(Taylorentwicklung)

Im Gegensatz zur Schulmathematik, bei der meist nur die ersten drei Ableitungen nützlich sind, gibt es auch Anwendungsgebiete in der Mathematik, bei denen du beliebig viele Ableitungen brauchen kannst. Eine solche Anwendung ist die sogenannte Taylorentwicklung von Funktionen, die du in dieser Aufgabe kennenlernst.

Sei eine Funktion %%f: x\mapsto \sin(x)%%, sowie ein Funktionenschar %%g_{n;0} ~n =0;1;2;\ldots%% mit maximalen Definitionsbereichen gegeben. Außerdem seien die folgenden Funktionen der Schar bekannt:

  • %%g_{0;0}: x \mapsto 0%%
  • %%g_{1;0}: x \mapsto 0+ x \cdot 1%%
  • %%g_{2;0}: x \mapsto 0 + x \cdot 1%%
  • %%g_{3;0}: x \mapsto 0 + x \cdot 1 + \dfrac{x^3 \cdot (-1)}{6}%%

a) Zeige, dass für die gegebenen Scharfunktionen %%\displaystyle g_{n;a}(x)=\sum_{k=0}^n \frac{(x-a)^kf^{(k)}(a)}{k!}%% gilt, wobei %%f^{(k)}(a)%% die %%k%%-te Ableitung am Punkt %%a%% ist und %%k!%% die Fakultät von %%k%% angibt.


Die Funktion %%g_{n;a}%% wird auch das %%n%%-te Taylorpolynom an der Entwicklungsstelle %%a%% genannt und man schreibt %%g_{n;a}(x)=T_nf(x;a)%%.

b) Gib den Funktionsterm von %%g_{5;0}%% an.

c) In der folgenden Abbildung siehst du die Graphen der Funktionen %%f, g_{5;0}, g_{9;0}%% und %%g_{20;0}%%. Beschreibe die Abbildung und erläutere das Verhalten der Taylorpolynome für %%n \rightarrow \infty%%.

taylor

d) Wie sieht die Taylorentwicklung an der Entwicklungsstelle %%a=0%% für die Funktion %%e: x \mapsto e^x%% aus? Gib den Term des %%n%%-ten Taylorpolynoms an oder beschreibe dessen Aussehen.

e) Gib die Taylorentwicklung der Funktion %%p: x \mapsto x^2%% an der Entwicklungsstelle %%a=0%% konkret an.

Teilaufgabe a)

Setze für die gegebenen Scharfunktionen die Parameter ein und rechne die Summe aus.

%%\displaystyle g_{0;0}=\sum_{k=0}^0 \frac{(x-0)^kf^{(k)}(0)}{k!} =\frac{\overbrace{x^0}^{=1}\cdot \overbrace{f(0)}^{=0}}{\underbrace{0!}_{=1}}=0%%

%%\displaystyle g_{1;0}=\sum_{k=0}^1 \frac{(x-0)^kf^{(k)}(0)}{k!} =\frac{\overbrace{x^0}^{=1}\cdot \overbrace{f(0)}^{=0}}{\underbrace{0!}_{=1}}+\frac{\overbrace{x^1}^{=x}\cdot \overbrace{f'(0)}^{=\cos(0)=1}}{\underbrace{1!}_{=1}}=0+x%%

%%\displaystyle g_{2;0}=\sum_{k=0}^2 \frac{(x-0)^kf^{(k)}(0)}{k!} =0+x+\frac{x^2\cdot \overbrace{f''(0)}^{=-\sin(0)=0}}{\underbrace{2!}_{=2}}=0+x+0%%

%%\displaystyle g_{3;0}=\sum_{k=0}^3 \frac{(x-0)^kf^{(k)}(0)}{k!} =0+x+\frac{x^3\cdot \overbrace{f'''(0)}^{=-\cos(0)=-1}}{\underbrace{3!}_{=3\cdot 2 \cdot 1=6}}=0+x-\frac{x^3}{6}%%

Die Funktionsterme stimmen überein.

Teilaufgabe b)

Für den Funktionsterm von %%g_{5;0}%% benötigst du zusätzlich zu den Term von %%g_{3;0}%% noch die Summanden für %%k=4%% und %%k=5%%. Für die gilt:

%%\begin{array}{ll} k=4: &\dfrac{x^4\cdot \overbrace{f^{(4)}(0)}^{=\sin(0)=0}}{4!}= 0\\ k=5: &\dfrac{x^5\cdot \overbrace{f^{(5)}(0)}^{=\cos(0)=1}}{\underbrace{5!}_{=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120}}= \dfrac{x^5}{120} \end{array}%%

damit erhältst du für den gesuchten Term

%%g_{5;0}(x)= x-\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^5}{120}%%

Teilaufgabe c)

Für wachsende %%n%% schmiegen sich die Graphen von %%g_{n;0}%% in einem immer größer werdenden Intervall um die 0 an den GRaph von %%f%% an. Du kannst vermuten, dass für %%n \rightarrow \infty%% die Taylorreihe %%g_{\infty;0}%% mit der Funktion %%f%% identisch ist.

Teilaufgabe d)

Nutze die Formel aus Teilaufgabe a) für die ersten Summanden:

%%\displaystyle T_ne(x;0)=\sum_{k=0}^n \frac{(x-0)^k f^{(k)}(0)}{k!} =\frac{x^0 \cdot \overbrace{e^0}^{=1}}{0!}+\frac{x^1 \cdot e^0}{1!}+\frac{x^2 \cdot e^0}{2!}+\frac{x^3 \cdot e^0}{3!}+\ldots%%

%%\displaystyle T_ne(x;0)=\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}%%

Das %%n%%-te Taylorpolynom ist eine Summe von aufsteigenden %%x%%-Potenzen, jeweils dividiert durch die Fakultät des Exponenten.

Teilaufgabe e)

Nutze wieder die Formel aus Teilaufgabe a):

%%\displaystyle T_np(x;0)=\sum_{k=0}^n \frac{(x-0)^k f^{(k)}(0)}{k!} =\frac{x^0 \cdot 0^2}{0!}+\frac{x^1 \cdot (2\cdot 0)}{1!}+\frac{x^2 \cdot 2}{2!}+\frac{x^3 \cdot 0}{3!}+\frac{x^4 \cdot 0}{4!}+\ldots%%

Da ab %%k=3%% alle %%k%%-ten Ableitungen gleich 0 sind folgen nur noch Nuller als Summanden. Du erhältst als Lösung:

%%\displaystyle T_np(x;0)=\frac{2x^2}{2}=x^2%%

Die Taylorreihe ist also identisch mit der Ausgangsfunktion!