B 1.0 Gegeben ist die Funktion %%f_1%% mit der Gleichung %%y=-1,5 \cdot \text{log}_{0,5}(x-1)%% mit %%\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}%%.

B 1.1 Geben Sie die Definitionsmenge und die Wertemenge der Funktion %%f_1%% an und zeichnen Sie den Graphen der Funktion %%f_1%% für %%x \in [1,5;11]%% in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit %%1 \, \text{cm}%%; %%-1 \leqq x \leqq 12; \;%% %%-6 \leqq y \leqq 6%%.

(4 Punkte)

B 1.2 Der Graph der Funktion %%f_1%% wird durch Achsenspiegelung an der %%x%%-Achse und anschließender Parallelverschiebung mit dem Vektor %%\vec{v}%% auf den Graphen der Funktion %%f_2%% mit der Gleichung %%y=1,5 \cdot \text{log}_{0,5} x\;%% %%(\mathbb{G} = \mathbb{R} \times \mathbb{R})%% abgebildet.
Geben Sie die Koordinaten des Verschiebungsvektors %%\vec{v}%% an und zeichnen Sie sodann den Graphen zu %%f_2%% für %%x\in [1,5; 11]%% in das Koordinatensystem zu %%B1.1%% ein.

(3 Punkte)

B 1.3 Punkte %%A_n(x|1,5 \cdot \text{log}_{0,5} x )%% auf dem Graphen zu %%f_2%% haben dieselbe Abszisse %%x%% wie Punkte %%C_n(x| -1,5 \cdot \text{log}_{0,5}(x-1))%% auf dem Graphen zu %%f_1%%. Sie sind für %%x>1,62%% zusammen mit den Punkten %%B_n%% und %%D_n%% die Eckpunkte von Rauten %%A_nB_nC_nD_n%%.

Es gilt: %%\overline{B_nD_n}=6 \, \text{LE}%%.

Zeichnen Sie die Rauten %%A_1B_1C_1D_1%% für %%x=2,5%% und %%A_2B_2C_2D_2%% für %%x=8,5%% in das Koordinatensystem zu %%B1.1%% ein.

Zeigen Sie sodann, dass für die Länge der Strecken %%[A_nC_n]%% in Abhängigkeit von der Abszisse %%x%% der Punkte %%A_n%% gilt: %%\overline{A_nC_n}(x) = -1,5 \cdot \text{log}_{0,5} (x^2-x) \, \text{LE}%%.

(4 Punkte)

B 1.4 Die Raute %%A_3B_3C_3D_3%% ist ein Quadrat. Berechnen Sie die zugehörige %%x%%-Koordinate des Punktes %%A_3%%. Runden Sie dabei auf zwei Stellen nach dem Komma.

(2 Punkte)

B 1.5 Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Koordinaten der Diagonalschnittpunkte %%M_n%% der Rauten %%A_nB_nC_nD_n%% in Abhängigkeit von der Abszisse %%x%% der Punkte %%A_n%% gilt:

%%M_n \left( x | -0,75 \cdot \text{log}_{0,5} \left( \dfrac{x}{x-1}\right) \right)%%.

(2 Punkte)

B 1.6 Geben Sie die Gleichung des Trägergraphen der Punkte %%D_n%% der Rauten %%A_nB_nC_nD_n%% in Abhängigkeit von der Abszisse %%x%% der Punkte %%A_n%% an.

(2 Punkte)

Lösung zur Teilaufgabe B 1.1

Bei dieser Teilaufgabe geht es darum die Wertemenge und Definitionsmenge einer Logarithmusfunktion zu bestimmen. Anschließend soll man diese Funktion auch zeichnen.

Definitionsmenge und Wertemenge

Die Funktion %%f_1(x)=-1,5 \cdot \text{log}_{0,5}(x-1)%% ist nur definiert, wenn das Argument des Logarithmus positiv ist. Du kannst also schnell erkennen, dass du nur Zahlen größer als %%1%% einsetzen darfst.

%%\mathbb{D}=\{ x|x>1\}%%

Die Wertemenge ergibt sich ebenfalls durch die Eigenschaften des Logarithmus und entspricht ganz %%\mathbb{R}%%.

%%\mathbb{W}=\mathbb{R}%%

Einzeichnen in ein Koordinatensystem

Zeichne anschließend die Funktion anhand einer Wertetabelle aus deinem Taschenrechner in ein Koordinatensystem ein.

f1 im Koordinatensystem

Lösung zur Teilaufgabe B 1.2

In dieser Teilaufgabe sollst du den Verschiebungsvektor %%\vec{v}%% bestimmen und die Funktion %%f_2%% in das Koordinatensystem aus B 1.1 einzeichnen.

Bestimmung des Verschiebungsvektors

Die Achsenspiegelung des Graphen %%f_1%% führt dazu, dass sich das Vorzeichen der Funktion umkehrt.

Die Verschiebung bewirkt eine Änderung des Arguments im Logarithmus. Aus %%x-1%% wird hier %%x%%.
Du kannst dir vorstellen, dass die ganze Funktion um %%1%% in %%x%%-Richtung nach links geschoben wird, da nicht mehr %%-1%% gerechnet wird.

Der Vektor, der "Verschiebung um %%1%% in %%x%%-Richtung" repräsentiert ist dann:

%%\vec{v}=\left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \end{array} \right)%%

Einzeichnen der Funktion %%f_2%%

Die Funktion %%f_2=1,5\cdot \text{log}_{0,5}(x)%% zeichnest du wieder mithilfe einer Wertetabelle in das Koordinatensystem ein.

f1 und f2 eingezeichnet im Koordinatensystem

Lösung zur Teilaufgabe B 1.3

In dieser Teilaufgabe sollst du die Rauten %%A_1B_1C_1D_1%% und %%A_2B_2C_2D_2%% einzeichnen und die Länge der Strecken %%[A_nC_n]%% in Abhängigkeit von der Abszisse %%x%% bestimmen.

Zeichnen der Rauten %%A_1B_1C_1D_1%% und %%A_2B_2C_2D_2%%

Einzeichnen der Punkte A1 und C1 und die Strecke A1C1

Die Diagonalen in Rauten halbieren sich jeweils. Du kannst nun also bei der Hälfte der Strecke %%[A_1C_1]%% ansetzen und exakt %%3 \, \text{LE}%% nach links und rechts zeichnen.

Damit kommst du zu den Punkten %%B_1%% und %%D_1%%.

D1 und B1 eingezeichnet und die Strecken D1B1 und C1A1

Verbinde nun die Punkte miteinander um die Raute %%A_1B_1C_1D_1%% zu erhalten.

Verbindung der Strecken D1A1, A1B1, B1C1 und C1D1

Wiederhole diese Schritte für die Raute %%A_2B_2C_2D_2%%. Dabei nutzt du für %%A_2%% und %%C_2%% den %%x%%-Wert %%8,5%%.

A1B1C1D1 und A2B2C2D2 im Koordinatensystem

Berechnung der Länge der Strecken %%\overline{A_nC_n}%%

Da die Abszissen der Punkte %%A_n%% und %%C_n%% gleich groß sind, ist die Strecke %%[A_nC_n]%% so lang, wie die Differenz ihrer %%y%%-Werte

Berechne diese!

%%\overline{A_nC_n}=-1,5 \cdot \text{log}_{0,5}(x-1) -1,5 \cdot \text{log}_{0,5}(x)%%

Klammere %%-1,5%% aus.

%%\overline{A_nC_n}=-1,5 \cdot \left( \text{log}_{0,5}(x-1) + \text{log}_{0,5}(x) \right)%%

Forme den Term in der Klammer nach den Regeln zum Rechnen mit dem Logarithmus um. Aus der Summe wird so ein Produkt im Logarithmus.

%%\overline{A_nC_n}=-1,5 \cdot \left[ \text{log}_{0,5}((x-1)\cdot x) \right]%%

Vereinfache das Argument des Logarithmus.

%%\overline{A_nC_n}=-1,5 \cdot \text{log}_{0,5}(x^2-x)%%

Die Strecke %%[A_nC_n]%% hat die, von %%x%% abhängige, Länge %%\overline{A_nC_n}=-1,5 \cdot \text{log}_{0,5}(x^2-x) \, \text{LE}%%.

Lösung zur Teilaufgabe B 1.4

Bei dieser Teilaufgabe geht es darum die x-Koordinate von %%A_3%% zu bestimmen.

Die Raute %%A_3B_3C_3D_3%% ist ein Quadrat. Bei einem Quadrat sind nicht nur alle Seitenlängen gleich lang, sondern auch die beiden Diagonalen.

In dieser Aufgabe kennst du bereits die Länge der einen Diagonalen %%\overline{B_nD_n}=6 \, \text{LE}%%.
Für die andere Diagonale hast du in der Aufgabe %%B1.3%% bereits eine Formel aufgestellt.

Setze die beiden Diagonalen gleich und berechne damit den %%x%%-Wert von %%A_3%%.

%%6 = -1,5 \cdot \text{log}_{0,5}(x^2-x)%%

Stelle die Gleichung so um, dass nur noch der Logarithmus auf der rechten Seite steht.

%%6 = -1,5 \cdot \text{log}_{0,5}(x^2-x)\hspace{0,5cm}|:(-1,5)%%

%%-4 = \text{log}_{0,5}(x^2-x)%%

Löse anschließend den Logarithmus auf.

%%0,5^{-4} = x^2-x%%

%%16 = x^2-x%%

Stelle diese Gleichung um und nutze die Mitternachtsformel um sie zu lösen!

%%16 = x^2-x \hspace{1,5cm}|-16%%

%%0=x^2-x-16%%

%%x_{3/4}=\dfrac{1 \pm \sqrt{1-4\cdot (-16) \cdot 1}}{2 \cdot 1}%%

%%x_3 = 4,53%%

%%x_4 = -3,53%%

Die Definitionsmenge unserer Funktionen ist nur im Positiven, daher ist %%x_4 = -3,53%% keine gültige Lösung.

Der %%x%%-Wert von %%A_3%% ist %%x_3=4,53%%.

Lösung zur Teilaufgabe B 1.5

Bei dieser Aufgabe sollst du die Koordinaten von %%M_n%% bestimmen.

Die Punkte %%M_n%% liegen genau in der Mitte der Punkte %%A_n%% und %%C_n%%.

Aus diesem Grund muss für jeweils die %%x%%- und die %%y%%-Koordinate die Mitte gefunden werden.

Bei der %%x%%-Koordinate ist dies einfach, da %%A_n%% und %%C_n%% dieselbe Abszisse besitzen. Die %%x%%-Koordinate von %%M_n%% ist also %%x%%.

Bei der %%y%%-Koordinate musst du jetzt die Mitte herausfinden. Stelle dazu die Formel auf.

%%y_{M_n}=\dfrac{y_{A_n} + y_{C_n}}{2}%%

Setze die %%y%%-Werte von %%A_n%% und %%C_n%% ein.

%%y_{M_n}= \dfrac{-1,5 \text{log}_{0,5}(x-1) + 1,5 \text{log}_{0,5}(x)}{2}%%

Klammere %%1,5%% aus.

%%y_{M_n}= \dfrac{1,5 \cdot ( \text{log}_{0,5}(x) - \text{log}_{0,5}(x-1))}{2}%%

Vereinfache den Zähler nach den Rechenregeln für den Logarithmus!

%%y_{M_n}= \dfrac{1,5 \cdot \text{log}_{0,5}\left(\frac{x}{x-1}\right) }{2}%%

%%y_{M_n}= 0,75 \cdot \text{log}_{0,5}\left(\frac{x}{x-1}\right)%%

Du erhältst für %%M_n%%:

%%M_n = \left( x \; | \; 0,75\cdot \text{log}_{0,5}\left(\frac{x}{x-1} \right)\right)%%

Lösung zur Teilaufgabe B 1.6

Bei dieser Teilaufgabe sollst du die Gleichung des Trägergraphen der Punkte %%D_n%% der Rauten %%A_nB_nC_nD_n%% in Abhängigkeit von der Abszisse %%x%% angeben.

Für den Trägergraphen von %%D_n%% benötigst du die Koordinaten von %%D_n%%, ausgedrückt durch den %%x%%-Wert von %%A_n%% und %%C_n%%.

Du weißt, dass %%D_n%% immer %%3 \, \text{LE}%% links von %%x%% liegt. Damit kommst du auf die %%x%%-Koordinate:

%%x_{D}= x-3%%

Für die %%y%%-Koordinate kannst du die Höhe des Punktes %%M_n%% nutzen. Dessen %%y%%-Koordinate ist dieselbe wie von %%D_n%%.

%%y_D = 0,75 \cdot \text{log}_{0,5}\left( \dfrac{x}{x-1}\right)%%

Um den Trägergraphen zu bestimmen musst du nun die Gleichung für %%x_D%% nach %%x%% auflösen und in die Gleichung von %%y_D%% einsetzen.

Auflösen nach %%x%%:

%%x=x_D +3%%

Einsetzen in %%y_D%%:

%%y_D = 0,75 \cdot \text{log}_{0,5}\left( \dfrac{x_D+3}{x_D+3-1}\right)%%

%%y_D = 0,75 \cdot \text{log}_{0,5}\left( \dfrac{x_D+3}{x_D+2}\right)%%

Du erhältst damit den Trägergraphen für %%D_n%%:

%%y= 0,75 \cdot \text{log}_{0,5}\left( \dfrac{x+3}{x+2}\right)%%

Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video eine Schritt-für-Schritt Lösung der Aufgabe anschaun.