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Aufgaben

Lösung zu B1.1

%%y = 0,25 x^2 + bx +c%%

Scheitelpunkt %%S(4|-2)%%

Scheitelpunktform %%y = a(x-x_S)^2+y_S%%

Normalform %%y = a x^2 + bx +c%%

Vergleiche die gegebene Parabelgleichung mit der allgemeinen Normalform um %%a%% zu bestimmen. Setze dann %%a%% und %%S%% in die Scheitelpunktform ein und vereinfache.

%%y = 0,25(x-4)^2 - 2%%

%%y = 0,25(x^2-8x+16) - 2%%

%%y = 0,25x^2 - 2x + 4 - 2%%

%%y = 0,25x^2 - 2x + 2%%

Zeichne die Parabel und Gerade (z.B. mit Hilfe einer Wertetabelle aus dem Taschenrechner).

Lösung zu B1.2

%%A(0|2)%% und %%C(10|7)%% sind die Schnittpunkte von %%p%% und %%g%%.

%%B_n(x|0,25x^2-2x+2)%% liegen auf der Parabel %%p%%

%%AB_nCD_n%% bilden Drachenvierecke mit %%g%% als Symmetrieachse

Berechne %%B_1%% indem du %%x=6%% in %%B_n%% einsetzt.

%%B_1(6|0,25\cdot 6^2 - 2 \cdot 6 +2)%%

%%B_1(6|-1)%%

Drachenvierecke gibt es, solange %%B%% zwischen %%A%% und %%C%% liegt.

%%x \in (0;10)%%

Lösung zu B1.3

%%A(0|2)%%, %%B_1(6|-1)%%, %%C(10|7)%%

Um zu zeigen, dass das Dreieck %%AB_1C%% rechtwinklig ist, zeige, dass der Satz des Pythagoras erfüllt ist.

Berechne dafür zunächst die Seitenlängen %%\overline{AB}%%, %%\overline{BC}%% und %%\overline{CA}%%.

%%\overline{AB_1} = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}%%

%%\overline{AB_1} = \sqrt{6^2+(-3)^2} = \sqrt{45}%%

%%\overline{B_1C} = \sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}%%

%%\overline{B_1C} = \sqrt{4^2+8^2} = \sqrt{80}%%

%%\overline{CA} = \sqrt{(x_A-x_C)^2+(y_A-y_C)^2}%%

%%\overline{CA} = \sqrt{(-10)^2 + (-5)^2} = \sqrt{125}%%

Überprüfe mit diesen Streckenlängen, ob der Satz des Pythagoras erfüllt ist.

%%\overline{CA}%% sollte dabei die Hypothenuse sein.

%%\overline{CA}^2 = \overline{AB_1}^2 + \overline{B_1C}^2%%

%%125 = 45 + 80%%

Der Satz des Pythagoras ist erfüllt, damit ist das Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel bei %%B_1%%.

Lösung zu B1.4

%%B_n(x|0,25x^2-2x+2)%%

Die Punkte %%B_n%% liegen auf der Parabel %%p%%. Die Punkte %%B_2%% und %%B_3%% liegen auf der %%x%%-Achse und sind deshalb die Nullstellen von %%p%%. Um die Nullstellen zu berechnen, setze %%y=0%% in der Parabelgleichung und löse die quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel.

%%0 = 0,25 x^2 - 2x +2%%

%%x_{2/3} = 4 \pm 2\sqrt{2}%%

%%x_2 = 1,17%%

%%x_3 = 6,83%%

%%\Rightarrow B_2(1,17|0), B_3(6,83|0)%%

Lösung zu B1.5

Gegeben sind die folgenden Punkte des Drachenvierecks:

%%A(0|2)%%

%%B(x|0,25x^2-2x+2)%%

%%C(10|7)%%

Das Drachenviereck kannst du in die zwei Dreiecke %%ABC%% und %%ACD%% aufteilen. Die Flächeninhalte der beiden Dreiecke sind aufgrund der Symmetrie vom Drachenviereck gleich.

Die Fläche vom Dreieck %%ABC%% kannst du über die Determinante berechnen:

%%A_{ABC} =\dfrac{1}{2}\left| \vec{BA}\;\; \vec{BC}\right|%%

Um auf die Fläche des Drachenvierecks zu kommen nehmen wir nun diese Fläche doppelt und kommen auf:

%%A_{ABCD} = \left| \vec{BA}\;\; \vec{BC}\right|%%

Berechne dazu die beiden Vektoren.

%%\vec{BA} = \left( \begin{array}{c}0\\2\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c}x\\0,25x^2-2x+2\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}-x\\-0,25x+2x\end{array} \right)%%

%%\vec{BC} = \left( \begin{array}{c}10\\7\end{array} \right)- \left(\begin{array}{c}x\\0,25x^2-2x+2\end{array} \right) =\left( \begin{array}{c}10-x\\-0,25x+2x-5 \end{array} \right)%%

Anschließend kannst du die Determinante bestimmen.

%%A_{ABCD} =\left| \vec{BA}\;\; \vec{BC}\right|%%

%%A_{ABCD}= \left| \begin{array}{c}-x\\-0,25x+2x\end{array}\; \; \begin{array}{c}10-x\\-0,25x+2x-5 \end{array}\right|%%

%%A_{ABCD} =-x\cdot (-0,25x^2+2x+5)-(10-x)(-0,25x^2+2x)%%

%%A_{ABCD}=0,25x^3-2x^2-5x -(2,5x^3+20x+0,25x^3-2x^2)%%

%%A_{ABCD}=0,25x^3-2x^2-5x-2,5x^3-20x-0,25x^2+2x^2%%

%%A_{ABCD}=-5x+2,5x^2-20x%%

%%\underline{\underline{A=2,5x^2-25x}}%%

Der Flächeninhalt des Drachenvierecks in Abhängigkeit von %%x%% ist %%A=2,5x^2-25x%%.

Alternative Lösung zu B1.5

%%A(0|2), B(x|0,25x^2-2x+2), C(10|7)%%

Das Drachenviereck %%ABCD%% besteht aus zwei Dreiecken %%ABC%% und %%CDA%% mit gleichem Flächeninhalt. Um den Flächeninhalt von %%ABC%% zu berechnen, teile es in zwei Dreiecke %%ABE%% und %%BCE%% auf.

%%A_{Dreieck} = \frac{1}{2}G \cdot h%%

Beide Dreiecke haben die gleiche Grundseite %%G%%. Berechne %%G%% als Abstand zwischen %%g%% und %%B%% in %%y%%-Richtung. Die Höhen %%h_1%% und %%h_2%% sind der Abstand zwischen %%B%% und %%A%% bzw. %%C%% in %%x%%-Richtung.

%%\begin{array}{lcl}G & = & g(x) - y_B(x) \\ & = & 0,5x + 2 - 0,25x^2 + 2x -2 \\ & = & -0,25x^2 + 2,5x \end{array}%%

%%h_1 = x_B - x_A = x%%

%%h_2 = x_C - x_B = 10 - x%%

Addiere zunächst allgemein %%A_1%% und %%A_2%% und den Flächeninhalt des Dreiecks %%ABC%% zu erhalten und multipliziere mit %%2%% um den Flächeninhalt des Drachenvierecks zu erhalten.

%%\begin{array}{lcl} A_{ABCD} & = & 2 \cdot (A_1 + A_2) \\ & = & 2 \cdot (\frac{1}{2}G\cdot h_1 + \frac{1}{2}G\cdot h_2) \\ & = & G \cdot (h_1 + h_2) \end{array}%%

Setze %%G%%, %%h_1%% und %%h_2%% in %%A_{ABCD}%% ein.

%%A_{ABCD}(x) = (-0,25x^2 + 2,5x) \cdot (x + 10 - x)%%

%%A_{ABCD}(x) = (-2,5x^2 + 25x)[FE]%%

Lösung zu B1.6

%%A(0|2)%%, %%C(10|5)%%

%%g(x) = 0,5x + 2%%

Die Gerade %%MB_4%% ist senkrecht zu %%g%% und verläuft durch den Punkt %%M%%. Berechne zunächst die Koordinaten von %%M%%.

%%M%% liegt in der Mitte zwischen %%A%% und %%C%%

%%\Rightarrow x_M = \frac{x_C-x_A}{2}+x_A = \frac{10}{2} + 0 = 5%%

%%\Rightarrow y_M = \frac{y_C-y_A}{2}+y_A = \frac{5}{2} + 2 = 4,5%%

%%\Rightarrow M(5|4,5)%%

Berechne nun aus dem Wissen, dass beide Geraden rechtwinklig zueinander sind, die Steigung von %%MB_4%%.

Für rechtwinklige Geraden mit Steigungen %%m%% und %%m'%% gilt: %%m \cdot m' = -1%%.

Damit ist die Steigung %%m_{MB_4} = \frac{-1}{m_g} = \frac{-1}{0,5} = -2%%

Setze jetzt die Steigung %%m_{MB_4}%% und %%M%% in die allgemeine Geradengleichung %%y=mx+b%% ein und bestimme den fehlenden Parameter %%b%%.

%%\begin{array}{rcll} y & = & mx+b & \\ 4,5 & = & -2\cdot 5 + b & \\ 4,5 & = & -10 + b & |+10 \\ 14,5 & = & b &\end{array}%%

%%\Rightarrow MB_4: y=-2x+14,5%%

Aufgabenstellungen B2.0 bis B2.5

Teilaufgabe 2.1

Zeichnen des Schrägbildes

Das Schrägbild ist eine genaue Zeichnung der Pyramide. In der Angabe steht, dass die Strecke %%[AC]%% auf der Schrägbildachse liegt. Das bedeutet auf der Zeichenebene.
Der Punkt %%S%% liegt senkrecht über dem Punkt %%A%% und somit liegt das Dreieck %%ASC%% genau auf der Zeichenebene.
Zeichne dies zuerst indem du die bekannten Strecken %%\overline{CA}=10\, \text{cm}%% und %%\overline{AS} = 9cm%% einzeichnest und die Punkte %%C%% und %%S%% verbindest.

Jetzt fehlt nur noch der Punkt %%B%% und die entsprechenden Verbindungen dazu.
Dazu benötigst du die Angabe, dass %%\omega = 45°%%. Das bedeutet, die Strecke %%[AB]%%, die in Wirklichkeit einen %%90°%% Winkel zur Strecke %%[AC]%% bildet, wird perspektivisch verzerrt in einem %%45°%% Winkel nach rechts hinten gezeichnet.

Dabei entspricht immer eine Kästchendiagonale einem Zentimeter. Du musst also die %%7 \, \text{cm}%% lange Strecke %%7%% Kästchendiagonalen lang zeichnen.

Länge der Strecke %%[CS]%%

Um die Länge der Strecke %%[CS]%% zu bestimmen, nutzt du am besten das rechtwinklige Dreieck %%CAS%%. Stelle für dieses Dreieck den Satz des Pythagoras auf, dabei ist die Strecke %%[CS]%% die Hypotenuse.

%%\overline{CS}^2=\overline{AC}^2+\overline{AS}^2%%

Löse nach %%\overline{CS}%% auf, indem du die Wurzel ziehst.

%%\overline{CS}=\sqrt{\overline{AC}^2+\overline{AS}^2}%%

Setze die gegebenen Werte ein und rechne %%\overline{CS}%% aus.

%%\overline{CS}=\displaystyle\sqrt{(10\text{ cm})^2+(9\text{ cm})^2}=13,45%% cm

Größe des Winkels %%\epsilon%%

Die Größe des Winkels %%\epsilon%% kannst du durch die trigonometrischen Formeln im rechtwinkligen Dreieck berechnen.

Als erstes ordnest du die Begriffe Hypotenuse, Gegenkathete und Ankathete bezüglich %%\epsilon%% zu:

%%\overline{CS}%% ist die Hypotenuse, %%\overline{AC}%% ist die Ankathete und %%\overline{AC}%% ist die Gegenkathete.

Nun wählst du dir eine der drei Formelen Sinus, Kosinus und Tangens aus.

Hier wird es beispielsweise mit Tangens berechnet:

%%\tan(\epsilon)= \displaystyle\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}= \frac{\overline{AS}}{\overline{AC}}%%

Setze nun die Werte ein.

%%\tan(\epsilon)=\displaystyle\frac9{10}%%

Nutze nun %%\tan^{-1}%% um %%\epsilon%% zu bestimmen.

Der Winkel ist %%\epsilon=41,99°%%.

Teilaufgabe 2.2

Versuche, dir die Aufgabenstellung so zu verdeutlichen, dass du es dir in der Zeichnung vorstellen kannst.

  • Punkt %%F_n%% liegt irgendwo auf der Strecke zwischen %%A%% und %%C\;%% (%%F_n \in [AC]%%)
    Dabei gilt: %%\overline{AF_n}(x) = x \, \text{cm}%%.
    Das bedeutet: Der Abstand vom Punkt %%F_n%% zum Punkt %%A%% beträgt %%x\,cm%%. Im ersten Fall %%F_1%% mit %%x=4%% ist er also %%4 \,cm%% von %%A%% entfernt.
  • Zeichne diesen Punkt in dein Schrägbild ein!

  • Punkt %%D_n%% liegt auf der Strecke %%[AB]%% und %%E_n%% liegt auf der Strecke %%[BC]%%.
    Genaue Punkte kennst du allerdings noch nicht. Schaue dir dazu die nächste Bedingung an!
  • %%AD_1E_1F_1%% Soll insgesamt ein Rechteck ergeben. Das bedeutet: Es gibt nur rechte Winkel in diesem Viereck und die gegenüberliegenden Seiten sind jeweils gleich lang.
    Da du eine Seite (%%[F_1A]%%) schon kennst, kannst du auch %%[D_1E_1]=4 \, \text{cm}%% sofort bestimmen.
  • Um nun die fehlenden Punkte herauszufinden musst du eine Parallelverschiebung der Strecke %%[AB]%% machen, bis die parallele Strecke im Punkt %%F_1%% liegt.

Bestimmung der Strecke %%\overline{E_nF_n}%%
Zeichne dir dafür am besten eine kleine Skizze, wie das Dreieck %%ABC%% mit eingezeichnetem Viereck %%AD_nE_nF_n%% aussehen würde.

Beschrifte nun die Strecken auf der rechten Seite. Du weißt, dass %%\overline{AB} = 7 \, \text{cm}%% und dass %%\overline{AD_N} = \overline{E_nF_n}%%.

Betrachte nun das rechtwinklige Dreieck %%E_nD_nB%%. Den Winkel %%\beta%% kannst du leicht berechnen und du kennst die Strecke %%x%%.
Aus diesem Grund kannst du mithilfe des Tangens die Strecke %%\overline{D_nB}%% berechnen, welche genau %%7 \, \text{cm} -x%% ist.

%%tan(\beta) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \dfrac{7\, \text{cm}-\overline{E_n F_n}}{x}%%

Der %%tan(\beta)%% ergibt sich aus dem rechtwinkligen Dreieck %%ABC%% zu

%%tan(\beta)=\dfrac{7}{10}%%

Also erhältst du:

%%\tan(\beta) = \dfrac{7\, \text{cm}-\overline{E_n F_n}}{x} =\dfrac{7}{10}%%

Du kannst nun die Gleichung nach %%y%% lösen:

%%\dfrac{7\, \text{cm}-\overline{E_n F_n}}{x} =\dfrac{7}{10} \; \; \; \; \; \; \; |\cdot x%%

%%7 \, \text{cm} -\overline{E_n F_n} = 0,7x \; \; \; \; \; \; |+\overline{E_n F_n} \; \; \; |-0,7x%%

%%7 \, \text{cm} -0,7x = \overline{E_n F_n}%%

Die Strecke %%\overline{E_n F_n}%% beträgt also: %%\overline{E_nF_n} = -0,7x+7 \, \text{cm}%%.

Im nächsten Schritt sollst du diese Länge berechnen, wenn das Rechteck %%AD_0E_0F_0%% ein Quadrat wird.
Bei einem Quadrat sind alle Seiten gleich lang. In unserem Fall gilt also:

%%x = \overline{E_0F_0}%%

%%x = -0,7x + 7 \, \text{cm}%%

Löse diese Gleichung nun nach %%x%% auf.

%%x = -0,7x + 7 \, \text{cm} \hspace{2cm} |+0,7x%%

%%1,7x = 7 \, \text{cm} \hspace{3,2cm}|:1,7%%

%%x = 4,12 \, \text{cm}%%

Mit %%x = 4,12 \, \text{cm}%% entsteht ein Quadrat %%AD_0E_0F_0%%.

Teilaufgabe 2.3

Der Flächeninhalt von %%AD_nE_nF_n%% ergibt sich aus dem Produkt der Länge und der Breite des Rechtecks.

%%A(x) = x \cdot \overline{E_nF_n} = x \cdot (-0,7x+7) =-0,7x^2+7x%%

Der Graph der Funktion
%%A(x)=-0,7x^2+7x%%
ist eine umgekehrte Parabel (siehe Abbildung rechts).
Um das Maximum zu finden, musst du den Scheitelpunkt dieser Funktion berechnen.

Um auf die Scheitelpunktsform von %%A(x) = -0,7x^2+7x%% zu kommen musst du die quadratische Ergänzung anwenden.

Klammere dazu zuerst den Faktor %%-0,7%% vor dem %%x^2%% aus.

%%A(x) = -0,7x^2+7x%%

%%A(x) = -0,7(x^2-10x)%%

Ergänze nun den Term in der Klammer um auf die zweite binomische Formel zu kommen.

%%A(x) = -0,7(\underbrace{x^2-10x+25}_{\text{zweite binomische Formel}}-25)%%

Forme diesen Term nun um, indem du die %%25%% aus der Klammer raus ziehst und die zweite binomische Formel in ihre Quadratform umwandelst.

%%A(x) = -0,7(x^2-10x+25)+0,7\cdot 25%%

%%A(x) = -0,7(x-5)^2+17,5%%

Der x-Wert des Scheitelpunkt ist die Nullstelle der Klammer.

In diesem Fall wäre das %%x=5%%.
Damit erhältst du das Maximum des Flächeninhalts %%A(x)%% bei %%x=5%%.

Teilaufgabe 2.4

In das Schrägbild aus Teilaufgabe %%2.1%% soll nun ein weiterer Punkt %%T%% eingezeichnet werden.
Dieser liegt auf der Strecke %%[CS]%% im Abstand von %%2\, \text{cm}%% zu %%S%%.

Der Punkt %%T%% ist nun die Spitze einer neuen Pyramide, mit der Grundfläche %%AD_1E_1F_1%%.
Zeichne die Seitenkanten der Pyramide in das Schrägbild ein.

Die Höhe dieser neuen Pyramide wird mit %%h%% bezeichnet.
Sie steht senkrecht auf die Strecke %%[F_1A]%%.

Im Folgenden soll nun diese Höhe berechnet werden.
Betrachte dazu die Skizze:

%%h%% direkt zu berechnen ist leider nicht ohne weiteres möglich, allerdings können wir eine Hilfslinie ziehen um die Differenz zwischen Höhe %%h%% und der Seitenlinie %%\overline{AS}%% zu berechnen.

Diese Hilfslinie (wir nennen sie hier %%TP%% wurde in der folgenden Skizze eingezeichnet.

Beachte, dass sich der Winkel %%\varepsilon%% aus dem Dreieck %%ASC%% sich hier im rechtwinkligen Dreieck %%PST%% wiederfindet.
Berechne nun über den Sinus von %%\varepsilon%% die Länge der Strecke %%\overline{PS}%%.

%%\text{sin}(\varepsilon) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \dfrac{\overline{PS}}{2\, \text{cm}}%%

%%\overline{PS} = \text{sin}(\varepsilon) \cdot 2 \, \text{cm} = \text{sin}(41,99°) \cdot 2 \, \text{cm} = 1,34 \, \text{cm}%%

In der Zeichnung siehst du, dass die Höhe %%h%% dieselbe Länge hat wie die Strecke %%\overline{AP}%%.
Um nun also auf die Höhe zu kommen, kannst du rechnen:

%%h=\overline{AS} - \overline{PS} = 9 \, \text{cm} - 1,34 \, \text{cm} = 7,66 \, \text{cm}%%

Damit bestätigst du das Ergebnis aus der Angabe. Die Höhe ist %%7,66 \, \text{cm}%% lang.

Teilaufgabe 2.5

Vom Dreieck %%TF_nC%% hast du bereits einen Winkel, nämlich %%\varepsilon = 41,99°%% gegeben.
Wenn der dritte Winkel %%CTF_n%% jetzt also sehr klein wird, dann erreicht der Winkel %%\alpha%% sein Maximum.

Dieses Maximum erhältst du über die Innenwinkelsumme des Dreiecks und die Annahme, dass der Winkel %%CTF_n%% annähernd %%0°%% wird.

%%\alpha < 180° - 41,99°%%

%%\alpha < 138,01°%%

Die untere Intervallgrenze erhältst du, wenn %%F_n%% genau auf %%A%% liegt. Denn so wird der Winkel %%\alpha%% am kleinsten.

Die Größe des Winkels %%\alpha%%

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