Aufgaben

Aus einer rechteckigen Blechtafel der Länge %%a\,LE% %% und der Breite %%b\,LE%% soll eine Dachrinne (Länge %%a%%) hergestellt werden, die maximales Wasservolumen aufnehmen kann.

Blechtafel

a)

Die Blechtafel wird V-förmig gebogen.

Welcher "Knickwinkel" ist zu wählen? Welches maximale Wasservolumen ergibt sich?

b)

Die Blechtafel wird rechteckig gebogen. Wie ist das Blech zu biegen, damit sich ein maximales Wasservolumen ergibt?

rechteckige Dachrinne

c)

Die Blechtafel wird halbkreisförmig gebogen. Welches Wasservolumen ergibt sich?

Vergleiche die Ergebnisse der drei Teilaufgaben.

Dachrinne halbkreisförmig

Extremwertaufgabe

In diesen Aufgaben soll eine ebene Fläche auf unterschiedliche Weise so zu einem Körper gebogen werden, dass dieser ein größtmögliches Volumen besitzt.

Teilaufgabe a)

Da die rechteckige Blechtafel V-förmig geknickt wird, entsteht aus dem ebenen Rechteck ein gerades dreiseitiges Prisma mit der Höhe %%a%%.

Für das Volumen der geknickten Dachrinne gilt somit:

%%V_\text{Dachrinne}=\,\text{Dreiecksfläche}_{\triangle ABC}\;\cdot a%%

Prisma

Und da der Buchstabe V achsensymmmetrisch ist, ist die Grundfläche des Prismas ein gleichschenkliges Dreieck mit der vorgegebenen Schenkellänge %%\displaystyle \frac b2%%, dessen Flächeninhalt A vom Knickwinkel %%\gamma%% abhängt.

%%\gamma%% ist ein Winkel zwischen %%0°%% und %%180°%%.

Die Abhängigkeit der Dreiecksfläche %%A_{\triangle ABC}%% von %%\gamma%% kannst du an dem gegebenen Applet für %%b=4\,LE%% nachvollziehen.

Wegen des fest vorgegebenen Wertes %%a%% für die Höhe des Prismas ist sein Volumen dann am größten, wenn die Dreiecksfläche %%A_{\triangle ABC}%% maximal ist.

Als Zielfunktion für die Extremwertaufgabe, das größtmögliche Dachrinnenvolumen zu ermitteln, verwendest du im weiteren deshalb die von %%\gamma%% abhängige Dreiecksfläche.

Das Applet macht deutlich, dass sowohl die Grundlinie wie auch die Höhe des Dreiecks vom Knickwinkel %%\gamma%% abhängen und mit diesem variieren.

Für die Dreiecksfläche der Grundfläche des Prismas gilt:

%%A_{\triangle ABC}=\frac12 \cdot \text {Grundlinie}\cdot\text{Höhe}%%

Also ergibt sich die

Zielfunktion

%%A(c;h)=c\cdot h%%

mit %%c\in[0;b/2]%% und %%h\in[0;b/2]%%

Grundfläche

Das gleichschenklige Dreieck %%ABC%% enthält das rechtwinklige Teildreieck %%BMC%% mit der gegebenen Hypotenusenlänge %%b/2%% und dem variierenden Winkel %%\gamma/2%%.

Mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen %%Sinus%% und %%Cosinus%% kannst du nun die Dreiecksfläche als Funktion des Knickwinkels %%\gamma%% darstellen.

1. Nebenbedingung

%%\displaystyle sin\frac{\gamma}{2}=\frac {c}{\frac b 2}%%

2. Nebenbedingung

%%\displaystyle cos\frac{\gamma}{2}=\frac{h}{\frac b2}%%

Löse die 1. Nebenbedingung nach %%c%% und die 2. Nebenbedingung nach %%h%% auf.

%%\displaystyle c=\frac b2 \cdot sin\frac{\gamma}{2}%%

%%\displaystyle h=\frac b2 \cdot cos\frac{\gamma}{2}%%

Setze %%c%% und %%h%% in %%A(c;h)%% ein, um die Dreiecksfläche als Funktion von %%\gamma%% zu erhalten.

Erinnerung: %%b%% ist ein konstanter Wert.

Zielfunktion

%%\displaystyle A(\gamma)=\left( \frac b2 \cdot sin\frac{\gamma}{2}\right )\cdot \left (\frac b2 \cdot cos\frac{\gamma}{2}\right )%%

Fasse zusammen.

%%\displaystyle A(\gamma)=\frac{b^2}{4}\cdot sin\frac{\gamma}{2} \cdot cos\frac{\gamma}{2}%%

Bilde unter Verwendung der Produktregel und der Kettenregel die Ableitung %%A'(\gamma)%%.

%%A'(\gamma)=\frac{b^2}{4}\cdot (\underbrace{\underbrace{\frac 12 cos\frac {\gamma}{2}}_\color{red}{\text{Kettenregel}}-\underbrace{\frac 12 sin\frac{\gamma}{2}}_\color{red}{\text{Kettenregel}}}_\color{red}{\text{Produktregel}})\quad|\;\frac 12\; \text{ausklammern}%%

%%\displaystyle A'(\gamma)=\frac{b^2}{8}\cdot (cos\frac{\gamma}{2}-sin\frac{\gamma}{2})%%

Setze %%A'(\frac{\gamma}{2})%% gleich Null um zu berechnen, für welchen Knickwinkel %%\gamma%% die Grundfläche des Dachrinnenprimas maximal sein kann.

%%\begin{array}{rcll} \displaystyle \frac{b^2}{8}\cdot (cos\frac{\gamma}{2}-sin\frac{\gamma}{2})&=&0&|\;:\displaystyle \frac{b^2}{8}\\ \displaystyle cos\frac{\gamma}{2}-sin\frac{\gamma}{2}&=&0&|\; \displaystyle+ sin\frac{\gamma}{2}\\ \displaystyle cos\frac{\gamma}{2}&=& \displaystyle sin\frac{\gamma}{2}&|\;\displaystyle :cos\frac{\gamma}{2}\\ 1&= &\displaystyle tan\frac{\gamma}{2}&|\; tan^{-1}\\ \displaystyle \frac{\gamma}{2}&=&45°&|\;\cdot2\\ \gamma&=&90°\end{array}%%

Um nachzuweisen, dass %%A(\gamma)%% für %%\gamma=90°%% tatsächlich maximal ist, hast du zwei Möglichkeiten.

Möglichkeit 1

Bilde die 2. Ableitung von %%A(\gamma)%%.

%%\displaystyle A'(\gamma)=\frac{b^2}{8}\cdot (cos\frac{\gamma}{2}-sin\frac{\gamma}{2})\;\Rightarrow%%

%%\displaystyle A''(\gamma)=\frac{b^2}{8}\cdot (\underbrace{-\frac12 sin\frac{\gamma}{2}}_{\color{red}{\text{Kettenregel}}}-\underbrace{\frac12 cos\frac{\gamma}{2}}_{\color{red}{\text{Kettenregel}}})%%

%%-\frac12%% ausklammern

%%\displaystyle A''(\gamma)=-\frac{b^2}{16}\cdot (sin\frac{\gamma}{2}+cos\frac{\gamma}{2})%%

Setze %%\gamma=90°%% ein.

%%\displaystyle A(90°)=-\frac{b^2}{16}\cdot (\frac12 \sqrt{2}+\frac12 \sqrt{2})\;\color{red}{<}\,0\;\Rightarrow%%

%%\gamma=90°%% liefert maximalen Flächeninhalt des Grunddreiecks.

Möglichkeit 2 ohne Benutzung der 2. Ableitung:

Die Funktion %%A(\gamma)%% hat für die Randpunkte des Definitionsbereichs (%%\gamma=0°%% und %%\gamma=180°%%) ihr Minimum %%0%%. Dann liefert das (einzige) lokale Extremum dazwischen ein Maximum.

%%A(0°)=0%% und %%A(180°)=0\quad\Rightarrow\quad A(90°)\;\text{liefert ein Maximum.}%%

Für das Volumen der v-förmig geknickten Dachrinne galt:

%%V_\text{Dachrinne}=\text{Dreiecksfläche}\cdot a%%.

Somit ergibt sich für das größtmöglichde Volumen dieser Dachrinne:

%%\displaystyle V_{max}=\frac{b^2}{4} \cdot sin(45°)\cdot cos(45°)\cdot a%%.

Also:

%%\displaystyle V_{max}=\frac18ab^2%%

Teilaufgabe b)

Da die Blechtafel rechtwinklig geknickt wird, entsteht aus dem ebenen Rechteck ein Quader mit der Höhe a und einem Rechteck mit den Seitenlängen %%x%% und %%y%% als Grundfläche.

Für das Volumen des Quaders gilt somit:

%%V_\text{Quader}=\text{Grundfläche}\cdot\;a%%

Quader

Da das Volumen des Quaders maximal werden soll, erhältst du folgende

Zielfunktion

$$V(x;y)=x\cdot y \cdot a$$

mit %%\displaystyle x\in \;]0;\frac b2 [\;%% und %%y\in ]0;b[%% und der Konstanten %%a%%.

Da die Blechtafel achsensymmetrisch zur Seite %%b%% geknickt wird ergibt sich als

Nebenbedingung

%%\begin{align}2x+y&=b\\ y&=b-2x \end{align}%%

Setze y in %%V(x;y)%% ein.

%%V(x)=x\cdot (b-2x)\cdot a%%

%%V(x)=(-2x^2+bx)\cdot a%%

Bilde %%V'(x)%%.

%%V'(x)=(-4x+b)\cdot a%%

Setze %%V'(x)%% gleich Null und löse nach %%X%% auf.

%%\begin{array} {rcll} (-4x+b)\cdot a &=&0&| :a\\ -4x+b&=&0\\ x&=&\displaystyle \frac b4 \end{array}%%

Argumentiere, dass sich für %%x=b/4%% ein Maximum ergibt.

Es gilt:

%%A''(\gamma)=-4a\;\color{red}{<}\;0%%.

%%A''(x)%% ist also eine negative Konstante.

Das Extremum ist also ein Maximum.

Ohne Benutzung der 2. Ableitung kannst du auch so argumentieren:

Der Graph der Funktion %%A(\gamma)%% ist eine nach unten geöffnete Parabel. Das lokale Extremum deshalb ein Maximum.

%%x=\frac b4%% in %%V(x)=(-2x^2+bx)\cdot a%% eingesetzt, ergibt das größtmögliche Volumen %%V_{max}%% dieser Dachrinne:

%%\displaystyle V_{max}=(-2 \cdot \frac {b^2}{16}+b\cdot \frac b4 ) \cdot a%%

Also:

%%\displaystyle V_{max}= \frac{ab^2}{8}%%

Teilaufgabe c)

Diese Teilaufgabe ist keine Extremwertaufgabe. Das halbkreisförmig gebogene Blechrechteck ergibt eine Zylinderhälfte der Höhe %%a%%. Dessen Volumen ist mit den Ergebnissen der Teilaufgaben a) und b) zu vergleichen.

Der Umfang des (ganzen) Grundkreises ist %%2b%%.

Dann gilt für den Radius %%r%%:

%%2r\pi=2b\quad\Rightarrow\quad r=\displaystyle \frac{b}{\pi}%%

Dachrinnenzylinder

Die Dachrinne, d.h. der halbe Zylinder, hat dann folgendes Volumen:

%%V_{Rinne} = \displaystyle \frac 12 \cdot \left (\frac{b}{\pi}\right)^2 \cdot \pi \cdot a%%.

Damit ergibt sich:

%%V_{Rinne}= \displaystyle \frac{1}{2\pi}\cdot a\cdot b^2\quad\approx0,16ab^2%%

Der Vergleich der drei Teilaufgaben ergibt:

Die beiden maximalen Dachrinnenvolumina der Teilaufgaben a) und b) sind mit %%0,125ab^2%% gleich und kleiner als das halbkreisförmig gebogene Volumen der Teilaufgabe c) mit %%0,16ab^2%%. Dieses ist somit um rund %%28\% %% größer als das Maximum jeder geknickten Rinne.

Ein Punkt %%P(x_P|y_P)%% gleite auf der Strecke %%[AB]%% mit %%A(0|6)%% und %%B(4|0)%%.

Er ist die Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks mit einer festen Ecke im Koordinatenursprung.

Für welchen Punkt %%P%% hat das Dreieck den größtmöglichen Flächeninhalt? Wie groß ist dieser?

Im nachfolgenden Applet kannst du - bevor du rechnest - experimentieren.

Für das gleichschenklige Dreieck mit der Spitze %%P%% gilt:

Grundlinie = %%2\cdot x_P%%

Höhe = %%y_P%%

Für die Dreiecksfläche ergibt sich also:

%%A_{Dreieck}=x_P\cdot y_P%%

Skizze der Situation im Koordinatensystem

Gib die Zielfunktion und die Nebenbedingung für die Extremumsaufagbe an.

Zielfunktion

%%\displaystyle A_{Dreieck}=x_P\cdot y_P%%

Nebendingung

Der Punkt %%P(x_P|y_P)%% liegt auf der Strecke %%[AB]%%.

Ermittle die Geradengleichung %%AB%%.

allgemeiner Ansatz einer Geradengleichung:

%%\mathrm g(\mathrm x)=\mathrm{mx}+\mathrm t%%

Bestimme den y-Achsenabschnitt t, indem du abliest, wo der Graph die y-Achse schneidet.

%%\Rightarrow\;\;\mathrm t=6%%

Bestimme die Steigung m, indem du ein Steigungsdreieck benutzt:

Gehe von irgendeinem Geradenpunkt %%1\,LE%% nach rechts und lies ab, wie viele Einheiten du nach unten gehen musst, um wieder auf den Funktionsgraphen zu treffen.

%%\Rightarrow\;\;\mathrm m=-1,5%%

Setze die Werte %%m%% und %%t%% in die Funktionsgleichung ein.

%%\Rightarrow\;\;\mathrm g(\mathrm x)=-1,5\mathrm x+6%%

Gib noch den Definitionsbereich %%D_g%% an, mit dem die Gerade %%g%% auf die Strecke %%[AB]%% begrenzt wird.

%%D_g=[0;4]%%

Gib nun die Nebenbedingung als Funktionsgleichung für den Punkt %%P(x_P|y_P)%% an.

Nebenbedingung

%%y_P=-1,5\cdot x_P+6%%

Zielfunktion

%%A(x_P;y_P)=x_P\cdot y_P%%

Setze %%y_P%% der Nebenbedingung in die Zielfunktion ein.

%%A(x_P)=-1,5\cdot x_P^2+6\cdot x_P%%

Es handelt sich um eine nach unten geöffnete Parabel.

Ihr Maximum lässt sich über die Scheitelform durch eine quadratische Ergänzung ermitteln.

%%\begin{align}A(x_P)&=-1,5(x_P^2\color{red}{-4}x_P)\\ &=-1,5(x_P^2-4x_P\color{red}{+2^2})\color{red}{+6}\\&=-1,5(x_P-2)^2+6\end{align}%%

Lies den Scheitelpunkt ab.

%%\Rightarrow\;\;\mathrm S\left(2\;\left|\;6\right.\right)%%

Gib die Bedeutung der Koordinaten des Scheitelpunktes an.

%%\Rightarrow\;%% Bei %%{\mathrm x}_\mathrm p=2%% ist der Flächeninhalt %%6\,\text{LE}%% und dies ist der gesuchte größtmögliche Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks.

               

Bestimme aus der Nebenbedingung den y-Wert des Punktes %%P%%.

%%{\mathrm y}_\mathrm p=-1,5\cdot2+6=3%%

                             

Gib den gesuchten Punkt %%P%% und den maximalen Flächeninhalt in einem Antwortsatz an.

Für den Punkt %%\mathrm P\left(\left.2\;\right|\;3\right)%% ist der Flächeninhalt des darunterliegenden Dreiecks maximal und er beträgt %%6\;\mathrm{FE}%%.

Lösung über die Ableitung von %%A(x_P)%%

%%\begin{align}A(x_P)&=-1,5x_P^2+6x_P\\ A'(x_P)&=-3x_P+6\end{align}%%

Setze %%A'(x_P)%% gleich Null.

%%-3x_P+6=0%%

Löse nach %%x_P%% auf.

%%\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x_P=2%%

Setze den Wert in %%A(x_P)%% und in die Nebenbedingung %%y=-1,5\cdot x_P+6%% ein und du hast die Lösung der Aufgabe.

7563_UEjJD5RH5A.xml

          

Aus einem diagonal halbierten DIN A4 Blatt soll entsprechend der Zeichnung ein möglichst großflächiges Rechteck geschnitten werden.

           

Finde die Breite a, für die der Flächeninhalt des Rechtecks maximal ist.

Extremwertaufgabe

Stelle die allgemeine Flächenformel eines Rechtecks auf.

%%\mathrm A=\mathrm a\cdot\mathrm b%%

Bestimme b. Benutze dazu, dass das ganze Dreieck ähnlich zu dem schraffierten Dreieck ist und berechne mit dem SWS-Satz (oder: Strahlensatz V-Figur) die Seite b.

%%\Rightarrow\frac{\mathrm b}{\left(21-\mathrm a\right)}=\frac{29,7}{21}%%

Löse nach b auf.

  %%\mathrm b=\frac{29,7}{21}\cdot\left(21-\mathrm a\right)%%

Setze b in die allgemeine Form für den Flächeninhalt des Rechtecks ein.

%%\mathrm A=\mathrm a\cdot\frac{29,7}{21}\cdot\left(21-\mathrm a\right)%%

Multipliziere aus.

  %%=\mathrm a\left(29,7-\frac{29,7}{21}\mathrm a\right)%%

  %%=29,7\mathrm a-\frac{29,7}{21}\mathrm a^2%%

Dies ist nun die Formel für den Flächeninhalt des Rechtecks in Abhängigkeit von a.

Bestimme nun den maximalen Flächeninhalt.

Da es sich um eine nach unten geöffnete Parabel handelt, liegt das Maximum der Funktion bei ihrem Scheitelpunkt .

Dieser liegt genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen.

%%-\frac{29,7}{21}\mathrm a^2+29,7\mathrm a=0%%

%%\mathrm a\left(29,7-\frac{29,7}{21}\mathrm a\right)=0%%

Bestrachte die beiden Faktoren getrennt.

%%\Rightarrow\;\;{\mathrm a}_1=0%%

Betrachte den 2. Faktor.

%%29,7-\frac{29,7}{21}\mathrm a=0%%

%%\left|+\frac{29,7}{21}\mathrm a\right.%%

%%29,7=\frac{29,7}{21}\mathrm a%%

%%\left|:\frac{29,7}{21}\right.%%

%%\Rightarrow\;\;{\mathrm a}_2=21%%

Bestimme die Stelle, an der der Scheitelpunkt liegt (Mitte der Nullstellen).

%%\Rightarrow%%   Scheitel bei %%\mathrm a=10,5%%

Formuliere einen Antwortsatz.

Für %%\mathrm a=10,5%% wird der Flächeninhalt des Rechtecks maximal.

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