Aufgaben

Strecke den Punkt %%A%% um den Faktor %%k%% um den Ursprung

%%A(2|3), k=2%%

Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:

%% \begin{eqnarray} x' &=& k\cdot x\\ y' &=& k\cdot y \end{eqnarray} %%

Setze den Faktor %%k=2%% in das Gleichungssystem ein.

%% \begin{eqnarray} x' &=& 2\cdot x\\ y' &=& 2\cdot y \end{eqnarray} %%

Setze die Koordinaten des Punktes %%A=(2|3)%% in das Gleichungssystem ein.

%% \begin{eqnarray} x' &=& 2\cdot 2 &=& 4\\ y' &=& 2\cdot 3 &=& 6 \end{eqnarray} %%

Alternative 2: Lösung in Matrixform:

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k & 0\\ 0 & k \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} %%

Setze den Faktor %%k=2%% in die Matrix ein.

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} %%

Setze die Koordinaten des Punkte %%A=(2|3)%%.

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix}%%

%%= \begin{pmatrix} 4\\ 6 \end{pmatrix} %%

Zentrische Streckung

%%A(4|-1), k=-1%%

Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:

%% \begin{eqnarray} x' &=& k\cdot x\\ y' &=& k\cdot y \end{eqnarray} %%

Setze den Faktor %%k=-1%% in das Gleichungssystem ein.

%% \begin{eqnarray} x' &=& -1\cdot x\\ y' &=& -1\cdot y \end{eqnarray} %%

Setze die Koordinaten des Punktes %%A=(4|-1)%% in das Gleichungssystem ein.

%% \begin{eqnarray} x' &=& -1\cdot 4 &=& -&4\\ y' &=& -1\cdot (-1) &=& &1 \end{eqnarray} %%

Alternative 2: Lösung in Matrixform:

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k & 0\\ 0 & k \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} %%

Setze den Faktor %%k=-1%% in die Matrix ein.

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} %%

Setze die Koordinaten des Punkte %%A=(4|-1)%%.

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\ -1 \end{pmatrix}%%

%%= \begin{pmatrix} -4\\ 1 \end{pmatrix} %%

Zentrische Streckung

%%A(5|1), k=0,5%%

Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:

%%x'=k\cdot x%%

%%y'=k\cdot y%%

Setze den Faktor %%k=−1%% in das Gleichungssystem ein.

%%x'=0,5\cdot x%%

%%y'=0,5\cdot y%%

Setze die Koordinaten des Punktes %%A=(5|1)%% in das Gleichungssystem ein.

%%x'=0,5\cdot 5=2,5%%

%%y'=0,5\cdot 1=0,5%%

Alternative 2: Lösung in Matrixform:

%%\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} k&0\\ 0&k \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}%%

Setze den Faktor %%k=0,5%% in die Matrix ein.

%%\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0,5&0\\ 0&0,5 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}%%

Setze die Koordinaten des Punkte A=(5|1).

%%\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0,5&0\\ 0&0,5 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 5\\ 1 \end{pmatrix}%%

%%=\begin{pmatrix} 2,5\\ 0,5 \end{pmatrix}%%

Zentrische Streckung

%%A\left(\frac{3}{4}|-1\right), k=-\frac{4}{5}%%

Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:

%%x'=k\cdot x%%

%%y'=k\cdot y%%

Setze den Faktor %%k=-\frac{4}{5}%% in das Gleichungssystem ein.

%%x'=-\frac{4}{5}\cdot x%%

%%y'=-\frac{4}{5}\cdot y%%

Setze die Koordinaten des Punktes %%A=\left(\frac{3}{4}|−1\right)%% in das Gleichungssystem ein.

%%\begin{eqnarray} x'&=&-\frac{4}{5}\cdot \frac{3}{4}&=-&\frac{3}{5}\\ y'&=&-\frac{4}{5}\cdot (-1)&= &\frac{4}{5} \end{eqnarray}%%

Alternative 2: Lösung in Matrixform:

%%\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} k&0\\ 0&k \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}%%

Setze den Faktor %%k=−\frac45%% in die Matrix ein.

%%\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{4}{5}&0\\ 0&\frac{4}{5} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}%%

Setze die Koordinaten des Punkte %%A=\left(\frac34|−1\right)%%.

%%\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{4}{5}&0\\ 0&\frac{4}{5} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} \frac34\\ -1 \end{pmatrix}%%

Zentrische Streckung

Strecke die Gerade, die durch die Gleichung %%2\cdot x+3\cdot y=6%% gegeben ist, um den Faktor %%k=-2%%.

%%2\cdot x + 3 \cdot y = 6%%

Wähle zwei Punkte auf der Geraden, zum Beispiel den %%x%%- und den %%y%%-Achsenabschnitt.

Bild

%%A(0|2)%% und %%B(3|0)%%

Strecke die Punkte %%A%% und %%B%% um den Faktor %%k=-2%%.

Alternative 1: Berechnung in Koordinatenform:

%% \begin{eqnarray} x_{A'} &=& k \cdot x_A\\ y_{A'} &=& k\cdot y_A \\ x_{B'} &=& k \cdot x_B\\ y_{B'} &=& k\cdot y_B \end{eqnarray} %%

Setze den Faktor %%k=-2%% in das Gleichungssystem ein.

%% \begin{eqnarray} x_{A'} &=& -2 \cdot x_A\\ y_{A'} &=& -2\cdot y_A \\ x_{B'} &=& -2 \cdot x_B\\ y_{B'} &=& -2\cdot y_B \end{eqnarray} %%

Setze die Koordinaten der Punkte %%A(0|2)%% und %%B(3|0)%%

%% \begin{eqnarray} x_{A'} &=& -2 \cdot 0 &=& &0\\ y_{A'} &=& -2 \cdot 2 &=& -&4\\ x_{B'} &=& -2 \cdot 3 &=& -&6\\ y_{B'} &=& -2 \cdot 0 &=& &0 \end{eqnarray} %%

Damit sind die gestreckten Punkte %%A'(0|-4)%% und %%B'(-6|0)%%.

Alternative 2: Berechnung in Matrixform:

%% \begin{pmatrix} x_{A'}\\ y_{A'}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_A\\ y_A \end{pmatrix} %%

%% \begin{pmatrix} x_{B'}\\ y_{B'}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_B\\ y_B \end{pmatrix} %%

Setze den Faktor %%k=-2%% in die Matrizen ein.

%% \begin{pmatrix} x_{A'}\\ y_{A'}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_A\\ y_A \end{pmatrix} %%

%% \begin{pmatrix} x_{B'}\\ y_{B'}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_B\\ y_B \end{pmatrix} %%

Setze die Koordinaten der Punkte %%A(0|2)%% und %%B(3|0)%% in die Vektoren ein.

%% \begin{pmatrix} x_{A'}\\ y_{A'}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 2 \end{pmatrix} %%

%% \begin{pmatrix} x_{B'}\\ y_{B'}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3\\ 0 \end{pmatrix} %%

%% \begin{pmatrix} x_{A'}\\ y_{A'}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ -4 \end{pmatrix} %%

%% \begin{pmatrix} x_{B'}\\ y_{B'}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6\\ 0 \end{pmatrix} %%

Damit sind die gestreckten Punkte %%A'(0|-4)%% und %%B'(-6|0)%%.

Aufstellen der Geradengleichung:

%%y=m\cdot x + t%%

Den %%y%%-Achsenabschnitt %%t%% kannst du von dem Punkt %%A'(0|-4)%% ablesen.

%%t=-4%%
%%\Rightarrow y = m\cdot x -4%%

Die Steigung %%m%% kannst du durch die Koordinaten der Punkte %%A'%% und %%B'%% bestimmen.

%% m = \frac{-4}{-6} = \frac23 %%

%% \Rightarrow y = \frac23 \cdot x -4 \Leftrightarrow \frac23 \cdot x- y = 4 %%

Bild Lösung

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