Quotientenregel

Die Quotientenregel bietet eine Möglichkeit, die Ableitung eines Quotienten zweier differenzierbarer Funktionen $u\left(x\right)$ und $v\left(x\right)$ zu berechnen:

\displaystyle \left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)'=\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{(v(x))^2}

Video zur Quotientenregel

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1. Merkregel "NAZ minus ZAN"

Als Merkregel für den Zähler lässt sich die Kurzform "NAZ minus ZAN" für

"Nenner ("N") mal Ableitung des Zählers ("AZ") minus Zähler ("Z") mal Ableitung des Nenners ("AN"))" benutzen.

2. Merkregel "AZN minus ANZ"

Eine weitere Merkregel für den Zähler ist die Kurzform "AZN minus ZAN":

Ableitung des Zählers ("AZ") mal Nenner ("N") minus Ableitung des Nenners ("AN2) mal Zähler ("Z")

Beispiel 1

Mit der Quotientenregel ergibt sich die Ableitung von $f(x)=\left(\frac{\sin(x)}{x^2}\right)$ als

\displaystyle f'(x)=\frac{(\sin(x))'\cdot x^2-(x^2)'\cdot\sin(x)}{\left(x^2\right)^2}=\frac{\cos(x)\cdot x^2-2x\cdot\sin(x)}{x^4}=\frac{x(x\cos(x)-2\sin(x))}{x^4}=\frac{x\cos(x)-2\sin(x)}{x^3}

Beispiel 2

Berechne die Ableitung von $f(x) = \tan(x)$ .

Der Tangens ist nach Definition $\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ .

$\displaystyle \tan'(x)$	$=$	$\displaystyle \left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)'$
	↓	Quotientenregel
	$=$	$\displaystyle \frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}$
	↓	Bruch auseinanderziehen
	$=$	$\displaystyle \frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}+\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}$
	$=$	$\displaystyle 1+\left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)^2$
	↓	Definition des Tangens
	$=$	$\displaystyle 1+\tan(x)^2$

Andererseits kann die Ableitung des Tangens auch angegeben werden als:

$\displaystyle \tan'(x)$	$=$	$\displaystyle \left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)'$
	↓	Quotientenregel
	$=$	$\displaystyle \frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}$
	↓	Additionstheorem $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{\cos^2(x)}$

Übungsaufgaben

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