Aufgaben

Ein Weinfass enthält %%43\frac12%% Liter Wein. Davon werden 6 Flaschen zu je 0,75 Liter und 9 Flaschen zu je 0,7 Liter abgefüllt.

Wie viel Liter verbleiben noch im Fass?

geg.:

Insgesamt: %%43\frac12%% Liter

6 Flaschen mit 0,75 Liter

9 Flaschen mit 0,7 Liter

Jeweils die Flaschen mit dem Inhalt multiplizieren und die Ergebnisse addieren.

%%6\cdot0,75\mathrm l+9\cdot0,7\mathrm l=%%

%%0,75=\frac34%% ; %%0,7=\frac7{10}%%

%%=6\cdot\frac34\mathrm l+9\cdot\frac7{10}\mathrm l=%%

%%=\frac{6\cdot3}4\mathrm l+\frac{7\cdot9}{10}\mathrm l=%%

%%=\frac{18}4\mathrm l+\frac{63}{10}\mathrm l=%%

Kürzen mit 2.

%%=\frac92\mathrm l+\frac{63}{10}\mathrm l=%%

Addieren. Den Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern. %%\rightarrow\;10%%

%%=\frac{45}{10}\mathrm l+\frac{63}{10}\mathrm l=%%

%%=\frac{108}{10}\mathrm l%%

Das Ergebnis vom Gesamtinhalt des Fasses subtrahieren.

%%43\frac12\mathrm l-\frac{108}{10}\mathrm l=%%

In unechte Brüche umwandeln.

%%\frac{87}{2}\mathrm l-\frac{108}{10}\mathrm l=%%

Den Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern. %%\rightarrow\;10%%

%%\frac{435}{10}\mathrm l-\frac{108}{10}\mathrm l=%%

%%=\frac{327}{10}\mathrm l%%

In gemischten Bruch umwandeln.

%%=32\frac{7}{10}\mathrm l%%

In Dezimalbruch umwandeln.

%%=32,7 \; \mathrm l%%

Karin und Uwe lesen in der Zeitung: ”Die Zuschauerzahlen für das jährlich stattfindende Open-Air-Festival in Kreischhausen
schwanken in letzter Zeit stark: Während es im Jahre 2007 ein Drittel weniger Zuschauer als im Jahre 2006 gab, kamen im Jahre 2008 ein Drittel mehr Zuschauer als 2007. “Uwe meint:” Also sind es 2008 wieder genauso viele Teilnehmer wie 2006.“ Karin entgegnet: ”Das sieht zwar auf den ersten Blick so aus, aber wenn beispielsweise im Jahr 2006 . . .“

 

Setze den Gedanken von Karin fort. Begründe damit, dass Uwes Aussage nicht zutrifft.

Angenommen, es kamen im Jahre 2006 9000 Zuschauer.
2007:  %%\frac13%% von 9000 = 3000      9000 - 3000 = 6000 Zuschauer.
2008: %%\frac13%% von 6000 = 2000      6000 + 2000 = 8000 Zuschauer.
Also kamen 2008 1000 Zuschauer weniger als 2006. Der Grund liegt darin, dass der dritte Teil im Jahre 2006 von mehr Zuschauern errechnet wurde als 2007.

Die drei Söhne des verstorbenen Scheichs Minussi erben eine Kamelherde, die aus 17 Tieren besteht. Im Testament heißt es: ”Mein erstgeborener Sohn Ali soll die Hälfte der Tiere, Abdulla ein Drittel und Arif ein Neuntel der Kamelherde bekommen. Kein Kamel darf geschlachtet werden.“ Die Söhne sind ratlos. (Warum?) Sie tragen ihr Problem einem Nachbarn vor, der als weiser Mann bekannt ist. Er überlegt nicht lange und gibt ihnen den folgenden Rat: ”Ich besitze selbst Kamele. Davon leihe ich euch eines. Vollzieht damit die Teilung wie es das Testament verlangt. “Wie viele Kamele bekommt jeder der Söhne? Was f¨allt dir auf? Hast du eine Erklärung dafür?

Die ursprüngliche Teilung ist nicht möglich, da 17 nicht durch 2, 3 und 9 teilbar ist. Mit Hilfe des Nachbarn haben sie dann

 

%%17+1=18%% Kamele. Nun können sie die Kamele aufteilen, da 18 durch 2,3 und 9 teilbar ist.

 

Aufteilung:

Ali

%%18\cdot\frac12=9%%

Abdulla

%%18\cdot\frac13=6%%

Arif

%%18\cdot\frac19=2%%

 

Die Summe der Anteile der Söhne ergibt 17. Das geliehene Kamel kann wieder zurückgegeben werden. Das Testament war fehlerhaft verfasst: Die Summe der Anteile ergibt kein Ganzes, sondern nur %%\frac{17}{18}%% .

Ein Elefant fraß in der ersten Woche %%\frac13%% seines Futtervorrats. In der zweiten Woche fraß er %%\frac14%% vom Rest. Danach waren noch 300 kg Futter übrig. Veranschauliche die Situation durch eine Zeichnung. Wie viel Futter war anfangs vorhanden?

Skizze

Futtervorrat nach einer Woche: 4931_QTYXye0Gmp.png

Der gesamte Futtervorrat stellt das große Rechteck dar. %%\frac13%% davon hat der Elefant nach einer Woche gegessen

Futtervorrat nach der zweiten Woche:

4935_8xHJTurZrf.png

Der gesamte Futtervorrat ist das große Rechteck. Die ersten beiden x geben den Anteil an, den der Elefant in der ersten Woche gegessen hat (also %%\frac13%%). Das dritte x ist entspricht %%\frac14%% vom Rest.

Er hat also nach zwei Wochen die Hälfte des Vorrats gegessen. Das übrige Futter ist also auch die Hälfte des gesamten Futtervorrats.

Also waren anfangs 600 kg vorhanden.

Berechne ein Drittel von 0,03.

Gegeben ist der Term %%\left(4,5:3\right)\cdot\frac23:\left(4-6,5\right)%% .

  1. Berechne den Wert des Terms.

  2. Wie ändert sich der Wert des Terms, wenn man in der ersten Klammer beide Zahlen mit 10 multipliziert? Begründe deine Antwort ohne Rechnung.

  3. Wie ändert sich der Wert des Terms, wenn man in der zweiten Klammer beide Zahlen mit 10 multipliziert? Begründe deine Antwort ohne Rechnung.

Teilaufgabe 1

$$\left(4,5:3\right)\cdot\frac23:\left(4-6,5\right)=$$

Dezimalzahlen in Brüche umformen.

$$=\left(\frac92:3\right)\cdot\frac23:\left(4-\frac{13}2\right)$$

Bruch in der Klammer dividieren, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert.

$$=\left(\frac32\right)\cdot\frac23:\left(4-\frac{13}2\right)$$

2-te Klammer ausrechnen, indem man den Hauptnenner von %%4%% und %%\frac{13}2%% bildet und auf diesen erweitert.

$$=\left(\frac32\right)\cdot\frac23:\left(\frac82-\frac{13}2\right)$$

Klammer ausrechnen, indem man den Bruch subtrahiert .

$$=\left(\frac32\right)\cdot\frac23:\left(-\frac52\right)$$

$$=1:\left(-\frac52\right)$$

Bruch dividieren, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert.

$$=-\frac25$$

Teilaufgabe 2

Das Ergebnis ändert sich nicht, da sich die 10 wegkürzt!

Teilaufgabe 3

Das Ergebnis wird um %%\frac1{10}%% kleiner, da der Divisor um 10 größer wird. (Man kann die 10 ausklammern)

Ist das Wasser in einem Spülbecken zu heiß, so lässt man kaltes Wasser nachlaufen, bis die gewünschte Temperatur erreicht ist. Werden beispielsweise 10 Liter Wasser der Temperatur 42 °C mit 2 Liter Wasser der Temperatur 12 °C gemischt, so kann die Mischtemperatur mit folgender Formel berechnet werden:

 

Mischtemperatur %%=\frac{10}{10+2}\cdot42^\circ \mathrm{C}+\frac2{10+2}\cdot12^\circ \mathrm C%%

  1. Berechne die Mischtemperatur in obigem Beispiel.

  2. Welche Mischtemperatur stellt sich ein, wenn 2,5 Liter Wasser der Temperatur 27,0 °C mit 2,0 Liter Wasser der Temperatur 13,5 °C gemischt werden?

Teilaufgabe a)

%%\frac{10}{10+2}\cdot 42°C+\frac{2}{10+2}\cdot 12°C=%%

Nenner in den Brüchen addieren.

%%=\frac{10}{12}\cdot 42°C+\frac2{12}\cdot12°C=%%

%%=\frac{420}{12}°C+\frac{24}{12}°C=%%

%%=\frac{444}{12}=%%

Mit 4 Kürzen.

%%\frac{111}3°C=37°C%%

Teilaufgabe b)

%%\frac{10}{10+2}\cdot42^\circ C+\frac2{10+2}\cdot12^\circ C%%

Neue Angaben in die Formel von Teilaufgabe a einsetzen.

%%\frac{2,5}{2,5+2}\cdot27^\circ C+\frac2{2,5+2}\cdot13,5^\circ C%%

Nenner in den Brüchen addieren.

%%=\frac{2,5}{4,5}\cdot27^\circ C+\frac2{4,5}\cdot13,5^\circ C%%

Umformen der Dezimalzahlen in Brüche .

%%=\frac{5}{2}: \frac 92 \cdot27^\circ C+ 2 : \frac92\cdot {\frac{27}2}^\circ C%%

%%=\frac{5}{2}\cdot \frac 29 \cdot27^\circ C+ \frac 21 \cdot \frac29\cdot {\frac{27}2}^\circ C%%

%%=\frac{5}{9} \cdot27^\circ C+ \frac49\cdot {\frac{27}2}^\circ C%%

%%=15°C+6°C=%%

Addiert man zu einem Drittel von einem Viertel die Hälfte von einem Fünftel und subtrahiert dann den zehnten Teil von zwei Drittel, so ist dies der 24. Bruchteil einer gesuchten Zahl. Wie lautet die Zahl?

Stelle einen Term auf, wobei %%x%% die gesuchte Größe ist.

Übersetze dabei das Wort "von" mit "%%\cdot%%". Beachte die Regel "Punkt vor Strich"

%%\frac13 \cdot \frac14+\frac12 \cdot \frac15- \frac1{10} \cdot \frac23=\frac1{24}\cdot x%%

Multipliziere die einzelnen Brüche.

%%\frac1{12}+\frac1{10}-\frac2{30}=\frac x{24}%%

%%|\cdot 24%%

Addiere die einzelnen Brüche.

%%2+\frac45=x%%

Wandle in gemischten Bruch um.

%%x=2\frac45%%

Egon bekommt folgende Aufgabe: %%7\frac13:\left(2\frac12-\frac52\right)%% .

Er denkt erst nach, bevor er rechnet. Dann ruft er: ”Die Aufgabe kann man doch im Kopf ausrechnen, da kommt %%7\frac13%% heraus!".

Stimmt das? Begründe deine Ansicht.

%%7\frac13:\left(2\frac12-\frac52\right)=7\frac13:0%%

Die Division durch Null ist nicht erlaubt! Egon hat nicht Recht.

Der Lösungsweg sieht wie folgt aus: 

Zuerst wird erst einmal das Innere der Klammer betrachtet. Da wir wissen, dass Klammern in einem mathematischen Ausdruck immer den höchsten Stellenwert haben. 

Wer mit den Brüchen seine Probleme hat, darf diese auch gerne als Dezimalzahl schreiben. 

Für die Klammer in Dezimal ergibt sich dann folgendes:

(2,5-2,5)

Der Wert in der Klammer wird also 0. Da wir nicht durch Null teilen dürfen, bleibt also folglich nur der Ausdruck vor der Klammer übrig. 

 

Kleiner Hinweiß: Warum darf man nicht durch Null teilen ? 

 

Angenommen wir haben diesen Bruch: 

%%\frac{10}5%%  Als Ergebnis würden wir eine 2 Erhalten, da 10 geteilt durch 5 gleich 2 ergibt. 

Im Umkehrschluss können wir dann logischweise auch sagen 2 mal 5 ergibt 10.

Würde der Bruch nun wie folgt aussehen: 

%%\frac{10}0%%  würde das bedeuten, dass wir 10 geteilt durch 0 erhalten. Und wir wissen jede Zahl mit Null Multipliziert ergibt wieder Null. 

Weil es keinen Umkehrschluss gibt, ist die Division durch Null nicht erlaubt. 

Beschreibe alle Fehler, die Klaus gemacht hat. Berechne anschließend den richtigen Wert.

$$\left[2,75-0,25:\left(\frac7{12}-\frac58\right)\right]\cdot1,6+0,4=\left[2,5:\frac{7-5}{12-8}\right]\cdot1,6+0,4=\left[2,5:\frac24\right]\cdot2=\frac52:\frac12=\frac25\cdot \frac12=\frac15=0,2$$

1) Fehlerbeschreibung

 

%%\left[2,75-0,25:\left(\frac7{12}-\frac58\right)\right]\cdot1,6+0,4=%%

Punkt vor Strich, sowie die Klammer zuerst auszurechnen wird nicht beachtet.

%%=\left[2,5:\left(\frac{7-5}{12-8}\right)\right]\cdot1,6+0,4=%%

Das korrekte Subtrahieren von Brüchen , sowie Punkt vor Strich wird nicht beachtet.

%%=\left[2,5:\frac24\right]\cdot2=%%

Das Multiplizieren mit 2 wird vergessen hinzuschreiben.

%%=\frac52:\frac12=%%

Beim Dividieren von 2 Brüchen, wird mit dem Kehrwert des 2. (!) Bruches mutlipliziert. Hier wird mit dem 1. multipliziert.

%%=\frac52 \cdot \frac12=%%

Richtig.


2) Korrigieren der Aufgabe

 

%%\left[2,75-0,25:\left(\frac7{12}-\frac58\right)\right]\cdot1,6+0,4%%

Hauptnenner bilden für Brüche in der Klammer und Brüche auf diesen erweitern .

%%=\left[2,75-0,25:\left(\frac{14}{24}-\frac{15}{24}\right)\right]\cdot1,6+0,4%%

 

%%=\left[2,75-0,25:\left(-\frac{1}{24}\right)\right]\cdot1,6+0,4%%

Umschreiben aller Dezimalzahlen in Brüche.

%%=\left[\frac{11}4-\frac14:\left(-\frac1{24}\right)\right]\cdot\frac85+\frac25%%

Mit dem Kehrwert des Bruches multiplizieren.

%%=\left[\frac{11}4-\frac14\cdot\left(-\frac{24}1\right)\right]\cdot\frac85+\frac25%%

Multiplikation in der Klammer.

%%=\left[\frac{11}4+\frac{24}4\right]\cdot\frac85+\frac25%%

Klammer berechnen.

%%=\frac{35}4\cdot\frac85+\frac25%%

%%=\frac{14}{1}+\frac25%%

Umschreiben in Dezimaldarstellung.

%%=14+0,4%%

%%=14,4%%

Untersuche, ob der Quotient aus einem unechten Bruch und seinem Kehrbruch  %%\frac37%% ergeben kann.

Das ist nicht möglich. Jeder unechte Bruch besitzt einen Wert, der über 1 liegt. Dividiert man einen unechten Bruch durch seinen Kehrbruch, so multipliziert man eigentlich den unechten Bruch nur mit sich selbst. Das Produkt stellt wiederum einen unechten Bruch dar, ist also größer als 1.  %%\frac37%% ist jedoch ein echter Bruch und damit kleiner als 1.

Untersuche, ob die Summe aus einem echten Bruch und seinem Kehrbruch %%\frac37%% ergeben kann.

  1. Berechne den Wert des Terms %%\left(0,8-2,8\cdot\frac34\right):\left(1-3,6\right)%% .

  2. Peter behauptet: „Die erste Klammer kann man weglassen, ohne dass sich am Ergebnis etwas ändert!“ Hat Peter Recht?

Teilaufgabe a

%%\left(0,8-2,8\cdot\frac34\right):\left(1-3,6\right)=%%

Dezimalzahlen in Brüche umformen.

%%=\left(\frac45-\frac{14}5\cdot\frac34\right):\left(1-\frac{18}5\right)%%

%%=\left(\frac45-\frac{21}{10}\right):\left(1-\frac{18}5\right)%%

Hauptnenner (10) von %%\frac45%% und %%\frac{21}{10}%% bilden und auf diesen erweitern .

Hauptnenner (5) von %%1%% und %%\frac{18}5%% bilden und auf diesen erweitern .

%%=\left(\frac8{10}-\frac{21}{10}\right):\left(\frac55-\frac{18}5\right)%%

%%=\left(-\frac{13}{10}\right):\left(-\frac{13}5\right)%%

Bruch dividieren, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert.

%%=\frac12%%


Teilaufgabe b

Nein, er hat nicht Recht. Dadurch würde man das Ergebnis erst am Schluss von 0,8 subtrahieren und dies führt zu einem anderen Ergebnis.

Welche Zahl ergibt durch ihren 6. Teil geteilt den Wert 6?

ges.: %%x%%

Die gesuchte Zahl soll die Variable %%x%% sein. Stelle einen Term auf, der durch die Angabe beschreiben wird.

%%x:(\frac16 \cdot x)=6%%

Nach %%x%% auflösen.

%%x:(\frac x6)=6%%

Mit dem Kehrbruch multiplizieren.

%%x\cdot \frac 6x=6%%

%%x%% kürzen.

%%6=6%%

Dies ist eine immer gültige Aussage. Also ist die Lösung jede von Null verschiedene Zahl.

Welche Zahl ergibt durch ihren 6. Teil geteilt den Wert 5?

ges.: %%x%%

Die gesuchte Zahl soll die Variable %%x%% sein. Stelle einen Term auf, der durch die Angabe beschreiben wird

%%x:(\frac16 x)=5%%

Nach %%x%% auflösen.

%%x:(\frac x6 )=5%%

Mit Kehrbruch multiplizieren.

%%x \cdot (\frac 6x )=5%%

Mit %%x%% kürzen.

6=5

Dies ist offenbar eine falsche Aussage. Also gibt es keine Zahl, die durch ihren 6. Teil geteilt den Wert 5 ergibt.

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