Aufgaben

Vergleiche die Dezimalbrüche und gib an, welcher Dezimalbruch größer ist.

Zu text-exercise-group 27947:
Nish 2018-07-01 22:31:16
Diese Aufgabe sollte nochmal mit den aktuellen Richtlinien zu Aufgabenlösungen (http://de.serlo.org/90400) überarbeitet werden.
LG,
Nish
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3,60 und 3,61

Vergleich von Dezimalzahlen

Thema dieser Aufgabe ist der Vergleich von Dezimalzahlen.

Gliedere die Zahl nach Einern (E), Zehnteln (z) und Hundertsteln (h) auf.

3,60: 3 E 6 z 0 h
3,61: 3 E 6 z 1 h

Vergleiche zuerst die natürlichen Zahlen vor dem Komma.

3 E = 3 E

Beide Zahlen vor dem Komma sind gleich groß.

Vergleiche auch die Zehntel.

6 z = 6 z

Beide Zehntel sind gleich groß.

Vergleiche nun die Hundertstel.

0 h < 1 h

Da 0 < 1 ist, ist somit der Dezimalbruch 3,60 kleiner als 3,61.

0,5 und 0,23

Vergleich von Dezimalzahlen

Thema dieser Aufgabe ist der Vergleich von Dezimalzahlen.

Gliedere Zahl nach Einern (E), Zehnteln (z) und Hundertsteln (h) auf.

0,5: 0 E 5 z 0 h
0,23: 0 E 2 z 3 h

Vergleiche zuerst natürliche Zahlen vor dem Komma.

0 E = 0 E
Beide Zahlen sind gleich groß.

Vergleiche dann die Zehntel.

5 z < 2 z
5 ist größer als 2.

Das Ergebnis steht fest, du musst die Hundertstel nun nicht mehr vergleichen.

Der Dezimalbruch 0,5 ist größer als 0,23.

Anmerkung

Ein anderer Lösungsweg ist das Abschätzen und Vergleichen mit dir bekannten Dezimalbrüchen. Du weißt, dass 0,25 die Hälfte von 0,5 ist.
0,23 ist 2 Hundertstel kleiner als 0,25, also erst recht kleiner als 0,5.

2,7 und 2,70

Vergleich von Dezimalzahlen

Thema dieser Aufgabe ist der Vergleich von Dezimalzahlen.

Gliedere Zahl nach Einern (E), Zehnteln (z) und Hundertsteln (h) auf.

2,7: 2 E 7 z 0 h
2,70: 2 E 7 z 0 h

Die beiden Zahlen sind gleich groß. Nullen am Ende der Zahl hinter dem Komma ändern deren Wert nicht.

2,7 = 2,70

0,08 und 0,1

Vergleich von Dezimalzahlen

Thema dieser Aufgabe ist der Vergleich von Dezimalzahlen.

Gliedere Zahl nach Einern (E), Zehnteln (z) und Hundertsteln (h) auf.

0,08: 0 E 0 z 8 h
0,1: 0 E 1z 0 h

Vergleiche zuerst die natürlichen Zahlen vor dem Komma.

0 E = 0 E

Beide Zahlen sind gleich groß.

Vergleiche dann die Zehntel.

0 z < 1 z

0 ist kleiner als 1.

Somit ist der Dezimalbruch 0,08 kleiner als 0,1.
Du musst die Hundertstel nun nicht mehr vergleichen.

0,08 < 0,1

In Indien leben, auf halbe Millionen gerundet, eine Milliarde und zweihundert Millionen Menschen. Wie viele Leute leben mindestens und wie viele höchstens in Indien?

[Auf- und Abrunden]()

Gegeben ist die Zahl 1 200 000 000, die die Anzahl der Einwohner in Indien angibt.

Was ist nun gesucht?

Gesucht sind die zwei Zahlen, die auf eine halbe Million ab- bzw. aufgerundet wieder die Zahl 1 200 000 000 ergeben.

Dabei ist die Zahl, die abgerundet wieder 1 200 000 000 ergibt, die Höchstanzahl an Einwohnern in Indien. Ich bezeichne diese Zahl hier mit x.

Die Zahl, die aufgerundet wieder 1 200 000 000 ergibt, ist die Mindestzahl an Einwohnern in Indien. Diese bezeichne ich hier mit y.

Also sind x und y gesucht.

Was heißt es auf eine halbe Millionen zu runden?

Auf eine halbe Millionen zu runden, heißt, dass man sich die von rechts aus gesehen die fünfte und sechste Stelle einer Zahl anschaut, um mit deren Hilfe wie gewohnt auf- oder abzurunden.

Zum Beispiel:

Bei 12 240 000 wird die Zahl auf 12 000 000 abgerundet.

Bei 12 760 000 wird die Zahl auf 13 000 000 aufgerundet.

Bei 12 500 000 bleibt die Zahl natürlich gleich beim Auf- und Abrunden.

Hinweis:

Es gibt bei der Lösung der Aufgabe eine gute Erklärung und Vorgehensweise zum Runden auf halbe Hunderttausender. Diese sind natürlich auch auf das Runden auf halbe Millionen anwendbar.

Herleitung von x und y mit Hilfe obiger Definition

Schaue dir jeweils die sechste und die fünfte Stelle von x an:

x muss so gewählt werden, dass sie minimal, aber auch Aufrundbar ist.
Die 5 ist die kleinste Zahl, bei der aufgerundet wird, also setzt du diese auf die Zehntausender-Stelle. Da die Tausender-, Hunderter-, Zehner- und Einer-Stelle nicht wichtig beim Runden auf eine halbe Million ist, nimmst du an diesen Stellen Nullen, weil die Zahl klein sein soll.

%%\Rightarrow%% %%x = _ _ _ _ 7 5 0 0 0 0%%.

Da die Millionen-Stelle aufgerundet wird, erhöhen sich die höheren Stellen um Eins. Nimm also diese Stellen der gerundeten Zahl und ziehe Eins ab.

%%\Rightarrow%% %%x = 1 1 9 9 7 5 0 0 0 0%%.

y muss so gewählt werden, dass sie maximal, aber auch Abrundbar ist. Dieses mal setzt du an die Hunderttausender-Stelle eine 4, da sie die größte Zahl ist, bei der abgerundet wird. Wie vorher sind die kleineren Stellen nicht wichtig, wähle also Neunen, da die größte Zahl gesucht ist.

%%\Rightarrow%% %%y = _ _ _ _2 4 9 9 9 9%%

Da die Millionen-Stelle abgerundet wird, verändern sich die höheren Stellen nicht.
%%\Rightarrow%% %%y = 1 2 0 0 2 4 9 9 9 9%%.

Ergebnis

x= 1199750000;

y= 1200249999;

Welche natürlichen Zahlen ergeben 70000, wenn man sie auf ganze Tausender rundet?

$$70\,\mathbf000$$

Identifiziere, welche Stelle relevant ist, wenn du auf Tausender rundest. Dies sind die Hunderter.

$$69\,500 \approx 70\,000$$

Überlege dir die kleinstmögliche Zahl, die nach wenn man nach den Regeln des Rundens auf Tausender rundet, noch auf 70 000 aufgerundet werden kann.

$$70\,499 \approx 70\,000$$

Überlege dir die größtmögliche Zahl, die nach wenn man nach den Regeln des Rundens auf Tausender rundet, noch auf 70 000 abgerundet werden kann.

Alle natürlichen Zahlen zwischen 69 500 und 70 499 ergeben 70000, wenn man sie auf ganze Tausender rundet.

Die Lösungsmenge ist also:

%%L=\left[69500,70499\right]%%

Ein Fußballer verdient im Jahr, auf ganze Zehntausend Euro gerundet, zwei Millionen Euro. Wie viel verdient er höchstens, wieviel mindestens?

Das Ziel der Aufgabe ist, die kleinste und größte Zahl zu finden, die gerundet %%2000000%% ergibt, wenn du auf Zehntausender rundest.

Wenn du auf Zehntausender rundest, ist nur die Tausender-Stelle wichtig. Ist hier eine 1,2,3 oder 4, rundest du ab. Bei einer 5,6,7,8 oder 9 rundest du auf.

Lösungsweg für die kleinste Zahl

Die 5 ist die kleinste Zahl, bei der aufgerundet wird, also setzt du diese auf die Tausender-Stelle. Da die Hunderter-, Zehner- und Einer-Stelle nicht wichtig beim Runden auf Zehntausender ist, nimmst du an diesen Stellen Nullen, weil die Zahl klein sein soll.

Da die Zehntausender-Stelle aufgerundet wird, erhöhen sich die höheren Stellen um Eins. Nimm also diese Stellen der gerundeten Zahl und ziehe Eins ab.

Deshalb ist %%1995000%% die Lösung für die kleinste Zahl.

Hinweis

Du kannst das Ergebnis leicht prüfen, indem du versuchst die Zahl weiter zu verkleinern. Denn dann ergibt sich beim Runden auf Zehntausender nicht mehr 2000000. 1994999 ist zum Beispiel auf Zehntausender gerundet 1990000.

Lösungsweg für die größte Zahl

Dieses mal setzt du an die Tausender-Stelle eine 4, da sie die größte Zahl ist, bei der abgerundet wird. Wie vorher sind die kleineren Stellen nicht wichtig, wähle also Neunen, da die größte zahl gesucht ist.

Da die Zehntausender-Stelle abgerundet wird, verändern sich die höheren Stellen nicht.
Deshalb ist %%2004999%% die Lösung für die größte Zahl. ///

Hinweis

Du kannst das Ergebnis leicht prüfen, indem du versuchst die Zahl weiter zu vergrößern. Denn dann ergibt sich beim Runden auf Zehntausender nicht mehr 2000000. 2005000 ist zum Beispiel auf Zehntausender gerundet 2010000.

Bei einem Fußballspiel sind 10823 Zuschauer im Stadion. Ein Reporter überlegt sich auf Einer, Zehner, Hunderter, Tausender oder Zehntausender zu runden.

Bestimme die jeweiligen Ergebnisse nach dem Runden und begründe, welche sinnvoll sind.

Auf Einer gerundet:

10823

Auf Einer zu runden ist sinnvoll, wenn du ein genaues Ergebnis brauchst.

Auf Zehner gerundet:

10820

Auf Zehner zu Runden ist in solchen Fällen selten sinnvoll.

Auf Hundertergerundet:

10800

Auf Hunderten zu runden ist in diesem Fall sinnvoll.

Auf Tausender gerundet:

11000

Auf Tausender zu runden ist in diesem Fall auch sinnvoll.

Auf Zehntausender gerundet:

10000

Auf Zehntausender zu runden ist in diesem Fall eher nicht sinnvoll.

Bei einem Fußballspiel waren 5278 Besucher im Stadion. Ein Sportreporter möchte in einem Zeitungsbericht die Anzahl der Besucher angeben. Welche Zahl sollte er nennen?

 

Begründe deine Meinung.

Überlege dir, was für einen Zeitungsartikel eine sinnvolle Größenangabe ist, um die Anzahl der Zuschauer angemessen zu beschreiben.

Möglichkeiten:

     

%%5278 \approx 5300%%
%%5278 \approx 5000%%
%%5278 \approx 5280%%

auf Hunderter gerundet
auf Tausender gerundet
auf Zehner gerundet

Sinnvoll ist es, wenn du auf Hunderter rundest, da das Runden auf Tausender zu ungenau ist, während auf Zehner zu runden zu detailierte Informationen geben würde.

Der Zeitungsreporter sollte als Besucheranzahl die Angabe 5300 verwenden.

Schwierige Aufgabe: Auf einem Werbeplakat ist ein 6m großes Gesicht abgebildet.

Wie groß ist in etwa ein Schneidezahn?

Runden und Abschätzen

Gegeben: Das Gesicht auf dem Plakat ist etwa 6m hoch, ein "normales" etwa 25cm. Ein Schneidezahn ist etwa 1,5 cm hoch.

Rechne die m in cm um .

%%6\text{m}=600\text{cm}\\%%

Berechne den Faktor mit dem das Gesicht gestreckt wurde.

%%600:25=24\\%%

Auch der Schneidezahn wurde auf dem Bild mit diesem Faktor gestreckt. Multipliziere also die größe eines "normalen" Schneidezahns mit dem berechneten Faktor.

%%24\cdot1,5\text{cm}=36\text{cm}\\%%

%%\;\;\Rightarrow%% Der Schneidezahn auf dem Plakat ist etwa 36 cm groß.

Gegeben ist folgende Tabelle:

 

%%\begin{array}{l|c|c|c|c} \text{Zahl}&\text{gerundet auf}&\text{gerundet auf}&\text{gerundet auf}&\text{gerundet auf}\\ \;&\text{Zehner}&\text{Hunderter}&\text{Tausender}&\text{Zehntausender}\\ \hline\\ \;6\,854&\;&&\;&\;\\ \hline\\ 15\,036&\;&&\;&\;\\ \hline\\ \;1\,596&\;&&\;&\;\\ \hline\\ 24\,449&\;&&\;&\;\\ \hline \end{array} %%

 

Fülle die Tabelle aus!

%%\begin{array}{l|c|c|c|c} \text{Zahl}&\text{gerundet auf}&\text{gerundet auf}&\text{gerundet auf}&\text{gerundet auf}\\ \;&\text{Zehner}&\text{Hunderter}&\text{Tausender}&\text{Zehntausender}\\ \hline\\ 6\,854&6\,850&6\,900&7\,000&10\,000\\ \hline\\ 15\,036&15040&15\,000&15\,000&20\,000\\ \hline\\ 1\,596&1\,600&1\,600&2\,000&0\\ \hline\\ 24\,449&24\,450&24\,400&24\,000&20\,000\\ \hline \end{array} %%

Welche natürlichen Zahlen ergeben 7000, wenn man sie auf ganze Hunderter rundet?

Gesucht ist die Menge der natürlichen Zahlen, die auf Hunderter gerundet noch 7000 ergeben.

Das ist die Menge von der kleinsten bis zur größten Zahl, die auf Hunderter gerundet noch 7000 ergeben.

Warum ist das so?

Alle Zahlen in dieser Menge sind größer oder gleich einer Zahl, die auf 7000 aufgerundet wird. Daraus folgt, dass alle diese Zahlen gerundet größer oder gleich 7000 sind.
Gleichzeitig sind alle Zahlen der Menge kleiner oder gleich einer Zahl, die auf 7000 abgerundet wird. Daraus folgt, dass alle Zahlen gerundet größer oder gleich 7000 sind.

Zusammengenommen folgt, dass alle Zahlen gerundet gleich 7000 sein müssen, da sie nicht gleichzeitig größer und kleiner sein können.

Die kleinste gesuchte Zahl

Da auf Hunderter gerundet wird ist die Zehnerstelle entscheidend. Diese soll möglichst klein sein, aber immernoch aufgerundet werden. Daher muss hier eine 5 stehen. Die Einerstelle spielt beim Runden keine Rolle, kann also eine beliebige Zahl sein. Es ist eine möglichst kleine Zahl gesucht, wähle also Null. Da die Zehnerstelle aufgerundet wird, erhöhen sich die höheren Stellen um Eins. Nimm also diese Stellen der gerundeten Zahl und ziehe Eins ab (%%70-1=69%%).

Damit ergibt sich 6950 als kleinste Zahl.

Die größte gesuchte Zahl

Hier ist wieder die Zehnerstelle die Entscheidende. Die größte Ziffer, die noch abgerundet wird ist 4. Die Einerstellen hat wieder keinen Einfluss. Wähle also 9, um die Zahl möglichst groß zu machen. Da die Zehnerstelle diesmal abgerundet wird, bleiben die höheren Stellen die Gleichen wie bei 7000.

Also ist 7049 die Maximalzahl.

Damit ergibt sich die gesuchten Zahlenmenge:

%%L=\{6950,6951,…,7048,7049\}%%.

Runde auf Tausender

Runde auf die in Klammern stehende Einheit:

Runde auf die in Klammern stehende Anzahl geltender Ziffern:

759410 (3)

%%\mathbf{759}\, 410%%

Anzahl geltender Ziffern: 3

%%759\,\mathbf{4}10%%

Runde auf die geforderte Anzahl der Zahlen. Da 4 kleiner ist als 5, runde ab.

%%759\,410 \approx 759 \,000%%

759510 (3)

%%\mathbf{759}\, 510%%

Anzahl geltender Ziffern: 3

%%759\,\mathbf{5}10%%

Runde auf die geforderte Anzahl der Zahlen. Da ab 5 aufgerundet wird, runde auf.
Beim Aufrunden beachte den Zehnerübertrag von 59 auf 60.

%%759\,510 \approx 760 \,000%%

Runde die Zahl 5734 auf 10er, 100er, 1000er und 10000er und gib jeweils den Rundungsfehler an.

auf 10er

 

%%\begin{array}{l}5734\approx5730\\\end{array}%%

Gib den Rundungsfehler an.

5734 %%\rightarrow%% 5730

Rundungsfehler: 4

auf 100er

 

%%5734\approx5700%%

 

5734 %%\rightarrow%% 5700

Rundungsfehler: 34

auf 1000er

 

%%5734\approx6000%%

 

5734 %%\rightarrow%% 6000

Rundungsehler: 266

auf 10000er

 

%%5734\approx10000%%

 

5734 %%\rightarrow%% 10000

Rundungsfehler: 4266

In folgender Tabelle sind die Abstände der Planeten unseres Sonnensystems zur Sonne und deren Durchmesser zusammengestellt:

 

Planet

Abstand zur Sonne

Durchmesser

Merkur

57895200 km

4878 km

Venus

108160800 km

12099 km

Erde

149600000 km

12736 km

Mars

227392000 km

6763 km

Jupiter

777920000 km

142643 km

Saturn

1428680000 km

119973 km

Uranus

2872320000 km

51199 km

Neptun

4502960000 km

49670 km

Pluto

5939120000 km

2165 km

 

(Anmerkung: Nach Beschluss der Internationalen Astronomischen Union vom 24.8.2006 zählt Pluto nicht mehr zu den Planeten, sondern rechnet als Kleinplanet. Für diese Aufgabe soll das jedoch jetzt keine Rolle spielen.)

  1. Für die Planeten unseres Sonnensystems verwendet man oft den Merkspruch ”Mein Vater erklärt mir jeden Sonntag unsere neun Planeten“. Erkläre diesen Merkspruch.

  2. Runde die Abstände der Planeten zur Sonne auf drei gültige Ziffern und den Durchmesser jedes Planeten auf zwei gültige Ziffern.

  3. Stelle die Abstände der Planeten bis zur Erde an einem geeigneten Zahlenstrahl dar.

  4. Stelle die Abstände der Planeten bis zum Saturn an einem geeigneten Zahlenstrahl dar.

  5. Stelle die Abstände Jupiter bis zum Pluto an einem geeigneten Zahlenstrahl dar.

  6. Stelle die Durchmesser der Planeten an einem Zahlenstrahl dar und ordne die Planeten nach ihrem Durchmesser.

  7. Die oben angegebenen Abstände der Planeten zur Sonne bezeichnet man häufig als mittlere Abstände zur Sonne. Finde heraus, was dies bedeutet.

Runden: Sachaufgabe Planeten

Teilaufgabe 1: Erkläre den Merkspruch

Mein Vater erklärt mir jeden Sonntag unsere neun Planeten.

Merkur Venus Erde Mars Jupiter Saturn Uranus Neptun Pluto.

Der Anfangsbuchstebe jedes Wortes stimmt mit dem des jeweiligen Planeten überein.

(Anmerkung: Nach Beschluss der Internationalen Astronomischen Union vom 24.8.2006 zählt Pluto nicht mehr zu den Planeten, sondern rechnet als Kleinplanet. Für diese Aufgabe soll das jedoch jetzt keine Rolle spielen.)

Teilaufgabe 2: Runde korrekt

Planet

Abstand zur Sonne

Durchmesser

Merkur

%%5,79\cdot10^7\;\mathrm{km}%%

%%4,9\cdot10^3\;\mathrm{km}%%

Venus

%%1,08\cdot10^8\;\mathrm{km}%%

%%1,2\cdot10^4\;\mathrm{km}%%

Erde

%%1,50\cdot10^8\;\mathrm{km}%%

%%1,3\cdot10^4\;\mathrm{km}%%

Mars

%%2,27\cdot10^8\;\mathrm{km}%%

%%6,8\cdot10^3\;\mathrm{km}%%

Jupiter

%%7,78\cdot10^8\;\mathrm{km}%%

%%1,4\cdot10^5\;\mathrm{km}%%

Saturn

%%1,43\cdot10^9\;\mathrm{km}%%

%%1,2\cdot10^5\;\mathrm{km}%%

Uranus

%%2,87\cdot10^9\;\mathrm{km}%%

%%5,1\cdot10^4\;\mathrm{km}%%

Neptun

%%4,50\cdot10^9\;\mathrm{km}%%

%%5,0\cdot10^4\;\mathrm{km}%%

Pluto

%%5,94\cdot10^9\;\mathrm{km}%%

%%2,2\cdot10^4\;\mathrm{km}%%

Teilaufgabe 3: Abstände der Planeten bis zur Erde

Zahlenstrahl zu Aufgabe 7

Teilaufgabe 4: Abstände der Planeten bis zum Saturn

Zahlenstrahl zu Aufgabe 7

Teilaufgabe 5: Abstände Jupiter bis Pluto

Zahlenstrahl zu Aufgabe 7

Teilaufgabe 6: Durhmesser der Planeten

Zahlenstrahl zu Aufgabe 7

Teilaufgabe 7: Erklärung Mittlerer Abstand

Die Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen um die Sonne, d. h. ihre Abstände schwanken zwischen einem größten und kleinsten Wert. Der mittlere Abstand ist der Mittelwert des größten und kleinsten Abstands.

Berechne

%%17,17+0,3%%

%%17,17+0,3%%

Benutze die schriftliche Addition um die beiden Dezimalbrüche zu addieren. Dabei musst du bei der %%0,3%% eine zusätzliche Null als zweite Nachkommastelle einfügen.

%%\begin{array} {l} \hphantom{+}17,17\\ \underline{+\hphantom{1}0,30}\\ \hphantom{+}17,47 \end{array}%%

Alternativer Weg

%%17,17+0,3%%

Forme die Dezimalzahlen in Brüche um und bring sie auf einen gemeinsamen Hauptnenner.

%%=\frac{1717}{100}+\frac{30}{100}%%

%%=\frac{1747}{100}%%

Wandle den Bruch in einem Dezimalbruch um.

%%=17,47%%

%%18,7-1,87%%

%%18,7-1,87%%

Subtrahiere die beiden Dezimalbrüche mit Hilfe der schriftlichen Subtraktion. Dabei musst Du eine zusätzliche Null als Nachkomastelle einfügen.

%%\begin{array}{l}\hphantom{-}1\overset{7}{\not8},\overset{\overset{16}{\not6}}{\not{7}}\overset{10}{\not0}\\ \underline{-\hphantom{1}\;1,\;8\;7}\\ \hphantom{-}1\;6,\;8\;3\end{array}%%

Alternativer Weg

%%18,7-1,87%%

Dezimalzahlen in Brüche umwandeln.

%%=\frac{1870}{100}-\frac{187}{100}%%

%%=\frac{1683}{100}%%

Wandle den Bruch in einen Dezimalbruch um.

%%=16,83%%

%%1,2\cdot0,12%%

%%1,2\cdot0,12%%

%%\begin{array}{l} \underline{1,2\cdot0,12}\\ \hphantom{1,2\cdot0,}24\\ \underline{\hphantom{1,200}120}\\ \hphantom{1,2}0,144 \end{array}%%

Alternativer Weg

%%1,2\cdot0,12%%

Dezimalzahlen in Brüche umformen.

%%=\frac{12}{10}\cdot\frac{12}{100}%%

%%=\frac{144}{1000}%%

Wandle den Bruch in einen Dezimalbruch um.

%%=0,144%%

%%0,8\;:\;0,32%%

%%0,8:0,32=80:32%%

Multiplizieren von Dividend und Divisor mit 100 ändert den Wert der Division nicht.

Benutze die schriftliche Division.

%%\begin{array}{l}\hphantom{-}80:32=2,5\\ \underline{-64}\\ \hphantom{-}160\\ \underline{-160}\\ \hphantom{-16}0 \end{array}%%

Alternativer Weg

%%0,8\;:\;0,32%%

Brüche bilden.

$$=\frac{\frac8{10}}{\frac{32}{100}}$$

Durch %%\frac{32}{100}%% dividieren.

%%=\frac8{10}\cdot\frac{100}{32}%%

Mit dem Kehrbruch multiplizieren .

%%=\frac{800}{320}%%

Wandle den Bruch in einen Dezimalbruch um.

%%=2,5%%

%%0,32\;:\;0,6%%

%%0,32:0,6=32:60%%

Multiplizieren von Dividend und Divisor mit 100 ändert den Wert der Division nicht.

Benutze die schriftliche Division.

%%\begin{array}{l}\hphantom{-}32:60=0,533…=0,5\overline{3}\\ \hphantom{-}320\\ \underline{-300}\\ \hphantom{-3}200\\ \hphantom{3}\underline{-180}\\ \hphantom{-11}200\\ \hphantom{30}\underline{-180}\\ \hphantom{--}200\\ \hphantom{-111}\vdots \end{array}%%

Alternativer Weg

%%0,32:0,6%%

Wandle die Dezimalbrüche in Brüche um.

$$=\frac{\displaystyle\frac{32}{100}}{\displaystyle\frac{60}{100}}$$

Durch %%\frac{60}{100}%% dividieren.

%%=\frac{32}{100}\cdot\frac{100}{60}%%

%%=\frac{3200}{6000}%%

%%=\frac8{15}%%

Du kannst den Bruch eventuell noch in einen periodischen Dezimalbruch umwandeln.

%%=0,5\overline3%%

%%0,0123:1000%%

%%0,0123:1000%%

Bei der Division durch 1000 wird das Komma um 3 Stellen nach links verschoben.

%%=0,0000123%%

Alternativer Weg

%%0,0123:1000%%

In Brüche umwandeln.

%%=\frac{\displaystyle\frac{123}{10000}}{\displaystyle\frac{1000}1}%%

Durch %%\frac{1000}1%% dividieren.

%%=\frac{123}{10000}\cdot\frac1{1000}%%

%%=\frac{123}{10000000}%%

Wandle den Bruch in einen Dezimalbruch um.

%%=0,0000123%%

%%5,5\cdot0,12\;:\;0,1%%

%%5,5\cdot0,12:0,1%%

Berechne zuerst %%5,5\cdot0,12%%.

%%\begin{array}{l}\underline{5,5\cdot0,12}\\ \hphantom{5,500}110\\ \underline{\hphantom{5,000}550}\\ \hphantom{500}0,660 \end{array}%%

Berechne nun %%0,66:0,1%%.

%%0,66:0,1=66:10%%

Multiplizieren von Dividend und Divisor mit 100 ändert den Wert der Division nicht.

%%\begin{array}{l}\hphantom{-}66:10=6,6\\ \underline{-60}\\ \hphantom{-6}60\\ \hphantom{1}\underline{-60}\\ \hphantom{-60}0 \end{array}%%

%%\Rightarrow\;5,5\cdot0,12:0,1=6,6%%

Alternativer Weg

%%5,5\cdot0,12:0,1%%

In Brüche umwandeln.

$$=\frac{{\frac{550}{100}}\cdot\frac{12}{100}}{\frac{10}{100}}$$

Durch den Bruch %%\frac{10}{100}%% dividieren.

%%=\frac{550}{100}\cdot\frac{12}{100}\cdot\frac{100}{10}%%

%%=\frac{660000}{100000}%%

%%=\frac{66}{10}%%

Wandle den Bruch in einen Dezimalbruch um.

%%=6,6%%

%%\left(2,08+9,2\right)-6,99%%

%%\left(2,08+9,2\right)-6,99%%

%%\left(2,08+9,2\right)-6,99%%

Berechne zuerst %%2,08+9,2%%.

%%=11,28-6,99%%

%%=4,29%%

Alternativer Weg

%%\left(2,08+9,2\right)-6,99%%

Dezimalbrüche in Brüche umwandeln.

%%=\frac{208}{100}+\frac{92}{10}-\frac{699}{100}%%

%%=\frac{208}{100}+\frac{920}{100}-\frac{699}{100}%%

%%=\frac{429}{100}%%

Wandle den Bruch in einen Dezimalbruch um.

%%=4,29%%

%%\left(9\cdot0,8-0,70\right)\;:\;\;\left(0,6+0,5\right)%%

%%\left(9\cdot0,8-0,70\right):\left(0,6+0,5\right)%%

Achte auf Punkt vor Strich. Berechne zuerst %%9\cdot0,8%%.

%%=\left(7,2-0,70\right):\left(0,6+0,5\right)%%

Addiere bzw. Subtrahiere die Zahlen in den Klammern.

%%=6,5:1,1=65:11%%

Der Wert ändert sich nicht, wenn Dividend und Dvisior mit 10 multipliziert werden. Benutze nun die schriftliche Division.

%%\begin{array}{l}\hphantom{-}65:11=5,9090\dots=5,\overline{90}\\ \underline{-55}\\ \hphantom{-}100\\ \underline{-\hphantom{1}99}\\ \hphantom{-10}10\\ \hphantom{11}\underline{-\hphantom{1}0}\\ \hphantom{-10}100\\ \hphantom{11}\underline{-\hphantom{1}99}\\ \hphantom{-1000}10\\ \hphantom{1111}\underline{-\hphantom{1}0}\\ \hphantom{-1000}100\\ \hphantom{1000000}\vdots \end{array}%%

%%\Rightarrow\;\left(9\cdot0,8-0,70\right):\left(0,6+0,5\right)=5,\overline{90}%%

Alternativer Weg

%%\left(9\cdot0,8-0,70\right):\left(0,6+0,5\right)%%

Dezimalbrüche in Brüche umwandeln.

%%=\left(\frac91\cdot\frac8{10}-\frac{70}{100}\right):\left(\frac6{10}+\frac5{10}\right)%%

Brüche multiplizieren bzw. addieren.

%%=\left(\frac{72}{10}-\frac{70}{100}\right):\frac{11}{10}%%

%%=\left(\frac{720-70}{100}\right):\frac{11}{10}%%

%%=\frac{650}{100}\cdot\frac{10}{11}%%

%%=\frac{6500}{1100}%%

%%=\frac{65}{11}%%

Du kannst den Bruch eventuell noch in einen periodischen Dezimalbruch umwandeln.

%%=5,\overline{90}%%

Berechne die Lösung und bestimme, welche größer ist bzw. ob die Lösungen gleich sind

  1. %%0,2\cdot3-0,2^3\;%%

  2. %%0,2\cdot3-0,3\cdot2\;%%

%%0,2\cdot3-0,2^3=\;%%

Multipliziere die Zahlen aus.

Schreibe die Potenz als Multiplikation.

%%=0,6-(0,2\cdot0,2\cdot0,2)%%

Multipliziere die Dezimalbrüche in der Klammer aus.

%%=0,6-0,008%%

$$=0,592$$


%%0,2\cdot3-0,3\cdot2%%

Multipliziere die Zahlen jeweils aus.

%%=0,6-0,6%%

$$=0$$


%%0,592>0\Rightarrow 0,2\cdot3-0,2^3<0,2\cdot3-0,3\cdot2%%

  1. %%1,3\cdot 3,1^2 +2,2^3\cdot 0,4%%

  2. %%1,3^3 \cdot 3,1+2,2^2 \cdot 0,4%%

%%1,3⋅3,1^2+2,2⋅0,4%%

Schreibe die Potenz als Multiplikation.

%%=1,3\cdot (3,1\cdot 3,1)+2,2\cdot 0,4%%

Multipliziere die Dezimalbrüche in der Klammer aus.

%%=1,3\cdot 9,61+0,88%%

%%=12,493+0,88%%

%%=13,373%%


%%1,3^3⋅3,1+4,2⋅0,4%%

Schreibe die Potenz als Multiplikation.

%%=(1,3\cdot 1,3\cdot 1,3)\cdot 3,1+2,2\cdot 0,4%%

Multipliziere die Dezimalbrüche in den Klammern aus.

%%=2,197\cdot 3,1+1,68%%

%%=6,8107+1,68%%

%%=8,4907%%


%%13,373>8,4907%% %%\Rightarrow1,3⋅3,1^2+2,2⋅0,4>1,3^3⋅3,1+4,2⋅0,4%%

Addition von Brüchen mit Dezimalbrüchen

%%0,4+\frac{2}{7}%%

Addition von Dezimalbrüchen mit Brüchen

%%0,4+\frac27=%%

Da %%\frac{2}{7}%% ein periodischer Dezimalbruch ist, ist die Rechnung wesentlich leichter, wenn du hier den Dezimalbruch in einen Bruch umwandelst.

%%=\frac25+\frac27%%

Bilde den Hauptnenner (35).

%%=\frac{14}{35}+\frac{10}{35}%%

%%=\frac{24}{35}%%

Berechne:

Gib jeweils einen Überschlag an!

In Bayern leben, auf halbe Hunderttausender gerundet, elf Millionen Menschen. Wie viele Leute leben mindestens und und wie viele höchstens in Bayern?

11 000 000

Finde die gerundete Zahl in der Aussage "In Bayern leben, auf halbe Hunderttausender gerundet, elf Millionen Menschen."

Was heißt es auf halbe Hunderttausender zu runden?

Du kennst bereits das Runden auf ganze Hunderttausender. Betrachte dazu die Stelle vor den Hunderttausendern, also die Zehntausender: %%1\mathbf{5}0 \, 000.%%

Ist also die Zahl ab dem Zehntausender-Stellenwert echt kleiner als 50 000, so runde ab, sonst runde auf.

Nun sollst du nicht auf ganze, sondern auf halbe Hunderttausender runden, also in Schritten von 50 000.

  • Ist die Zahl ab der Zehntausenderstelle kleiner als 25 000, runde ab auf die nächste ganze Hunderttausend.
  • Ist die Zahl zwischen 25 000 und 49 999 , runde auf zur nächsten halben Hunderttausend.
  • Ist die Zahl zwischen 50 000 und 74 999, runde ab zur nächsten halben Hunderttausend.
  • Ist die Zahl zwischen 75 000 und 999 999, runde auf zur nächsten ganzen Hunderttausend.

Ausgehend von dieser Aussage, gib nun Grenzen an wie viele Menschen mindestens und wie viele Menschen höchstens in Bayern leben.

Untergrenze

%%? \approx 11 \, 000 \, 000%%

Überlege dir die kleinstmögliche Zahl, die nach den Rechenregeln fürs Runden noch auf 11 000 000 aufgerundet werden kann.

%%\begin{array}{r}11\,\,000\,000\\-\,50\,000\\=\, 10\,950\,000\end{array}%%

Überlege dir dazu die nächstkleinere Zahl vor 11 000 000, wenn auf halbe Hunderttausender gerundet wird.

%%10\,975\,000 \approx 11\, 000 \, 000%%

Gib nach den Regeln fürs Runden die kleinstmögliche Zahl, die noch auf 11 000 000 aufgerundet wird, an.

%%10\,975\,000%%

Obergrenze

%%? \approx 11\,000\,000%%

Überlege dir die größtmögliche Zahl, die nach den Rechenregeln fürs Runden noch auf 11 000 000 abgerundet werden kann.

%%\begin{array}{r}11\,\,000\,000\\+\,50\,000\\=\, 11\,050\,000\end{array}%%

Überlege dir dazu die nächstgrößere Zahl, wenn auf halbe Hunderttausender gerundet wird.

%%11\,024\,999 \approx 11\, 000 \, 000%%

Gib nach den Regeln fürs Runden die größtmögliche Zahl, die noch auf 11 000 000 abgerundet wird, an.

%%11\,024\,999%%

Ergebnis

Die möglichen Einwohnerzahlen Bayerns, die wir aus dieser Aussage schließen können, sind alle Zahlen zwischen 10 975 000 und 11 024 999. Stelle sie in einer Lösungsmenge dar:

%%L=\left[10975000,\;11024999\right]%%

Welche natürlichen Zahlen ergeben 60 000, wenn man sie auf ganze Tausender rundet?

Welche Dezimalzahlen sind durch die Fragezeichen markiert?

Zu text-exercise-group 27998:
Nish 2018-07-01 22:31:02
Diese Aufgabe sollte nochmal mit den aktuellen Richtlinien zu Aufgabenlösungen (http://de.serlo.org/90400) überarbeitet werden.
LG,
Nish
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Welche Zahl ist größer?

Dezimalbrüche

Thema dieser Aufgabe sind die Dezimalbrüche.

Am Zahlenstrahl ist der Bereich zwischen der Zahl 3 und der Zahl 4 durch 10 Abschnitte aufgeteilt.

Berechne den Abstand zwischen 3 und 4.

%%4-3=1%%

Teile die Zahl 1 in 10 Teile auf.

%%1:10 = \frac{1}{10} = 0,1%%

Jeder Abschnitt entspricht also 0,1.

Erste Zahl

Zähle ab, hinter welchem Abschnitt sich die linke Dezimalzahl befindet.

Die linke Zahl befindet sich hinter dem vierten Abschnitt.

Zähle zur Zahl 3 die 4 Zehntel hinzu.

%%3+4 \cdot 0,1 = 3,4%%

Zweite Zahl

Zähle ab, hinter welchem Abschnitt sich die rechte Dezimalzahl befindet.

Die rechte Zahl befindet sich hinter dem neunten Abschnitt.

Zähle zur Zahl 3 die 9 Zehntel hinzu.

%%3+9 \cdot 0,1 = 3,9%%

Man sieht am Zahlenstrahl bzw. durch den Vergleich der Dezimalbrüche, dass die zweite Zahl größer als die erste Zahl ist. Also gilt %%3,4 < 3.9%%.

Zahlenstrahl

Welche Zahl ist größer?

Dezimalbrüche

Thema dieser Aufgabe sind die Dezimalbrüche.

Am Zahlenstrahl ist der Bereich zwischen der Zahl 0,1 und der Zahl 0,2 durch 10 Abschnitte aufgeteilt.

Berechne den Abstand zwischen 0,1 und 0,2 (wie bei Teilaufgabe a)).

%%0,2-0,1=0,1%%

Teile die Zahl 1 in 10 Teile auf.

%%0,1:10 = \frac{1}{100} = 0,01%%

Ein Abschnitt entspricht also 0,01.

Erste Zahl

Zähle ab, bei hinter welchem Abschnitt sich die linke Dezimalzahl befindet.

Die linke Zahl befindet sich hinter dem zweiten Abschnitt.

%%0,1+2\cdot0,01=0,12%%

Zähle zu der Zahl 0,1 noch 2 Hundertstel hinzu.

Zweite Zahl

Zähle ab, bei welchem Strich sich die rechte Dezimalzahl befindet.

Die rechte Zahl befindet sich hinter dem siebten Abschnitt.

%%0,1+7\cdot0,01=0,17%%

Zähle zur Zahl 0,1 die 7 Hundertstel hinzu.

Man sieht am Zahlenstrahl bzw. durch den Vergleich der Dezimalbrüche, dass die zweite Zahl größer als die erste Zahl ist. Also gilt %%0,12<0,17%%

Erkläre ( z.B. durch Einzeichnen auf einer Stellenwerttafel), warum  %%2,7%%  größer als  %%2,08%% ist. 

Welche Zahl liegt in der Mitte dieser beiden Zahlen?

Trage die Zahl 2,7 in die Stellenwerttafel ein:

T

H

Z

E

,

z

h

t

0

0

0

2

,

7

0

0

Vergleiche dies mit der Zahl 2,08 auf der Stellenwerttafel:

T

H

Z

E

,

z

h

t

0

0

0

2

,

0

8

0

Die beiden Zahlen haben den gleichen Eintrag an der Einerstelle, aber an der Zehntelstelle hat 2,7 eine 7 und 2,08 eine 0.Weil 7 größer als 0 ist ist 2,7 größer als 2,08.

Die Differenz der beiden Zahlen beträgt 0,62.Die Hälfte von 0,62 ist 0,31.Also liegt die Mitte zwischen den beiden Zahlen bei 2,08+0,31=2,39.

Trage in die Stellenwerttafel ein.

%%1\;\mu m\;%%ist%%\;\frac1{1\;000\;000}\;m.%%  Auf welcher Stelle steht dann die Ziffer  %%2%%  bei der Angabe von  %%25\;\mu m%%  in  %%m%%  in der Kommaschreibweise?

Addition von Dezimalbrüchen

%%0,44+0,234%%

%%0,44+0,234\\%%

Achte darauf, dass die Kommas untereinander stehen und fülle die kürzere Zahl mit Nullen auf.

%%\begin{array}{l} \hphantom{ +\; } 0,440\\ {+\;0,234}\\ \\ \end{array}%%

Addiere schriftlich und setze im Ergebnis das Komma direkt unter die anderen.

%%\begin{array}{l} \hphantom{ +\; } 0,440\\ \underline{+\;0,234}\\ \hphantom{ +\; }0,674 \end{array}%%

%%2,983+0,230%%

%%\begin{array}{l} \hphantom{ +\; } 2\hphantom{_1},9\hphantom{_1}8\hphantom{_1}3\\ +\;0 \phantom{_1},2 \hphantom{_1}3\hphantom{_1}0\\ \\ \end{array}%%

Achte darauf, dass die Kommata direkt untereinander stehen und addiere schriftlich

%%\begin{array}{l} \hphantom{ +\; } 2\hphantom{_1},9\hphantom{_1}8\hphantom{_1}3\\ \underline{+\;0_1,2_13\hphantom{_1}0}\\ \hphantom{ +\; }3\hphantom{_1},2\hphantom{_1}1\hphantom{_1}3 \end{array}%%

%%9,33+4%%

$$9,33+4\\$$

Schreibe die Zahlen so untereinander, dass die Kommas untereinander stehen und fülle die %%4%% mit Nullen nach dem Komma auf.

%%\begin{array}{l} \hphantom{ +\;1 }9,33\\ \hphantom{}+\;4,00\\ \\ \end{array}%%

Addiere schriftlich und setze im Ergebnis das Komma direkt unter die anderen.

%%\begin{array}{l} \hphantom{ +\;1 }9,33\\ \hphantom{1}\underline{+\;4,00}\\ \hphantom{ +\; }13,33 \end{array}%%

%%0,00034+0,032%%

%%\begin{array}{l} \hphantom{ +\; }0,00034\\ \underline{+\;0,032\hphantom{34}}\\ \end{array}%%

Achte darauf, dass die Kommata direkt untereinander stehen und fülle die Nachkommastellen mit Nullen auf.

%%\begin{array}{l} \hphantom{ +\; }0,00034\\ \underline{+\;0,03200\hphantom{34}}\\ \end{array}%%

Addiere schriftlich und setze das Komma direkt unter die anderen.

%%\begin{array}{l} \hphantom{ +\; }0,00034\\ \underline{+\;0,032\hphantom{34}}\\ \hphantom{ +\; }0,03234 \end{array}%%

%%0,983+2,78+11,673%%

%%\begin{array}{l} \hphantom{ +\;1 }0\hphantom{_2},9\hphantom{_2}8\hphantom{_2}3\\ \hphantom{ +\;1 }2\hphantom{_2},7\hphantom{_2}8\\ +\;11 \hphantom{_1},6\hphantom{_1}7\hphantom{_2}3\\ \\ \end{array}%%

Achte darauf, dass die Kommata direkt untereinander stehen und fülle die Nachkommastellen mit Nullen auf.

%%\begin{array}{l} \hphantom{ +\;1 }0\hphantom{_2},9\hphantom{_2}8\hphantom{_2}3\\ \hphantom{ +\;1 }2\hphantom{_2},7\hphantom{_2}8\hphantom{_1}0\\ +\;11\hphantom{_1},6\hphantom{_1}7\hphantom{_2}3\\ \\ \end{array}%%

%%\begin{array}{l} \hphantom{ +\;1 }0\hphantom{_2},9\hphantom{_2}8\hphantom{_2}3\\ \hphantom{ +\;1 }2\hphantom{_2},7\hphantom{_2}8\hphantom{_1}0\\ \underline{+\;11_{2},6_{2}7\hphantom{_2}3}\\ \hphantom{ +\; }15\hphantom{_2},4\hphantom{_2}3\hphantom{_2}6 \end{array}%%

%%2,3+3,2%%

$$2,3+3,2\\$$

Schreibe die zahlen so auf, dass die Kommas untereinander stehen.

%%\begin{array}{l} \hphantom{ +\; }2,3\\ +\;3,2\\ \\ \end{array}%%

Addiere schriftlich und setze das Komma direkt unter die anderen.

%%\begin{array}{l} \hphantom{ +\; }2,3\\ \underline{+\;3,2}\\ \hphantom{ +\; }5,5 \end{array}%%

%%22+7,535+0,093%%

$$22+7,535+0,093\\$$

Schreibe die Zahlen so auf, dass die Kommas untereinander stehen und fülle bei der %%22%% die fehlenden Nachkommastellen mit Nullen auf.

%%\begin{array}{l} \hphantom{ +\; }22,0\hphantom{_1}0\hphantom{_1}0\\ \hphantom{ +\;2 }7,5\hphantom{_1}3\hphantom{_1}5\\ +\;\hphantom{2}0,0\hphantom{_1}9\hphantom{_1}3\\ \\ \end{array}%%

Addiere schriftlich und setze das Komma direkt unter die anderen.

%%\begin{array}{l} \hphantom{ +\; }22,0\hphantom{_1}0\hphantom{_1}0\\ \hphantom{ +\;2 }7,5\hphantom{_1}3\hphantom{_1}5\\ \underline{+\;\hphantom{2}0,0_{1}9\hphantom{_1}3}\\ \hphantom{ +\; }29,6\hphantom{_1}2\hphantom{_1}8 \end{array}%%

Subtrahiere die Dezimalbrüche

%%1,782-0,234%%

%%1,782-0,234\\%%

Schreibe die Zahlen so auf, dass die Kommas untereinander stehen.

%%\begin{array}{l} \hphantom{ -\; }1,7\;8\;2\\ -\;0,2\;3\;4\\ \\ \end{array}%%

Subtrahiere schriftlich und setze das Komma unter die beiden anderen.

%%\begin{array}{l} \hphantom{ -\; }1,7\overset{7}{\not8}\overset{12}{\not2}\\ \underline{-\;0,2\;3\;4}\\ \hphantom{ -\; }1,5\;4\;8 \end{array}%%

%%34,98-1,061%%

%%34,98-1,061\\%%

Schreibe die Zahlen so auf, dass die Kommas untereinander stehen und fülle fehlende Nachkommastellen mit Nullen auf.

%%\begin{array}{l} \hphantom{ -\; }3\;4,9\;8\;0\\ -\;\hphantom{3\;}1,0\;6\;1\\ \\ \end{array}%%

Subtrahiere schriftlich und setze das Komma unter die beiden anderen.

%%\begin{array}{l} \hphantom{ -\; }3\;4,9\overset{7}{\not8}\overset{10}{\not0}\\ \underline{-\;\hphantom{3\;}1,0\;6\;1}\\ \hphantom{ -\; }3\;3,9\;1\;9 \end{array}%%

%%4,913-2,911%%

%%4,913-2,911\\%%

Schreibe die Zahlen so auf, dass die Kommas untereinander liegen.

%%\begin{array}{l} \hphantom{ -\; }4,913\\ -\;2,911\\ \\ \end{array}%%

Subtrahiere schriftlich und setze das Komma unter die beiden anderen.

%%\begin{array}{l} \hphantom{ -\; }4,913\\ \underline{-\;2,911}\\ \hphantom{ -\; }2,002 \end{array}%%

%%2,043-1,921%%

%%2,043-1,921\\%%

Schreibe die Zahlen so auf, dass die Kommas untereinander liegen.

%%\begin{array}{l} \hphantom{ -\; }2,\;043\\ -\;1,\;921\\ \\ \end{array}%%

Subtrahiere schriftlich und setze das Komma unter die beiden anderen.

%%\begin{array}{l} \hphantom{ - }\overset{1}{\not2},\overset{10}{\not0}43\\ \underline{-\;1,\;921}\\ \hphantom{ -\; }0,\,122 \end{array}%%

%%11,693-7,777%%

%%11,693-7,777\\% %%

Schreibe die Zahlen so auf, dass die Kommas untereinander liegen.

%%\begin{array}{l} \hphantom{-}11,693\\ -\hphantom{1}7,777\\ \\ \end{array}%%

Subtrahiere schriftlich und setze das Komma unter die beiden anderen.

%%\begin{array}{l} \hphantom{ -\ }\not1\overset{\overset{10}{\not0}}{\not1},\overset{16}{\not6}\overset{8}{\not9}\overset{13}{\not3}\\ \underline{-\;\hphantom{\not10}7,\;7\;7\;7}\\ \hphantom{ -\; }\hphantom{\not10}3,\;9\;1\;6 \end{array}%%

Substraktion von Brüchen und Dezimalbrüchen

%%1,04-\frac12%%

%%1,04-\frac12\\%%

Wandle zuerst %%\frac{1}{2}%% in einen Dezimalbruch um.

%%1,04-0,5\\%%

Subtrahiere die beiden Dezimalbrüche schriftlich.

%%\begin{array}{l} \hphantom{-}{\not1},04\\ \underline{-\;0,50}\\ \hphantom{-\;}0,54 \end{array} \\ %%

Alternative Lösung

%%1,04-\frac12=\\%%

Wandle den Dezimalbruch in einen Bruch um.

%%=\frac{104}{100}-\frac12\\%%

Berechne den Hauptnenner (100).

%%=\frac{104}{100}-\frac{50}{100}\\%%

%%=\frac{54}{100}=\frac{27}{50}=0,54%%

%%\frac63-0,23%%

%%\frac63-0,23\\%%

Kürze zuerst %%\frac63%% und subtrahiere dann die beiden Dezimalbrüche. Schreibe hierbei die %%2%% als %%2,00%%.

%%\begin{array}{l} \hphantom-2,00\\ \underline{-0,23}\\ \hphantom-1,77 \end{array} %%

Alternative Lösung

%%\frac63-0,23=%%

Wandle den Dezimalbruch in einen Bruch um.

%%=\frac63-\frac{23}{100}%%

Bilde den Hauptnenner (300).

%%=\frac{600}{300}-\frac{69}{300}%%

%%=\frac{531}{300}=\frac{177}{100}=1,77%%

Es wird die folgende Summe gebildet: %%1+0,1+0,01+0,001+…%%

Bedenke dabei: %%0,\overline2=\frac29,\;0,\overline3=\frac39=\frac13,\;0,\overline7=\frac79%% usw.

  1. Schreibe die drei Nachfolger des Summanden 0,001 hin. Beschreibe, wie sich die Summe aufbaut.

  2. Berechne den Wert der obigen Summe.

  3. Berechne den Wert der Differenz %%3-0,2-0,02-0,002-…%%

Teilaufgabe 1

… 0,0001; 0,00001; 0,000001;

Jeder weitere Summand ist ein Zehntel seines Vorgängers.

Teilaufgabe 2

%%\rightarrow%% Da jeder weitere Summand ein Zehntel seines Vorgänger ist muss das Ergebnis %%1,\overline1%% sein.

%%1,\;\;\;\underset{Zehntel}{\overset{+0,1}1}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underset{Hundertstel}{\overset{+0,01}1\;}\;\;\;\;\;\underset{Tausendstel}{\overset{+0,001}1}\;\;usw.%%

%%\frac{10}9%% ist hierbei der Bruch für %%1,\overline1%% .

Teilaufgabe 3

%%\rightarrow%% Da jeder weitere Subtrahend ein Zehntel seines Vorgängers ist muss das Ergebnis %%3-0,\overline2%% sein.

%%\frac{25}9%% ist hierbei der Bruch für %%3-0,\overline2%% .

Multiplikation von Dezimalbrüchen.

%%2,5\cdot10%%

%%\begin{array}{l}\underline{2,5\cdot10}\\ \hphantom{200}000\\ \underline{\hphantom{2,0}250}\\ \hphantom{20}25,0 \end{array}%%

%%25,0=25%%

Kommas "wegdenken", schriftlich multiplizieren, Anzahl der Nachkommastellen zählen und im Ergebnis das Komma mit %%1+0=1%% Nachkommastellen setzen.

In diesem Spezialfall is einer der Faktoren gleich %%10%%. Deshalb gibts es einen schnelleren Weg:

%%2,5\cdot10%%

Merke: Wenn man einen Dezimalbruch mit %%10%% multipliziert, verschiebt man das Komma um eine Stelle nach rechts.

%%=25%%

%%2,5\cdot0,1%%

%%\begin{array}{l}\underline{2,5\cdot0,1}\\ \hphantom{2,500}25\\ \underline{\hphantom{2,50}000}\\ \hphantom{2,0}0,25 \end{array}%%

Kommas "wegdenken", schriftlich multiplizieren, Anzahl der Nachkommastellen zählen und im Ergebnis das Komma mit %%1+1=2%% Nachkommastellen setzen.

In diesem Spezialfall is einer der Faktoren gleich %%0,1%%. Deshalb gibts es einen schnelleren Weg:

%%2,5\cdot 0,1%%

Merke: Bei der Multiplikation mit %%0,1%% verschiebt sich das Komma um eine Stelle nach links.

%%=0,25%%

%%5,1\cdot2,9%%

%%\begin{array}{l}\underline{5,1\cdot2,9}\\ \hphantom{5,10}459\\ \underline{\hphantom{5,1}1020}\\ \hphantom{50}14,79 \end{array}%%

Kommas "wegdenken", schriftlich multiplizieren, Anzahl der Nachkommastellen zählen und im Ergebnis das Komma mit %%1+1=2%% Nachkommastellen setzen.

%%2,45\cdot0,671%%

%%\begin{array}{l}\underline{2,45\cdot0,671}\\ \hphantom{2,45000}245\\ \hphantom{2,450}17150\\ \underline{\hphantom{2,45}147000}\\ \hphantom{245}1,64395 \end{array}%%

Kommas "wegdenken", schriftlich multiplizieren, Nachkommastellen zählen und im Ergebnis das Komma mit %%2+3=5%% Nachkommastellen setzen.

%%9\cdot0,686%%

%%\begin{array}{l}\underline{9\cdot0,686}\\ \hphantom{90000}54\\ \hphantom{9000}720\\ \underline{\hphantom{900}5400}\\ \hphantom{90}6,174 \end{array}%%

Kommas "wegdenken", schriftlich multiplizieren, Nachkommastellen zählen und im Ergebniss das Komma mit %%0+3=3%% Nachkommstellen setzen.

%%2,5 \cdot 100%%

%%\begin{array}{1}\underline{2,5\cdot100}\\ \hphantom{00000}00\\ \hphantom{9000}000\\ \underline{\hphantom{900}2500}\\ \hphantom{900}250_,0 \end{array}%%

Kommas "wegdenken", schriftlich multiplizieren, Nachkommastellen zählen und im Ergebniss das Komma mit %%1+0=1%% Nachkommastellen setzen.

Schnelle Lösung:

%%2,5 \cdot 100 = 2,50 \cdot 100 = 250%%

Merke: Bei der Multiplikation mit %%100%% wird das Komma um zwei Stellen nach rechts verschoben.

Berechne den Wert der Division von Dezimalbrüchen.

%%8,45:100%%

%%8,45:100=0,0845%%

Teilt man einen Dezimalbruch durch 100, so verschiebt sich das Komma um 2 Stellen nach links.

Alternativer Weg

%%8,45:100=845:10000%%

Multipliziert man den Dividend und den Divisor mit 100, so ändert sich der Wert der Division nicht. Dadurch wird das Komma bei beiden um zwei Stellen nach rechts verschoben.

%%\begin{array}{l} \hphantom{-}845:10000=0,0845\\ \underline{-\hphantom{84}0}\\ \hphantom{-}8450\\ \underline{-\hphantom{845}0}\\ \hphantom{-}84500\\ \underline{-80000}\\ \hphantom{-0}45000\\ \hphantom{0}\underline{-40000}\\ \hphantom{-00}50000\\ \hphantom{00}\underline{-50000}\\ \hphantom{-000000}0 \end{array}%%

%%16:0,25%%

%%16:0,25=1600:25%%

Multipliziert man den Divsor und den Dividend mit 100, d.h. das Komma um zwei Stellen nach rechts verschieben, ändert das den Wert der Division nicht.

%%\begin{array}{l}\hphantom{-}1600:25=64\\ \underline{-150}\\ \hphantom{-1}100\\ \hphantom{0}\underline{-100}\\ \hphantom{-000}0 \end{array}%%

%%8,5:0,160%%

%%8,5 : 0,160 = 8,5 : 0,16%%

Schreibe den Divisor als 0,16 statt 0,160.
Das Weglassen von Nullen am Ende eines Dezimalbruchs ändert nichts an dessen Wert.

%%8,5:0,16 = 850 : 16%%

Multipliziere sowohl den Dividend als auch den Divisor jeweils mit 100, d.h. verschiebe das Komma um 2 Stellen nach rechts.
Durch Multiplikation von sowohl des Divisors als auch des Dividenten mit der gleichen Zahl ändert sich der Wert der Division nicht.

%%\begin{array}{l}\hphantom{-}850:16=53,125\\ \underline{-80}\\ \hphantom{-1}50\\ \hphantom{0}\underline{-48}\\ \hphantom{-00}20\\ \hphantom{00}\underline{-16}\\ \hphantom{-000}40\\ \hphantom{000}\underline{-32}\\ \hphantom{-0000}80\\ \hphantom{0000}\underline{-80}\\ \hphantom{-00000}0 \end{array}%%

%%0,125:0,5%%

%%0,125:0,5=125:500%%

Multipliziere Divident und Divisor jeweils mit 1000, d.h. verschiebe beide Kommas um drei Stellen nach rechts. Der Wert der Division ändert sich nicht, wenn Divident und Divisor mit der gleichen Zahl multipliziert werden.

%%\begin{array}{l}\hphantom{-}125:500=0,25\\ \underline{-\hphantom{12}0}\\ \hphantom{-}1250\\ \underline{-1000}\\ \hphantom{-0}2500\\ \hphantom{0}\underline{-2500}\\ \hphantom{-0000}0 \end{array}%%

%%8,45 : 0,01%%

%%8,45 : 0,01 = 845%%

Teilt man einen Dezimalbruch durch 0,01, so verschiebt sich das Komma um 2 Stellen nach rechts.

Alternativer Weg

%%8,45 : 0,01 = 845 : 1%%

Multipliziert man den Dividend und den Divisor mit 100, so ändert sich das Ergebniss nicht. Dafür verschiebt sich das Komma bei beiden um zwei Stellen nach rechts.

%%845:1=845%%

Berechne

Mit welcher Zahl muss man 0,0123 multiplizieren, um 1230 zu erhalten?

Terme aufstellen

Die Variable %%x%% entspricht hier der Zahl, mit der 0,0123 multipliziert werden muss, um 1230 zu erhalten.

Stelle folgende Gleichung auf:

%%0,0123\cdot x=1230%%

%%x=1230:0,0123%%

%%x=100.000%%

%%|:0,0123%%

%%\Rightarrow\;%% Die gesuchte Zahl heißt %%100.000%%.

Durch welche Zahl muss man 0,0123 dividieren, um 0,123 zu erhalten?

Terme aufstellen

Die Variable %%x%% entspricht hier der Zahl, durch die %%0,0123%% dividiert werden muss, um %%0,123%% zu erhalten.

Stelle folgende Gleichung auf:

%%\frac{0,0123}x=0,123%%

%%0,0123=0,123\cdot x%%

%%0,0123:0,123=x%%

%%0,1=x%%

%%|\cdot x%%

%%\left|:0,123\right.%%

%%\Rightarrow%% Die gesuchte Zahl lautet %%0,1%%.

Welche Zahl muss man durch 0,0123 dividieren, um 1000 zu erhalten?

Terme aufstellen

Die Variable %%x%% entspricht hier der Zahl, durch die man %%0,0123%% dividieren muss, um %%1000%% zu erhalten.

Stelle folgende Gleichung auf:

%%\frac x{0,0123}=1000%%

%%x=1000\cdot0,0123%%

%%x=12,3%%

%%|\cdot 0,0123%%

%%\Rightarrow%% Die gesuchte Zahl lautet %%12,3%%.

Formuliere, wie man bequem die Multiplikation mit 0,01 und die Division durch 0,01 ausführt.

Wenn wir irgendeine Zahl %%x%% mit %%0,01%% multiplizieren, sieht das so aus:

%%\hphantom{=.}x\cdot0,01%%

%%=x\cdot\frac1{100}%%

%%= x:100%%

%%\Rightarrow%% Man muss bei der Zahl %%x%% nur das Komma um zwei Stellen nach links verschieben, da man durch %%100%% dividiert.

Beispiel: %%13,7\cdot 0,01%%

%%\hphantom{Bei.:}= 13,7:100%%

%%\hphantom{Bei.:}= 0,137%%

Wenn wir irgendeine Zahl %%x%% durch %%0,01%% dividieren, sieht das so aus:

%%x:0,01%%

%%=x:\frac{1}{100}%%

%%=x\cdot100%%

%%\Rightarrow%% Man muss bei der Zahl %%x%% das Komma um zwei Stellen nach rechts verschieben, da mit %%100%% multipliziert wird.

Beispiel: %%13,7: 0,01%%

%%\hphantom{Bei.:}= 13,7\cdot100%%

%%\hphantom{Bei.:}= 1370%%

Mexico-City hat, auf ganze Hunderttausender gerundet, 20000000 Einwohner. Wie viele Menschen leben mindestens, wie viele höchstens in dieser Stadt?

Bei dieser Aufgabe geht es darum, die kleinste und die größte Zahl zufinden, die auf Hunderttausender gerundet 20 000 000 ergeben.

Dadurch ergeben sich mindestens 19 950 000 und maximal 20 049 999 Einwohner.

Begründung für die minimalen Einwohnerzahl

Die minimale Einwohnerzahl ist die kleinste Zahl die aufgerundet 20 000 000 ergibt.

Da auf Hunderttausender gerundet wird ist die Zehntausender-Stelle entscheidend. Diese soll möglichst klein sein, aber immernoch aufgerundet werden. Daher muss hier eine 5 stehen.
Alle kleineren Stellen spielen beim Runden keine Rolle, können also beliebige Zahlen sein. Es ist eine möglichst kleine Zahl gesucht, wähle also Nullen.
Da die Zehntausender-Stelle aufgerundet wird, erhöhen sich die höheren Stellen um Eins. Nimm also diese Stellen der gerundeten Zahl und ziehe Eins ab.

Damit ergibt sich 19 950 000 als minimale Einwohnerzahl.

Begründung für die maximale Einwohnerzahl

Die Maximalzahl von Einwohnern ist größte Zahl, die noch auf 20 000 000 abgerundet wird.

Hier ist wieder die Zehntausender-Stelle die Entscheidende. Die größte Ziffer, die noch abgerundet wird ist 4.
Die kleineren Stellen haben wieder keinen Einfluss. Wähle also 9, um die Zahl möglichst groß zu machen.
Da die Zehntausender-Stelle diesmal abgerundet wird, bleiben die höheren Stellen die Gleichen wie bei 20 000 000.

Also ist 20 049 999 die Maximalzahl.

Runde auf Zehntausender:

Die folgende Tabelle enthält für die wichtigsten Sportarten eines Vereins die Zahl der angemeldeten Mitglieder:

 

%%\begin{array}{l|c} \mathbf{Sportart} & \mathbf{Anzahl}\\ \hline \text{Fussball} & 5245 \\ \hline \text{Handball} & 826 \\ \hline \text{Leichtathletik} & 848 \\ \hline \text{Reiten} & 601 \\ \hline \text{Schwimmen} & 610 \\ \hline \text{Tennis} & 2249 \\ \hline \text{Tischtennis} & 769 \\ \hline \text{Turnen} & 4244 \end{array}%%

Stelle die Tabelle In einem Diagramm dar, indem du die Mitgliederzahlen geschickt rundest.

Es bietet sich an, die Zahl der Mitglieder auf ihre Hunderter-Stellen zu runden.

%%\begin{array}{l|c} \mathbf{Sportart} & \mathbf{gerundeter Wert} \\ \hline \text{Fussball} & 5200 \\ \hline \text{Handball} & 800 \\ \hline \text{Leichtathletik} & 800 \\ \hline \text{Reiten} & 600\\ \hline \text{Schwimmen} & 600 \\ \hline \text{Tennis} & 2200\\ \hline \text{Tischtennis} & 800\\ \hline \text{Turnen} & 4200\\ \end{array}%%

Trägst du nun die Zahl der Mitglieder in Tausender-Schritten auf der y-Achse ein, so entsteht das folgende Diagramm. Natürlich gibt es mehrere mögliche Lösungswege.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/2690_50axh9I8cD.xml

In Deutschland leben, auf halbe Millionen gerundet, achtzig Millionen Menschen. Wie viele Leute leben mindestens und und wie viele höchstens in Deutschland?

Die kleinste Zahl, die auf eine halbe Million gerundet 80Millionen ergibt, ist 79%%\,%%750%%\,%%000. So viele Leute leben also mindestens in Deutschland.

Die größte Zahl, die auf eine halbe Million gerundet 80Millionen ergibt, ist 80%%\,%%249%%\,%%999. Also leben maximal so viele Leute in Deutschland.

Bestimme x, sodass die Gleichung stimmt:

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