Aufgaben

Gliedere den Term %%\left(153+12\right)-\left[53-\left(18+33\right)\right]%% und berechne seinen Wert.

Beachte die 2. Klammer!

Rechne nochmal nach!

Beachte die Klammern!

Richtig!

Addition und Subtraktion

Alles, was du zu dieser Aufgabe wissen musst, findest du im Artikel zu Addition und Subtraktion.

Rechne die innerste Klammer zuerst:

%%\left(153+12\right)-\left[53-\left(18+33\right)\right]%%

In den inneren Klammern addieren.

%%=165-\left(53-51\right)%%

Die Klammer subtrahieren.

%%=165-2%%

%%=163%%

a) Überprüfe durch Berechnen von %%144:4%% und %%100:4+44:4%%, ob das Distributivgesetz auch bei Aufteilung des Dividenden eines Quotienten gilt.

b) Überpüfe durch Berechnung von %%1440:10%% und %%1440:18-1440:8%%, ob das Distributivgesetz auch bei Aufteilung des Divisors eines Quotienten gilt.

Teilaufgabe a)

%%144:4=36%%

Probe des Distributivgesetzes

%%100:4+44:4=%%

%%=25+11=%%

%%=36%%

Die Ergebnisse beider Berechnungswege sind gleich.

%%\;\;\;\Rightarrow%% Das Distributivgesetz gilt auch bei Aufteilung des Dividenden eines Quotienten.

Teilaufgabe b)

%%1440:10=%%

%%=144%%

Probe des Distributivgesetzes

%%1440:18-1440:8=%%

%%=80-180=%%

%%=-100%%

Die Ergebnisse beider Rechnungen stimmen nicht überein.

%%\;\;\;\Rightarrow%% Das Distributivgestz gilt nicht bei Aufteilung des Divisors eines Quotienten.

Mache zunächst eine Überschlagsrechnung. Führe dann die Rechnung aus und vergleiche die Ergebnisse

Zu text-exercise-group 10719:
LisaSchwa 2017-07-12 08:48:27+0200
Die Aufgabenstellung zur 2. Aufgabe ist in a. und b. geteilt. Ist das beabsichtigt? Verwirrt vielleicht.
metzgaria 2017-07-17 13:23:52+0200
wird geändert!
Ergänze - falls nötig - die Regel. Wende den Trick auf das Beispiel an, um das Ergebnis zu berechnen.

Aufgabe

Trick

Beispiel

Multipliziere mit 4

Verdoppeln und nochmals verdoppeln

%%18\cdot4= ?%%

Multipliziere mit 1000

?

%%27 \cdot 1000 = ?%%

Multipliziere mit 5

Rechne mal 10 und halbiere

%%456\cdot 5=?%%

Multipliziere mit 11

Mal 10 und einmal dazuzählen

%%456 \cdot 11 =?%%

Multipliziere mit 9

?

%%456 \cdot 9 = 4560 - 456 = ?%%

Multipliziere mit 15

Einen Faktor halbieren, anderen 2-fach

%%44 \cdot 15 = ?%%

Multipliziere mit 15

Mal 10 und die Hälfte davon dazuzählen

%%44 \cdot 15 =?%%

Multiplizieren mit 25

einen Faktor vierteln, den anderen vervierfachen

%%44 \cdot 25 =?%%

Dividieren durch 100

?

%%1700 : 100 =?%%

Dividieren durch 5

?

%%325:5=325\cdot2:10=?%%

Dividieren durch 25

Mal 100 geteilt durch 4

%%325:25=?%%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen:Grundrechenarten

Aufgabe

Trick

Beispiel

Multipliziere mit 4

Verdoppeln und nochmals verdoppeln

%%18\cdot4= 72%%

Multipliziere mit 1000

3 Nullen an die Zahl anhängen

%%27 \cdot 1000 = 27000%%

Multipliziere mit 5

Rechne mal 10 und halbiere

%%456\cdot 5=2280%%

Multipliziere mit 11

Mal 10 und einmal dazuzählen

%%456 \cdot 11 =5016%%

Multipliziere mit 9

Mal 10 und einmal abziehen

%%456 \cdot 9 = 4560 - 456 = 4185%%

Multipliziere mit 15

Einen Faktor halbieren, anderen 2-fach

%%44 \cdot 15 = 660%%

Multipliziere mit 15

Mal 10 und die Hälfte davon dazuzählen

%%44 \cdot 15 =660%%

Multiplizieren mit 25

einen Faktor vierteln, den anderen vervierfachen

%%44 \cdot 25 =1100%%

Dividieren durch 100

2 Nullen von der Zahl wegstreichen

%%1700 : 100 =17%%

Dividieren durch 5

Mal 2 und dann durch 10 teilen

%%325:5=325\cdot2:10=65%%

Dividieren durch 25

Mal 100 geteilt durch 4

%%325:25=13%%

Welcher Fehler wurde bei folgender Rechnung gemacht?

%%"123+\left(321\cdot213-132\right)=321\cdot213=68373-132=68241+123=68364"%%

Das Endergebnis ist zwar richtig, aber bei den Zwischenschritten wurde vergessen, den Rest mit abzuschreiben.

Denn %%68373-132%% beispielsweise ist nicht gleich %%68364%%.

Richtig wäre also:

%%123+\left(321\cdot213-132\right)=%%

In der Klammer ausmultiplizieren.

%%=123+\left(68373-132\right)=%%

Klammer ausrechnen.

%%=123+68241=%%

%%=68364%%

Beantworte folgende Frage.

Welche Zahl muss man von 97531 subtrahieren, um 1357 zu erhalten?

Versuchs nochmal anders!

Rechne nochmal nach!

Richtig!

Ansatz:

%%97531-\mathrm x=1357%%

Ein Beispiel mit kleineren Zahlen zur Erläuterung der Vorgehensweise:

%%3-\mathrm x=1%%

Stelle nach %%x%% um.

%%3-1=\mathrm x%%

%%\mathrm x=2%%

2 ist somit das richtige Ergebnis des Beispiels.

%%\rightarrow\;97531-1357=\mathrm x%%

%%\begin{array}{l}\;\;\;9\;7\;5\;3\;1\\\frac{-\;1\;3_1\;5_1\;7}{\;\;9\;6\;1\;7\;4}\end{array}%%

%%\mathrm x=96174%%

Überprüfung:

%%97531-96174=1357%%

96174 ist somit das richtige Ergebnis.

Von welcher Zahl muss man 2468 subtrahieren, um 642 zu erhalten?

Probier's nochmal anders!

Rechne genauer!

Richtig!

Ansatz:

%%\mathrm x-2468=642%%

Ein einführendes Beispiel mit kleineren Zahlen zum Einüben der Vorgehensweise:

%%\mathrm x-2=1%%

Stelle nach %%x%% um.

%%\mathrm x=1+2%%

%%\mathrm x=3%%

Überprüfung:

%%3-2=1%%

3 ist somit das richtige Ergebnis.

%%\rightarrow\;\mathrm x=642+2468%%

%%\begin{array}{l}\underline{\begin{array}{cccc}\;\;&\;&6&4&2\\+&2_1&4_1&6_1&8\end{array}}\\\begin{array}{cccc}\;\;\;&3\;\;&1\;&1\;&0\end{array}\end{array}%%

%%\mathrm x=3110%%

%%3110-2468=642%%

3110 ist somit das richtige Ergebnis.

Berechne

%%\left[99\cdot\left(3\cdot9-7\right)+0\cdot3:51\right]:\left(99-9\cdot11\right)%%

Beachte die Klammern und Punkt-vor-Strich!

Beachte Punkt vor Strich!

Super gemacht!

%%\left[99\cdot\left(3\cdot9-7\right)+0\cdot3:51\right]:\left(99-9\cdot11\right)=%%

Erst Multiplikationen innerhalb der Klammern berechnen.

%%=\left[99\cdot\left(27-7\right)+0\right]:\left(99-99\right)=%%

Klammern berechnen.

%%=\left[99\cdot20+0\right]:0%%

%%\;\;\;\;\rightarrow\;\;\;%% Die Gleichung ist nicht lösbar, da die Division durch 0 nicht definiert ist, also durch 0 nicht geteilt werden darf.

Der Osterhase hat 10.000 Eier versteckt. Bisher wurden 2.977 gefunden. Wie viele Eier sind noch verborgen?

Aus der Aufgabenstellung lässt sich folgende Gleichung gewinnen:

%%10.000-x=2.977%%, wobei %%x%% die Anzahl der noch verborgenen Eier bezeichnet.

Ein Beispiel mit kleineren Zahlen zur Vorstellung der Vorgehensweise:

%%1+x=3%%

Stelle nach %%x%% um.

%%x=3-1=2%%

%%1+\boxed2=3%%

Die Gleichung ist richtig.

%%10.000-x=2.977%%

Forme nach %%x%% um.

%%x=10.000-2.977%%

%%x=7.023%%

Probe: 7023 in Anfangsgleichung einsetzen.

%%2.977+\boxed{7.023}=10.000%%

Gleichung ist richtig.

%%\Rightarrow Es\;sind\;also\;noch\;7.023\;vom\;Osterhasen\;versteckte\;Eier\;verborgen.%%

  1. Berechne den Wert des Terms!

  2. Wie verändert sich der Wert des Terms, wenn alle Zahlen um 2 vergrößert werden?

(Die Auswählmöglichkeiten beziehen sich auf die 1.Augabe)

Führe die Aufgaben aus für die folgenden Terme:

%%65432-\left[\left(2264-675\right)-\left(123+432+1\right)\right]-10%%

Rechne nochmal nach!

Rechne nochmal nach!

Beachte die Klammern!

Super!

Teilaufgabe 1

%%65432-\left[\left(2264-675\right)-\left(123+432+1\right)\right]-10=%%

Subtrahiere und addiere in den inneren Klammern.

%%=65432-\left[1589-556\right]-10=%%

Subtrahiere in der Klammer.

%%=65432-1033-10=%%

%%=64389%%

 

Teilaufgabe 2

Durch Anwendung des Kommutativ- und Assoziativgesetzes ist sichergestellt, dass der Zuwachs durch die Vergrößerug aller Zahlen bestimmt werden kann, indem einfach für alle Zahlen eine 2 eingesetzt wird. Dabei wird berücksichtigt, dass weder Multiplikationen noch Divisionen vorkommen.

%%2-\left[\left(2-2\right)-\left(2+2+2\right)\right]-2=%%

Subtrahiere und addiere in den inneren Klammern.

%%=2-\left[0-6\right]-2=%%

Subtrahiere in der Klammer.

%%=2+6-2=%%

 

%%=6%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;Das\;Ergebnis\;ist\;um\;6\;größer.%%

%%5763+\left[\left(1342-43\right)-\left(234+32+1\right)-10\right]%%

Rechne nochmal nach!

Schau genau!

Beachte die Klammern!

Richtig!

Teilaufgabe 1

%%5763+\left[\left(1342-43\right)-\left(234+32+1\right)-10\right]=%%

Subtrahiere und addiere in den inneren Klammern.

%%=5763+\left[1299-267-10\right]=%%

Subtrahiere in der Klammer.

%%=5763+1022=%%

%%=6785%%

 

Teilaufgabe 2

Durch Anwendung des Kommutativ- und Assoziativgesetzes ist sichergestellt, dass der Zuwachs durch die Vergrößerug aller Zahlen bestimmt werden kann, indem einfach für alle Zahlen eine 2 eingesetzt wird. Dabei wird berücksichtigt, dass weder Multiplikationen noch Divisionen vorkommen.

%%2+\left[\left(2-2\right)-\left(2+2+2\right)-2\right]=%%

Subtrahiere und addiere in den inneren Klammern.

%%=2+\left(0-6-2\right)=%%

Subtrahiere in der Klammer.

%%=2-8=%%

%%=-6%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;Das\;Ergebnis\;ist\;um\;6\;kleiner.%%

%%13513-\left[\left(555-132\right)-\left(400+1962+4\right)+15\right]%%

Hast du Rechenzeichen verwechselt?

Rechne nochmal nach!

Beachte die Klammern!

Richtig!

Teilaufgabe 1

%%13513-\left[\left(555-132\right)-\left(400+1962+4\right)+15\right]=%%

Subtrahiere und addiere in den inneren Klammern.

%%=13513-\left[423-2366+15\right]=%%

Subtrahiere in der Klammer.

%%=13513+1928=%%

%%=15441%%

Teilaufgabe 2

Durch Anwendung des Kommutativ- und Assoziativgesetzes ist sichergestellt, dass der Zuwachs durch die Vergrößerug aller Zahlen bestimmt werden kann, indem einfach für alle Zahlen eine 2 eingesetzt wird. Dabei wird berücksichtigt, dass weder Multiplikationen noch Divisionen vorkommen.

%%2-\left[\left(2-2\right)-\left(2+2+2\right)+2\right]=%%

Subtrahiere und addiere in den inneren Klammern.

%%=2-\left[0-6+2\right]=%%

Subtrahiere in der Klammer.

%%=2+4=%%

%%=6%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;Das\;Ergebnis\;ist\;um\;6\;größer.%%

Für die folgenden Terme befolge diese Arbeitsanweisungen:

  1. Mache jeweils eine Überschlagsrechnung!

  2. Berechne den Wert des Terms!

  3. Überlege, ob man Klammern weglassen kann, ohne den Wert des Terms zu ändern!

%%\left[4531-\left(2143-1824\right)\right]-3213%%

Teilaufgabe 1

%%\left[4531-\left(2143-1824\right)\right]-3213%%

Überschlage und rechne die Klammern aus.

%%\left[4500-\left(2100-1800\right)\right]-3200=%%

%%\left[4500-300\right]-3200=%%

%%=4200-3200%%

%%=1000%%

 

Teilaufgabe 2

%%\left[4531-\left(2143-1824\right)\right]-3213=%%

Löse die Klammern auf.

%%=\left[4531-319\right]-3213%%

%%=4212-3213%%

%%=999%%

 

Teilaufgabe 3

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Man darf die Klammern nicht weglassen, da die Rechnung nicht nur aus Additionen oder Multiplikationen besteht. Sonst wäre das Assoziativgesetz anwendbar und Klammern könnten weggelassen werden.

%%2005-\left[\left(715-309\right)-\left(284-197\right)\right]%%

Teilaufgabe 1

%%2005-\left[\left(715-309\right)-\left(284-197\right)\right]%%

Überschlage und rechne die Klammern aus.

%%2000-\left[\left(700-300\right)-\left(300-200\right)\right]=%%

%%2000-\left(400-100\right)=%%

 

%%2000-300=%%

 

%%=1700%%

 

Teilaufgabe 2

%%2005-\left[\left(715-309\right)-\left(284-197\right)\right]=%%

Löse die Klammern auf.

%%2005-\left(406-87\right)=%%

%%2005-319=%%

%%=1686%%

 

 

 

Teilaufgabe 3

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Man darf die Klammern nicht weglassen, da die Rechnung nicht nur aus Additionen oder Multiplikationen besteht. Sonst wäre das Assoziativgesetz anwendbar und Klammern könnten weggelassen werden.

Der Mathematiker Carl Friedrich Gauß musste, als er Schüler war, die Zahlen von 1 bis 100 addieren. Er schrieb:

%%1+2+3+…+98+99+100=\left(1+100\right)+\left(2+99\right)+…+\left(50+51\right)=101\cdot50=5050%%

Addiere mit einem ähnlichem Trick die ungeraden Zahlen von 1 bis 999.

%%1+3+…+997+999%%

%%=\left(1+999\right)+\left(3+997\right)+…+\left(499+501\right)%%

Von 1 bis 1000 gibt es je 500 gerade und ungerade Zahlen. Die 500 ungeraden Zahlen lässen sich zu 250 solcher Klammerausdrücke zusammenfassen. Dabei ist die Summe in jeder Klammer 1000

%%=1000\cdot250%%

%%=250\;000%%

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