f(x)=lnex1+exf(x)=\ln\frac{\mathrm e^{\mathrm {-x}}}{1+\mathrm {e^{-x}}}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung

f(x)=ln(ex1+ex)f(\mathrm x)=\ln\left(\frac{\mathrm e^{-\mathrm x}}{1+\mathrm e^{-\mathrm x}}\right)
Mit Hilfe der Quotientenregel den Logarithmus umformen.
f(x)=ln(ex)ln(1+ex)f(\mathrm x)=\ln\left(\mathrm e^{-\mathrm x}\right)-\ln\left(1+\mathrm e^{-\mathrm x}\right)
Den ersten Term vereinfachen.
f(x)=xln(1+ex)f(\mathrm x)=-\mathrm x-\ln\left(1+\mathrm e^{-\mathrm x}\right)
Ableiten, beim ln mit der Kettenregel .
f(x)=1ex(1+ex)f'(\mathrm x)=-1-\frac{-\mathrm e^{-\mathrm x}}{\left(1+\mathrm e^{-\mathrm x}\right)}
Den ersten Term zu einem Bruch mit dem gleichen Nenner umformen.
=1+ex1+ex+ex1+ex=11+ex=-\frac{1+\mathrm e^{-\mathrm x}}{1+\mathrm e^{-\mathrm x}}+\frac{\mathrm e^{-\mathrm x}}{1+\mathrm e^{-\mathrm x}}=\frac{-1}{1+\mathrm e^{-\mathrm x}}
Die Brüche addieren.