right) \, \text{LE} \right]$

(3 Punkte)

Bestätigen Sie, dass für den Flächeninhalt der Trapeze $A_nB_nC_nD_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ gilt: $A(x)=\left(2\cdot{\text{log}}_3\left(\frac{x+1}{x^2}\right)+6{,}40\right)\,\text{FE}$.

(1 Punkt)

Das Trapez $A_3B_3C_3D_3$ hat einen Flächeninhalt von $8 \, \text{FE}$. Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Punktes $A_3$.

(3 Punkte)

Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide $ABCDS$, wobei $[EF]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $E$ links vom Punkt $F$ liegen soll.

Für die Zeichnung: $q = \dfrac{1}{2}; \; \omega = 45^{\circ}$

Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke $[FS]$ sowie das Maß des Winkels $SFE$.

$\left[ \text{Ergebnisse:}\; \overline{FS}=8{,}51 \, \text{cm}; \; \sphericalangle SFE = 40{,}24 ^{\circ} \right]$

(4 Punkte)

Punkte $P_n$ liegen auf der Strecke $[FS]$ und bilden zusammen mit dem Punkt $G \in [EF]$ Winkel $FGP_n$ mit dem Maß $\varphi \in ]0^{\circ}; 118{,}61^{\circ}[$. Es gilt: $\overline{EG}=3 \, \text{cm}$.

Die Punkte $P_n$ sind die Spitzen von Pyramiden $BCGP_n$ mit der Grundfläche $BCG$ und den Höhen $[P_nL_n]$ mit $L_n \in [EF]$. Zeichnen Sie die Pyramide $BCGP_1$ für $\varphi = 110^{\circ}$ und die zugehörige Höhe $[P_1L_1]$ in das Schrägbild zur Teilaufgabe (a) ein.

(2 Punkte)

Begründen Sie die obere Intervallgrenze für $\varphi$.

(2 Punkte)

Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken $[GP_n]$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt:

$\overline{GP_n}(\varphi) = \dfrac{2{,}26}{\text{sin}(\varphi + 40{,}24^{\circ})}$

(2 Punkte)

Berechnen Sie das Volumen $V$ der Pyramiden $BCGP_n$ in Abhängigkeit von $\varphi$.

$\left[ \text{Ergebnis:} \; V(\varphi) = \dfrac{10{,}55 \cdot \text{sin}\varphi}{\text{sin}(\varphi + 40{,}24^{\circ}} \, \text{cm}^3 \right]$

(3 Punkte)

Das Dreieck $GFP_2$ ist gleichschenklig mit der Basis $[FP_2]$. Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide $BCGP_2$ am Volumen der Pyramide $ABCDS$.

(4 Punkte)Lösung zur Teilaufgabe B 2.1