Aufgaben

Klammere aus.

%%6\mathrm{uv}-24\mathrm{uv}^2%%

%%-5\mathrm{xu}+15\mathrm{xv}-10\mathrm{xz}%%

Durch geschicktes Ausklammern Brüche vermeiden! Klammere so aus, dass in der Klammer keine Brüche mehr stehen.

%%\frac12\mathrm{xu}-\frac18\mathrm{xv}+\frac34\mathrm{xz}%%

%%\frac12\mathrm{xu}-\frac18\mathrm{xv}+\frac34\mathrm{xz}%%

Du kannst %%x%% ausgeklammern, da es in allen drei Summanden vorkommt. Wenn du alle Brüche auf den Hauptnenner erweiterst, erkennst du, dass du gleichzeitig einen Bruch mit ausklammern kannst.

%%=\frac48\mathrm{xu}-\frac18\mathrm{xv}+\frac68\mathrm{xz}%%

Klammere den Faktor %%\frac18x%% aus.

%%=\frac18x\cdot\left(4u-v+6z\right)%%

Klammere den Ausdruck in der Klammer aus.

%%\left(-\mathrm{ab}^2\right)\;\;%% aus %%-\mathrm{ab}^4+a^2b^3-a^3b^2%%

%%-{ab}^4+a^2b^3-a^3b^2%%

suche den Faktor %%(-ab^2)%% in jedem Summanden

%%\color{red}{-{ab}^2}\cdot b^2- a\cdot(\color{red}{-{ab}^2})\cdot b+a^2\cdot(\color{red}{-{ab}^2})%%

Klammere %%\left(-{ab}^2\right) %% aus.

%%=(-{ab}^2)\cdot\left(b^2-{ab}+a^2\right)%%

Auch Klammern kann man ausklammern! Faktorisiere den Term.

%%8\cdot\left(a+b\right)+\left(a+b\right)%%

%%8\cdot\left(a+b\right)+\left(a+b\right)%%

Verwende %%\left(a+b\right)=1\cdot\left(a+b\right)%%.

%%=8\cdot\left(a+b\right)+1\cdot\left(a+b\right)%%

Klammere den Faktor %%\left(a+b\right)%% aus.

%%=\left(a+b\right)\cdot\left(8+1\right)%%

Fasse zusammen.

%%=9\cdot\left(a+b\right)%%

%%x\cdot\left(3-r\right)-\left(3-r\right)%%

%%2x\cdot\left(3u+v\right)-\left(3u+v\right)%%

%%2x\cdot\left(3u+v\right)-\left(3u+v\right)%%

Verwende %%\left(3u+v\right)=1\cdot\left(3u+v\right)%%

%%=2x\cdot\left(3u+v\right)-1\cdot\left(3u+v\right)%%

Klammere den Faktor %%\left(3u+v\right)%% aus.

%%=\left(3u+v\right)\cdot\left(2x-1\right)%%

Faktorisiere die folgenden Terme.

%%\mathrm{av}+\mathrm{au}+v+u%%

Lösung in Arbeit (es fehlen noch Überschrift am Anfang, Satz am Anfang und ggf. Verlinkungen zu Begriffen/Methoden)

  %%av+au+v+u%%

 

%%=a(v+u)+v+u =a(v+u)+1(v+u) =(1+a)(u+v)%%

%%\mathrm{cq}+\mathrm{cr}-q-r%%

%%\mathrm{ax}+\mathrm{ay}+\mathrm{bx}+\mathrm{by}%%

%%\mathrm{ax}+\mathrm{ay}+\mathrm{bx}+\mathrm{by}%%

Klammere die Faktoren %%a%% und %%b%% aus den entsprechenden Summanden aus.

%%=a\cdot\left(x+y\right)+b\cdot\left(x+y\right)%%

Klammere den Faktor %%\left(x+y\right)%% aus.

%%=\left(x+y\right)\cdot\left(a+b\right)%%

Sortiere nach Variabeln.

%%=\left(a+b\right)\cdot\left(x+y\right)%%

%%4\mathrm{uv}-u+12\mathrm{vy}-3y%%

%%4\mathrm{uv}-u+12\mathrm{vy}-3y%%

Teile in Teilsummanden auf.

%%=4\mathrm{uv}-u+4v\cdot3y-3y%%

Klammere die Faktoren %%u%% und %%3y%% aus.

%%=u\cdot\left(4v-1\right)+3y\cdot\left(4v-1\right)%%

Klammere den Faktor %%\left(4v-1\right)%% aus.

%%=\left(4v-1\right)\cdot\left(u+3y\right)%%

Welche der folgenden Terme sind äquivalent?

  1. %%2x^2:x-3\cdot\left(x+x\right)-x\cdot\frac12x%%

  2. %%\frac12x^2-4x%%

  3. %%-0,5x\cdot x-2x\cdot\left(-2\right)%%

  4. %%\frac14x^2-\frac12x\left(8+x\right)-0,25x^2%%

  5. %%-2x\left(2-\frac14x\right)+0,5x-x:2%%

1)

%%2x^2:x-3\cdot\left( x+ x\right)- x\cdot\frac12 x%%

Vereinfache den Term.

%%=2x-3\cdot2x-\frac12 x^2%%

Fasse zusammen.

%%=-4x-\frac12x^2%%

2)

%%\frac12x^2-4 x%%

Der Term lässt sich nicht weiter vereinfachen.

3)

%%-0,5 x\cdot x-2x\cdot\left(-2\right)%%

Vereinfache den Term

%%=-\frac12x^2+4x%%

4)

%%\frac14x^2-\frac12 x\left(8+ x\right)-0,25 x^2%%

Vereinfache den Term. Beachte %%\frac14=0,25%%.

%%=-\frac12 x\cdot8-\frac12 x^2%%

%%=-\frac12x^2-4 x%%

5)

%%-2x\left(2-\frac14 x\right)+0,5 x-\ x:2%%

Vereinfache den Term

%%=-4 x+\frac24 x^2+\frac12 x-\frac12 x%%

%%=\frac12 x^2-4 x%%

Ergebnis:

  • Die Terme 2) und 5) sind äquivalent zueinander, da beide Terme äquivalent zu %%\;\frac12 x^2-4 x%% sind.

  • Die Terme 1) und 4) sind äquivalent zueinander, da beide Terme äquivalent zu %%-\frac12 x^2-4 x%% sind.

  • Der Term 3) ist von den anderen verschieden.

Der Term  %%-\frac12a^2-a+2\mathrm{ab}%%    soll als Produkt geschrieben werden. Wurde jeweils richtig oder falsch faktorisiert?

  1. %%-\frac12a\left(a+2-4\mathrm{ab}\right)%%

  2. %%a\left(-\frac12a+2b\right)%%

  3. %%2\left(-\frac14a-\frac12+b\right)\cdot a%%

  4. %%a\left(a-2b\right)\cdot\left(-\frac12\right)%%

  5. %%0,5a\left(-a-\frac12+\mathrm{ab}\right)%%

1.

%%-\frac12a\left(a+2-4\mathrm{ab}\right)%%

Falsch, da:

%%-\frac12a^2-a+2\mathrm{ab}%%

Klammere den Faktor %%-\frac12a%% aus.

%%=-\frac12a\left(\frac{-{\frac12}a^2}{-{\frac12}a}-\frac a{-{\frac12}a}+\frac{2ab}{-{\frac12}a}\right)%%

%%=-\frac12a\left(a-\frac1{-\frac12}+\frac{2b}{-\frac12}\right)%%

%%=-\frac12a\left(a-\left(-2\right)+\left(-4b\right)\right)%%

%%=-\frac12a\left(a+2-4b\right)%%

Ist ungleich %%-\frac12a\left(a+2-4\mathrm{ab}\right)%%.

2.

%%a\left(-\frac12a+2b\right)%%

Falsch, da:

%%-\frac12a^2-a+2{ab}%%

Klammere %%a%% aus.

%%=a(-\frac12a-1+2b)%%

Ist ungleich %%-\frac12a\left(a+2-4\mathrm{ab}\right)%%.

3.

%%2\left(-\frac14a-\frac12+b\right)\cdot a%%

Richtig, da:

%%-\frac12a^2-a+2\mathrm{ab}%%

Klammere den Faktor %%2a%% aus.

%%=2a\left(\frac{-{\frac12}a^2}{2a}-\frac a{2a}+\frac{2ab}{2a}\right)%%

%%=2a\left(-\frac14a-\frac12+b\right)%%

Ist gleich %%2\left(-\frac14a-\frac12+b\right)a%%.

4.

%%a\left(a-2b\right)\cdot\left(-\frac12\right)%%

Falsch, da:

%%-\frac12a^2-a+2ab%%

Klammere den Faktor %%a%% aus.

%%=a\left({\textstyle-}\frac12{\textstyle a}-{\textstyle1}+\textstyle2\textstyle b\right)=%%

Klammere den Faktor %%-\frac12%% aus.

%%=a\left(\frac{-{\frac12}a}{-\frac12}-\frac1{-\frac12}+\frac{2b}{-\frac12}\right)\cdot\left(-\frac12\right)%%

%%=-\frac12a(a+2-4b)%%

%%=-\frac12a\left(a+2-4b\right)%%

5.

%%0,5a\left(-a-\frac12+\mathrm{ab}\right)%%

Falsch, da:

%%-\frac12a^2-a+2\mathrm{ab}=%%

Klammere den Faktor %%-\frac12a%% aus.

%%=-\frac12a\left(\frac{-{\frac12}a^2}{-{\frac12}a}-\frac a{-{\frac12}a}+\frac{2ab}{-{\frac12}a}\right)%%

%%=-\frac12a\left(a-\left(-2\right)+\left(-4\right)b\right)%%

%%=-\frac12a\left(a+2-4b\right)%%

Ist ungleich %%-\frac12a\left(a+2-4\mathrm{ab}\right)%%.

Beschreibe mit Worten, welche Fehler jeweils gemacht wurden.
12ab22a2b=ab(12y+2x)\frac12{ab}^2\cdot2a^2b={ab}\cdot\left(\frac12y+2x\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Klammern ausmultiplizieren

aa wurde durch xx und bb durch yy ersetzt und aus einem Produkt kann durch Ausklammern kein Term mit einer Summe entstehen.
12xy2xy+2x2y=xy(12y2x)-\frac12 xy^2-xy+2x^2y=-xy\left(\frac12y-2x\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Klammer ausmultiplizieren

In der Klammer wurde +1+1 vergessen, was beim ausmultiplizieren xy-xy ergibt.

Faktorisiere und klammere aus soweit möglich. Für diese Aufgabe musst du schon die binomischen Formeln kennen.

Zu text-exercise-group 3881:
ast19 2019-10-03 11:51:25+0200
Im bayerischen Lehrplan des Gymnaisiums werden die binomischen Formeln zur Faktorisierung verbindlich erst in der 9. Jahrgangsstufe behandelt. Ich würde Aufgabe Nr 1 komplett streichen, das fängt für die SchülerInnen zu schwer an.
wolfgang 2019-10-06 14:25:52+0200
Hallo ast19,
vielen Dank für deinen Hinweis!

In der Tat ist diese Aufgabe nicht für den Einstieg geeignet. In einem Aufgabenordner auf unserer Plattform sollten die Aufgaben von oben nach unten schwieriger werden. Deshalb habe ich die Aufgabe ganz ans Ende des Ordners verschoben und in die Angabe mitaufgenommen, dass dafür die binomischen Formeln benötigt werden.

Weiteres Feedback gerne jederzeit als Kommentar hinterlassen.

Herzliche Grüße
Wolfgang
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%%(\mathrm{gt}-\mathrm{ht})+(2g-2h)%%

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