20Zusatzwissen: Bilden von Stammfunktionen

Alle Umformungsmethoden für Brüche, die du in diesem Kurs gelernt hast, können dir nicht nur das Ableiten, sondern auch das Bilden von Stammfunktionen erleichtern.

In der nebenstehen Abbildung siehst du, wie Funktion, Stammfunktion und Ableitung zusammenhängen: Durch Ableiten einer Stammfunktion $F(x)$ erhältst du die ursprüngliche Funktion $f(x)$ . Leitest du diese ebenfalls ab, bekommst du die erste Ableitung $f'(x)$ . Das Bilden von Stammfunktionen ist der umgekehrte Weg.

Zum Beispiel:

Bilde eine Stammfunktion von $g(x)=\dfrac{6}{x^{-3}}+\dfrac{2}{x^{-1}}$ .

Vereinfache den Funktionsterm zuerst und bilde dann eine Stammfunktion.

Vereinfachen des Funktionsterms

$\displaystyle g(x)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{6}{x^{-3}}+\dfrac{2}{x^{-1}}$
	↓	Wende das Potenzgesetz für negative Exponenten an.
	$=$	$\displaystyle 6\cdot x^{-(-3)}+2\cdot x^{-(-1)}$
	↓	Vereinfache die Exponeten.
	$=$	$\displaystyle 6\cdot x^3+2\cdot x^1$
	$=$	$\displaystyle 6x^3+2x$

Bilden einer Stammfunktion

Verwende die Regel für die Bildung einer Stammfunktion von Potenzfunktionen.

mit $C\in \mathbb{R}$
	↓
$\displaystyle G(x)$	$=$	$\displaystyle 6\cdot \dfrac{1}{4}\cdot x^4+2\cdot \dfrac{1}{2}\cdot x^2 +C$
	↓	Vereinfache den Term.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{2}x^4+x^2+C$

Eine Stammfunktion von $g(x)$ ist $G(x)=\dfrac{3}{2}x^4+x^2+C\space$ mit $C\in \mathbb{R}$ .

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