f(x)=x2exf\left(x\right)=x^2e^{-\sqrt x}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel

Diese Aufgabe ist eine Kombination von Produkt und Kettenregel. Überlege dir, ob du zuerst Produkt oder Kettenregel anwenden musst.
f(x)=x2exf\left(x\right)=x^2e^{-\sqrt x}
Die Funktion ist insgesamt ein Produkt mit den Faktoren u(x)=x2u(x)=x^2 und v(x)=exv(x)=e^{-\sqrt x}. Berechne zuerst die Ableitungen der Faktoren u(x) u(x) und v(x)v(x).
u(x)=2xu'(x)=2x
Zur Berechnung von v(x)v'(x) benötigst du die Kettenregel.
v(x)=12x12exv'(x)=-\frac12\cdot x^{-\frac12}\cdot e^{-\sqrt x}
Wende nun die Produktregel an.
f(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)=2xex+x2(12x12ex)f'\left(x\right)=u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)= 2x\cdot e^{-\sqrt x}+x^2\cdot\left(-\frac12\cdot x^{-\frac12}\cdot e^{-\sqrt x}\right)
Löse die Klammer auf.
=2xex12x2x12ex=2x\cdot e^{-\sqrt x}-\frac12\cdot x^2\cdot x^{-\frac12}\cdot e^{-\sqrt x}
Nun kannst du noch vereinfachen. Multiplizere dazu im zweiten Teil x2 x^2 mit x12 x^{- \frac 1 2}.
=2xex12x32ex=2x\cdot e^{-\sqrt x}-\frac12\cdot x^{\frac{3}{2}}\cdot e^{-\sqrt x}
Wenn du noch weiter vereinfachen möchtest, kannst du z.B. exe^{-\sqrt x} ausklammern.
=ex(2x12x32)= e^{-\sqrt x} \cdot ( 2x-\frac12\cdot x^{\frac{3}{2}})