Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Aufgaben

Punkte für Aufgabe 1.1: 1 P Punkte für Aufgabe 1.2: 3 P Punkte für Aufgabe 1.3: 1 P

Lösung zu Teilaufgabe A 1.1

In dieser Aufgabe verwendest du die trigonometrischen Beziehungen.

Du betrachtest das rechtwinklige Dreieck %%AB_1M%% und erinnerst dich an

%% \displaystyle\cos(\varphi)=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}. %%

Im Dreieck %%AB_1M%% ist die Strecke %%[AM]%% die Ankathete und die gesuchte Strecke %%[AB_1]%% ist die Hypotenuse. Damit formst du die Kosinusbeziehung wie folgt um:

%%\displaystyle\cos(\varphi)=\frac{\overline{AM}}{\overline{AB_1}}%%

%%|\cdot\overline{AB_1}%%

%%\cos(\varphi)\cdot\overline{AB_1}=\overline{AM}%%

%%|:\cos(\varphi)%%

%%\displaystyle\overline{AB_1}=\frac{\overline{AM}}{\cos(\varphi)}%%

Da dir die Länge %%\overline{AM}=4\,\mathrm{cm}%% gegeben ist, kannst du %%\overline{AB_1}%% berechnen:

%% \displaystyle\overline{AB_1}=\frac{\overline{AM}}{\cos(\varphi)}=\frac{4}{\cos(54^\circ)}\approx 6,81\,\mathrm{(cm).} %%

Lösung zu Teilaufgabe A 1.2

Diese Aufgabe beschäftigt sich mit Rotationskörpern.

Du beginnst mit der Berechnung des Volumens des Rotationskörpers, welcher vom linksstehenden Dreieck %%AB_nM%% erzeugt wird. Danach subtrahierst du das Volumen der Halbkugel, welches durch den Kreisbogen %%\overset{\frown}{DC}%% erzeugt wird.

Der Körper, erzeugt vom Dreieck %%AB_nM%%, ist ein Kegel mit der Spitze %%A%%, Radius %%r=\overline{B_nM}%% und Höhe %%h=\overline{AM}%%. Die Länge %%\overline{B_nM}%% berechnest du mittels der Tangensbeziehung

%% \displaystyle \tan(\varphi)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\frac{\overline{B_nM}}{\overline{AM}}. %%

Setzt du nun den Wert %%\overline{AM}=4\,\mathrm{cm}%% aus der Aufgabenstellung ein und löst nach %%\overline{B_nM}%% auf, erhältst du

%% \overline{B_nM}=4\cdot\tan({\varphi})\,\mathrm{(cm).} %%

Skizze des Dreiecks

Erinnere dich an die Volumenformeln für Kegel

%% \displaystyle V_\text{Kegel}=\frac \pi3 \cdot r^2\cdot h=\frac \pi3\cdot 4^2\cdot\tan^2(\varphi)\cdot 4=\frac {64}{3}\cdot\pi\cdot \tan^2(\varphi)\,\mathrm{(cm^3)} %%

und Halbkugel

%% \displaystyle V_\text{Halbkugel}=\frac 12 \cdot \frac43\cdot\pi\cdot r^3=\frac 23\cdot\pi\cdot\overline{MC}^3=\frac{16}{3}\cdot\pi\,\mathrm{(cm^3),} %%

wobei du den Wert für %%\overline{MC}%% einfach der Aufgabenstellung entnimmst. Jetzt hast du alles zusammengetragen, um das gesuchte Volumen zu berechnen:

%% \displaystyle V(\varphi)=V_\text{Kegel}-V_\text{Halbkugel}=\frac{64}{3}\cdot\pi\cdot\tan^2(\varphi)-\frac{16}{3}\cdot\pi=\frac{16}{3}\cdot\pi\left(4\cdot\tan^2(\varphi)-1\right)\,\mathrm{(cm^3).} %%

Lösung zu Teilaufgabe A 1.3

In der vorigen Teilaufgabe A1.2 hast du bereits das Volumen %% \displaystyle V(\varphi)=V_\text{Kegel}-V_\text{Halbkugel}=\frac{64}{3}\cdot\pi\cdot\tan^2(\varphi)-\frac{16}{3}\cdot\pi=\frac{16}{3}\cdot\pi\left(4\cdot\tan^2(\varphi)-1\right)\,\mathrm{(cm^3)} %%

berechnet.

Setzt du nun %%\varphi=54°%% in diese Formel ein, erhältst du

%% \displaystyle V(54°)=\frac{64}{3}\cdot\pi\cdot\tan^2(54°)-\frac{16}{3}\cdot\pi=\frac{16}{3}\cdot\pi\left(4\cdot\tan^2(54°)-1\right)=110.21\,\mathrm{(cm^3).} %%

Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video noch eine Schritt-für-Schritt Lösung der Aufgabe anschauen.

Punkte für Aufgabe 2.1: 2 P Punkte für Aufgabe 2.2: 3 P Punkte für Aufgabe 2.3: 4 P

Lösung zu Teilaufgabe A 2.1

In dieser Aufgabe beschäftigst du dich mit der Konstruktion von Parallelogrammen.

Um den Punkt %%A_2%% zu berechnen, setzt du den Wert %%\varphi=90°%% in %%A_n(2 \cdot \sin \varphi-4|3\cdot \sin \varphi-1)%% ein und erinnerst dich, dass %%\sin 90°=1%% gilt. Damit erhältst du %%A_2 (-2|2)%%.

Nun kannst du den Punkt %%A_2%% sowie die Verbindungsgeraden %%[A_2B]%% und %%[A_2D]%% in das Koordinatensystem eintragen.

Zeichne anschließend je eine Parallele zur Strecke %%[A_2B]%% durch den Punkt D und eine Parallele zu %%[A_2D]%% durch den Punkt B. Der Schnittpunkt dieser beiden Geraden liefert den Punkt %%C_2%% und somit auch das Parallelogramm %%A_2BC_2D%%.

Das konstruierte Parallelogramm

Lösung zu Teilaufgabe A 2.2

In dieser Aufgabe benutzt du Konzepte aus dem Artikel Geradengleichung.

Du berechnest zunächst die Steigung %%m%% des Trägergraphen %%t%%. Dies machst du mit dem Steigungsdreieck:

%% \displaystyle m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2-(-1)}{-2-(- 4)}=\frac{3}{2}. %%

Für den %%y%%-Achsenabschnitt %%c%% setzt du den Punkt %%A_1%% in die Geradengleichung %%t(x)=m\cdot x+c%% ein und berechnest:

%%t(-4)=-1%%

%%-4\cdot m+c=-1%%

%%\displaystyle -4\cdot\frac 32+c=-1%%

%%\displaystyle c=5%%

Setze die Definition von %%t%% ein.

Setze den Wert für %%m%% ein.

Löse nach %%c%% auf.

Zusammenfassend hast du die Geradengleichung des Trägergraphes bestimmt:

%% \displaystyle t(x)=\frac 32\cdot x+5. %%

Für die Skizze des Trägergraphes %%t%% kannst du nochmal in die Lösung zu Teilaufgabe A 2.1 schauen.

Lösung zu Teilaufgabe A 2.3

Erinnere dich an die Berechnung von Parallelogrammflächen mittels Determinante. Dies geht genauso wie im Artikel Dreiecksfläche im Koordinatensystem beschrieben; lediglich der dort erwähnte Vorfaktor %%0,5%% fällt weg.

Du berechnest zunächst die Fläche des Dreiecks %%A_nBD%%. Dazu verwendest du die Verbindungsvektoren

%% \overrightarrow{BD}=\begin{pmatrix}2-(-2)\\3-(- 3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix} %%

und

%% \displaystyle \begin{align} \overrightarrow{BA_n}&=\begin{pmatrix}2\cdot\sin(\varphi)- 4-(-2)\\3\cdot\sin(\varphi)-1-(-3)\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}2\cdot\sin(\varphi)-2\\3\cdot\sin(\varphi)+2 \end{pmatrix}. \end{align} %%

Nach der Determinantenformel gilt

%% \displaystyle \begin{align} A_{\triangle A_nBD}&=\frac12\cdot\left|\overrightarrow{BD}\,\overrightarrow{BA_n}\right|\\ &=\frac12\cdot\begin{vmatrix}4& 2\cdot\sin(\varphi)-2\\ 6&3\cdot\sin(\varphi)+2\end{vmatrix}\\ &=\frac12\left[4\cdot(3\cdot\sin(\varphi)+2)- 6\cdot(2\cdot\sin(\varphi)-2)\right]\\ &=\frac12\left[12\cdot\sin(\varphi)+8-12\cdot\sin(\varphi)+12\right]=10\,\mathrm{(FE).} \end{align} %%

Aus Symmetriegründen ist der Flächeninhalt des Parallelogramms %%A_nBC_nD%% das Doppelte des Dreiecksflächeninhalts:

%% A_{A_nBC_nD}=2\cdot A_{\triangle{A_nBD}}=20\,\mathrm{(FE).} %%

Da dieses Ergebnis unabhängig von %%\varphi%% ist, folgt, dass der Flächeninhalt aller Parallelogramm konstant bleibt.

Punkte für Aufgabe 3.1: 1 P Punkte für Aufgabe 3.2: 2 P Punkte für Aufgabe 3.3: 2 P

Lösung zu Teilaufgabe A 3.1

In dieser Teilaufgabe untersuchst du den Definitionsbereich eines logarithmischen Funktionsterms.

Zunächst betrachtest du die Gleichung der Funktion %%f_1: y=\log_2(x+2)+1%%. Der Logarithmus ist nur für positive %%x%%-Werte definiert. Damit %%x+2>0%% erfüllt ist, muss folglich %%x>-2%% gelten. Der Definitionsbereich ist also durch %%\mathbb{D}=(-2,\infty)%% gegeben.

Lösung zu Teilaufgabe A 3.2

Diese Teilaufgabe beschäftigt sich mit der Umkehrfunktion eines logarithmischen Funktionsterms.

Um die Umkehrfunktion zu %%f_1%% zu bestimmen, kannst du nach folgendem Schema vorgehen:

  1. Zunächst vertauschst du %%x%% und %%y%% in der Funktionsgleichung.
  2. Anschließend löst du die Gleichung %%x=\log_2(y+2)+1%% nach %%y%% auf:

%%x=\log_2(y+2)+1%%

%%x-1=\log_2(y+2)%%

%%|-1%%

%%|2^{(\cdot)}%%

Du rechnest %%2^{(\cdot)}%%, da %%2^x%% die Umkehrfunktion von %%\log_2(x)%% ist.

%%2^{x-1}=y+2%%

%%2^{x-1}-2=y%%

%%|-2%%

Es gilt also %%y=2^{x-1}-2%%.

Damit folgt nun, dass die Umkehrfunktion von %%f_1%% durch %%f_1^{-1}: y=2^{x-1}-2\,%% gegeben ist.

Lösung zu Teilaufgabe A 3.3

In dieser Teilaufgabe berechnest du den Schnittpunkt zweier Funktionen.

Du weißt, dass der Graph der Funktion %%f_2%% eine Gleichung der Form %%y=\log_2(-x+a)+3%% hat und den Graphen der Funktion %%f_1%% auf der %%y%%-Achse schneidet.

Da die Graphen sich auf der %%y%%-Achse schneiden, sind für %%x=0%% die %%y\,%%-Werte der Funktionsgleichungen von %%f_1%% und %%f_2%% gleich:

%%f_1(0)=f_2(0)%%.

Einsetzen der Funktionsgleichungen von %%f_1%% und %%f_2%% liefert %%\log_2(0+2)+1=\log_2(-0+a)+3%%.

Diese Gleichung löst du nun nach a auf:

%%\log_2(0+2)+1=\log_2(-0+a)+3%%

%%\log_2(2)+1=\log_2(a)+3%%

%%\log_2(2)+1-3=\log_2(a)%%

%%2^{\log_2(2)-2}=a%%

%%2^{-1}=a%%

%%|%% vereinfache

%%|-3%%

%%|2^{(\cdot)}%%

%%|\log_2(2)=1%%

und erhältst %%a=2^{-1}=0,5%%.

Folglich ist die Lösungsmenge durch %%\mathbb{L}={\{0,5\}}%% gegeben und die Funktionsgleichung von %%f_2%% lautet %%f_2: y=\log_2(-x+0,5)+3%%.

Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video noch eine Schritt-für-Schritt Lösung der Aufgabe anschauen.

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