%%f'\left(x\right) = \cos\left(x^2+1\right) \cdot 2x%%

Kettenregel umgekehrt

Formuliere zunächst die Kettenregel:

%%\left(g(h(x)) \right)' = g'(h(x)) \cdot h'(x)%%

Bei der Ableitung wurde die Kettenregel angewendet. Die gesuchte Funktion hat also die Form: %%f(x) = g(h(x))%%.

Die Ableitung hat dann die Form %%f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)%%

Bestimme mit dieser Formel durch Hinsehen die Teilfunktionen %%g'(x)%%, %%h(x)%% und %%h'(x)%%

%%\begin{array}{rcccc} f'(x) & = & \cos\left(x^2+1\right)&\cdot & 2x \\ & = & g'(h(x)) &\cdot &h'(x)\end{array}%%

Stelle eine Vermutung auf, was die geuschten Teile sind. Das musst du dann aber noch überprüfen!

Vermutung

Stelle zunächst eine Vermutung auf für %%h'(x) = \ldots ?%% und %%g'(h(x)) = \ldots ?%%

%%h'(x) = 2x%%

%%g'(h(x)) = \cos(x^2 + 1)%%

Bestimme %%g'(x)%% und %%h(x)%%

%%g'(x) = \cos(x)%%

%%h(x) = x^2 + 1%%

Überprüfe nun, ob die Ableitung %%h'%% und Funktion %%h%% überhaupt zusammenpassen. Leite dafür %%h%% ab.

%%h(x) = x^2+1%%

Bestimme die Ableitung

%%h'(x) = (x^2+1)'=2x%%

Die Vermutung %%h'(x)=2x%% passt also zu %%h(x) = x^2 + 1%%.

Funktion f bestimmen

Gesucht: %%f(x)=g(h(x))%%

Bekannt: %%\begin{array}[t]{ltl}h(x) &=& x^2+1\\ g'(x)&=&\cos\left(x\right)\end{array}%%

Die Teilfunktion %%h(x)%% kennst du bereits, also musst du nur noch %%g(x)%% bestimmen. Überlege dir, welche Funktion die Ableitung %%g'(x) = \cos(x)%% hat.

%%\Rightarrow g(x)=\sin(x)%%

Setze nun in die Formel ein

%%f(x) =g(h(x)) =\sin(x^2+1)%%

Zur Probe kannst du nochmal die Ableitung zu deiner gefunden Funktion bestimmen.