Extremwertaufgabe

In diesen Aufgaben soll eine ebene Fläche auf unterschiedliche Weise so zu einem Körper gebogen werden, dass dieser ein größtmögliches Volumen besitzt.

Teilaufgabe a)


Da die rechteckige Blechtafel V-förmig geknickt wird, entsteht aus dem ebenen Rechteck ein gerades dreiseitiges Prisma mit der Höhe aa.
Für das Volumen der geknickten Dachrinne gilt somit:
VDachrinne=Dreiecksfla¨cheABC  aV_\text{Dachrinne}=\,\text{Dreiecksfläche}_{\triangle ABC}\;\cdot a
Prisma
Und da der Buchstabe V achsensymmmetrisch ist, ist die Grundfläche des Prismas ein gleichschenkliges Dreieck mit der vorgegebenen Schenkellänge b2\displaystyle \frac b2, dessen Flächeninhalt A vom Knickwinkel γ\gamma abhängt.
γ\gamma ist ein Winkel zwischen 0° und 180°180°.
Die Abhängigkeit der Dreiecksfläche AABCA_{\triangle ABC} von γ\gamma kannst du an dem gegebenen Applet für b=4LEb=4\,LE nachvollziehen.
GeoGebra
Wegen des fest vorgegebenen Wertes aa für die Höhe des Prismas ist sein Volumen dann am größten, wenn die Dreiecksfläche AABCA_{\triangle ABC} maximal ist.
Als Zielfunktion für die Extremwertaufgabe, das größtmögliche Dachrinnenvolumen zu ermitteln, verwendest du im weiteren deshalb die von γ\gamma abhängige Dreiecksfläche.
Das Applet macht deutlich, dass sowohl die Grundlinie wie auch die Höhe des Dreiecks vom Knickwinkel γ\gamma abhängen und mit diesem variieren.
Für die Dreiecksfläche der Grundfläche des Prismas gilt:
AABC=12GrundlinieHo¨heA_{\triangle ABC}=\frac12 \cdot \text {Grundlinie}\cdot\text{Höhe}
Also ergibt sich die
Zielfunktion
A(c;h)=chA(c;h)=c\cdot h
mit c[0;b/2]c\in[0;b/2] und h[0;b/2]h\in[0;b/2]
Grundfläche
Das gleichschenklige Dreieck ABCABC enthält das rechtwinklige Teildreieck BMCBMC mit der gegebenen Hypotenusenlänge b/2b/2 und dem variierenden Winkel γ/2\gamma/2.
Mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen SinusSinus und CosinusCosinus kannst du nun die Dreiecksfläche als Funktion des Knickwinkels γ\gamma darstellen.
1. Nebenbedingung
sinγ2=cb2\displaystyle sin\frac{\gamma}{2}=\frac {c}{\frac b 2}
2. Nebenbedingung
cosγ2=hb2\displaystyle cos\frac{\gamma}{2}=\frac{h}{\frac b2}
Löse die 1. Nebenbedingung nach cc und die 2. Nebenbedingung nach hh auf.
c=b2sinγ2\displaystyle c=\frac b2 \cdot sin\frac{\gamma}{2}
h=b2cosγ2\displaystyle h=\frac b2 \cdot cos\frac{\gamma}{2}
Setze cc und hh in A(c;h)A(c;h) ein, um die Dreiecksfläche als Funktion von γ\gamma zu erhalten.
Erinnerung: bb ist ein konstanter Wert.
Zielfunktion
A(γ)=(b2sinγ2)(b2cosγ2)\displaystyle A(\gamma)=\left( \frac b2 \cdot sin\frac{\gamma}{2}\right )\cdot \left (\frac b2 \cdot cos\frac{\gamma}{2}\right )
Fasse zusammen.
A(γ)=b24sinγ2cosγ2\displaystyle A(\gamma)=\frac{b^2}{4}\cdot sin\frac{\gamma}{2} \cdot cos\frac{\gamma}{2}
Bilde unter Verwendung der Produktregel und der Kettenregel die Ableitung A(γ)A'(\gamma).
A(γ)=b24(12cosγ2Kettenregel12sinγ2KettenregelProduktregel)  12  ausklammernA'(\gamma)=\frac{b^2}{4}\cdot (\underbrace{\underbrace{\frac 12 cos\frac {\gamma}{2}}_\color{red}{\text{Kettenregel}}-\underbrace{\frac 12 sin\frac{\gamma}{2}}_\color{red}{\text{Kettenregel}}}_\color{red}{\text{Produktregel}})\quad|\;\frac 12\; \text{ausklammern}
A(γ)=b28(cosγ2sinγ2)\displaystyle A'(\gamma)=\frac{b^2}{8}\cdot (cos\frac{\gamma}{2}-sin\frac{\gamma}{2})
Setze A(γ2)A'(\frac{\gamma}{2}) gleich Null um zu berechnen, für welchen Knickwinkel γ\gamma die Grundfläche des Dachrinnenprimas maximal sein kann.
%%\begin{array}{rcll}\displaystyle \frac{b^2}{8}\cdot (cos\frac{\gamma}{2}-sin\frac{\gamma}{2})&=&0&|\;:\displaystyle \frac{b^2}{8}\\\displaystyle cos\frac{\gamma}{2}-sin\frac{\gamma}{2}&=&0&|\; \displaystyle+ sin\frac{\gamma}{2}\\\displaystyle cos\frac{\gamma}{2}&=& \displaystyle sin\frac{\gamma}{2}&|\;\displaystyle :cos\frac{\gamma}{2}\\1&= &\displaystyle tan\frac{\gamma}{2}&|\; tan^{-1}\\\displaystyle \frac{\gamma}{2}&=&45°&|\;\cdot2\\\gamma&=&90°\end{array}%%
Um nachzuweisen, dass A(γ)A(\gamma) für γ=90°\gamma=90° tatsächlich maximal ist, hast du zwei Möglichkeiten.
Möglichkeit 1
Bilde die 2. Ableitung von A(γ)A(\gamma).
A(γ)=b28(cosγ2sinγ2)  \displaystyle A'(\gamma)=\frac{b^2}{8}\cdot (cos\frac{\gamma}{2}-sin\frac{\gamma}{2})\;\Rightarrow

A(γ)=b28(12sinγ2Kettenregel12cosγ2Kettenregel)\displaystyle A''(\gamma)=\frac{b^2}{8}\cdot (\underbrace{-\frac12 sin\frac{\gamma}{2}}_{\color{red}{\text{Kettenregel}}}-\underbrace{\frac12 cos\frac{\gamma}{2}}_{\color{red}{\text{Kettenregel}}})
12-\frac12 ausklammern
A(γ)=b216(sinγ2+cosγ2)\displaystyle A''(\gamma)=-\frac{b^2}{16}\cdot (sin\frac{\gamma}{2}+cos\frac{\gamma}{2})
Setze γ=90°\gamma=90° ein.
A(90°)=b216(122+122)  <0  \displaystyle A(90°)=-\frac{b^2}{16}\cdot (\frac12 \sqrt{2}+\frac12 \sqrt{2})\;\color{red}{<}\,0\;\Rightarrow
γ=90°\gamma=90° liefert maximalen Flächeninhalt des Grunddreiecks.
Möglichkeit 2 ohne Benutzung der 2. Ableitung:
Die Funktion A(γ)A(\gamma) hat für die Randpunkte des Definitionsbereichs (γ=0°\gamma=0° und γ=180°\gamma=180°) ihr Minimum 00. Dann liefert das (einzige) lokale Extremum dazwischen ein Maximum.
A(0°)=0A(0°)=0 und A(180°)=0A(90°)  liefert ein Maximum.A(180°)=0\quad\Rightarrow\quad A(90°)\;\text{liefert ein Maximum.}
Für das Volumen der v-förmig geknickten Dachrinne galt:
VDachrinne=Dreiecksfla¨cheaV_\text{Dachrinne}=\text{Dreiecksfläche}\cdot a.
Somit ergibt sich für das größtmöglichde Volumen dieser Dachrinne:
Vmax=b24sin(45°)cos(45°)a\displaystyle V_{max}=\frac{b^2}{4} \cdot sin(45°)\cdot cos(45°)\cdot a.
Also:
Vmax=18ab2\displaystyle V_{max}=\frac18ab^2

Teilaufgabe b)


Da die Blechtafel rechtwinklig geknickt wird, entsteht aus dem ebenen Rechteck ein Quader mit der Höhe a und einem Rechteck mit den Seitenlängen xx und yy als Grundfläche.
Für das Volumen des Quaders gilt somit:
VQuader=Grundfla¨che  aV_\text{Quader}=\text{Grundfläche}\cdot\;a
Quader
Da das Volumen des Quaders maximal werden soll, erhältst du folgende
Zielfunktion
V(x;y)=xya\displaystyle V(x;y)=x\cdot y \cdot a
mit x  ]0;b2[  \displaystyle x\in \;]0;\frac b2 [\; und y]0;b[y\in ]0;b[ und der Konstanten aa.
Da die Blechtafel achsensymmetrisch zur Seite bb geknickt wird ergibt sich als
Nebenbedingung
%%\begin{align}2x+y&=b\\y&=b-2x \end{align}%%
Setze y in V(x;y)V(x;y) ein.
V(x)=x(b2x)aV(x)=x\cdot (b-2x)\cdot a
V(x)=(2x2+bx)aV(x)=(-2x^2+bx)\cdot a
Bilde V(x)V'(x).
V(x)=(4x+b)aV'(x)=(-4x+b)\cdot a
Setze V(x)V'(x) gleich Null und löse nach XX auf.
%%\begin{array} {rcll}(-4x+b)\cdot a &=&0&| :a\\-4x+b&=&0\\x&=&\displaystyle \frac b4 \end{array}%%
Argumentiere, dass sich für x=b/4x=b/4 ein Maximum ergibt.
Es gilt:
A(γ)=4a  <  0A''(\gamma)=-4a\;\color{red}{<}\;0.
A(x)A''(x) ist also eine negative Konstante.
Das Extremum ist also ein Maximum.
Ohne Benutzung der 2. Ableitung kannst du auch so argumentieren:
Der Graph der Funktion A(γ)A(\gamma) ist eine nach unten geöffnete Parabel. Das lokale Extremum deshalb ein Maximum.
x=b4x=\frac b4 in V(x)=(2x2+bx)aV(x)=(-2x^2+bx)\cdot a eingesetzt, ergibt das größtmögliche Volumen VmaxV_{max} dieser Dachrinne:
Vmax=(2b216+bb4)a\displaystyle V_{max}=(-2 \cdot \frac {b^2}{16}+b\cdot \frac b4 ) \cdot a
Also:
Vmax=ab28\displaystyle V_{max}= \frac{ab^2}{8}

Teilaufgabe c)

Diese Teilaufgabe ist keine Extremwertaufgabe. Das halbkreisförmig gebogene Blechrechteck ergibt eine Zylinderhälfte der Höhe aa. Dessen Volumen ist mit den Ergebnissen der Teilaufgaben a) und b) zu vergleichen.
Der Umfang des (ganzen) Grundkreises ist 2b2b.
Dann gilt für den Radius rr:
2rπ=2br=bπ2r\pi=2b\quad\Rightarrow\quad r=\displaystyle \frac{b}{\pi}
Dachrinnenzylinder
Die Dachrinne, d.h. der halbe Zylinder, hat dann folgendes Volumen:
VRinne=12(bπ)2πaV_{Rinne} = \displaystyle \frac 12 \cdot \left (\frac{b}{\pi}\right)^2 \cdot \pi \cdot a.
Damit ergibt sich:
VRinne=12πab20,16ab2V_{Rinne}= \displaystyle \frac{1}{2\pi}\cdot a\cdot b^2\quad\approx0,16ab^2
Der Vergleich der drei Teilaufgaben ergibt:
Die beiden maximalen Dachrinnenvolumina der Teilaufgaben a) und b) sind mit 0,125ab20,125ab^2 gleich und kleiner als das halbkreisförmig gebogene Volumen der Teilaufgabe c) mit 0,16ab20,16ab^2. Dieses ist somit um rund 28%28\% größer als das Maximum jeder geknickten Rinne.