f(x)=x³5x²4x+2f(x)=x³-5x²-4x+2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Newton-Verfahren

Wertetabelle

f(x)=x35x24x+2f(x)=x^3-5x^2-4x+2
Erstelle eine Wertetabelle um die Lage der Nullstellen einschränken zu können.

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

f(x)

-58

-18

0

2

-6

-18

-28

-30

-18

14

Bestimmen der Intervalle

Eine Nullstelle kann direkt aus der Tabelle abgelesen werden:
x~1=1\tilde x_1=-1
Man sieht außerdem, dass die Funktion f(x)f(x) in den Intervallen ]0;1[]0;1[ und ]5;6[]5;6[ ihr Vorzeichen ändert.
Daraus folgt für die Nullstellen x~2,3:\tilde x_{2,3}:
x~2  ]0;1[\Rightarrow \tilde x_2\in \;]0;1[ und x~3  ]5;6[\tilde x_3\in\;]5;6[
Um die Intervalle weiter zu verkleinern und so einen besseren Anfangswert für das Newton-Verfahren zu bekommen, berechnet man den Funktionswert der Mittelwerte der ausgewählten Intervalle:

x

0

0,5

1

5

5,5

6

f(x)

2

-1,125

-6

-18

-4,875

14

Man sieht nun, dass die Funktion f(x)f(x) in den Intervallen ]0;0,5[]0;0,5[ und ]5,5;6[]5,5;6[ ihr Vorzeichen ändert.
Daraus folgt für die Nullstellen x~2,3:\tilde x_{2,3}:
x~2  ]0;0,5[\Rightarrow \tilde x_2\in \;]0;0,5[ und x~3  ]5,5;6[\tilde x_3\in\;]5,5;6[

Anwenden des Newton-Verfahrens

f(x)=x35x24x+2f(x)=x^3-5x^2-4x+2
f(x)=3x210x4f^\prime(x)=3x^2-10x-4
xn+1=xnxn35xn24xn+23xn210xn4\displaystyle \Rightarrow x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^3-5x_n^2-4x_n+2}{3x_n^2-10x_n-4}

Bestimmen der Nullstellen

Man wählt einen beliebigen Wert x0x_0 aus dem Intervall ]0;0,5[]0;0,5[, z.B. x0=0,25x_0=0,25.
x1=x0x035x024x0+23x0210x04\displaystyle x_1=x_0-\frac{x_0^3-5x_0^2-4x_0+2}{3x_0^2-10x_0-4}
Man berechnet jetzt x1x_1 mit der oben angegebenen Rekursionsformel.
=0,25(0,25)35(0,25)24(0,25)+23(0,25)210(0,25)4\displaystyle =0,25-\frac{(0,25)^3-5\cdot(0,25)^2-4\cdot(0,25)+2}{3\cdot(0,25)^2-10\cdot(0,25)-4}
=732020,36139\displaystyle =\frac{73}{202}\approx0,36139
x2=x1x135x124x1+23x1210x14\displaystyle x_2=x_1-\frac{x_1^3-5x_1^2-4x_1+2}{3x_1^2-10x_1-4}
Dann berechnet man x2x_2 mit dem gerade berechneten x1x_1 und der oben angegebenen Rekursionsformel.
=73202(73202)35(73202)24(73202)+23(73202)210(73202)4\displaystyle =\frac{73}{202}-\frac{(\frac{73}{202})^3-5\cdot(\frac{73}{202})^2-4\cdot(\frac{73}{202})+2}{3\cdot(\frac{73}{202})^2-10\cdot(\frac{73}{202})-4}
=0,3542763610,35428\displaystyle =0,354276361\approx0,35428
x3=x2x235x224x2+23x2210x24\displaystyle x_3=x_2-\frac{x_2^3-5x_2^2-4x_2+2}{3x_2^2-10x_2-4}
Dann berechnet man x3x_3 mit dem gerade berechneten x2x_2 und der oben angegebenen Rekursionsformel.
=0,354276361(0,354276361)35(0,354276361)24(0,354276361)+23(0,354276361)210(0,354276361)4\displaystyle =0,354276361-\frac{(0,354276361)^3-5\cdot(0,354276361)^2-4\cdot(0,354276361)+2}{3\cdot(0,354276361)^2-10\cdot(0,354276361)-4}
=0,35424868940,35425\displaystyle =0,3542486894\approx0,35425
Man erkennt jetzt, dass sich die Genauigkeit der Lösung im letzten Schritt nurnoch in der fünften Nachkommastelle verbessert.
Da nur eine Angabe bis auf zwei Nachkommastellen gefordert war, ist man in diesem Schritt fertig und das Ergebnis lautet:
x~2=0,35\displaystyle \tilde x_2=0,35
Um x~3\tilde x_3 zu bestimmen verfährt man analog und erhält für den Startwert x0=5,75x_0=5,75 folgende Werte:

%%i%%

0

1

2

3

%%x_i%%

%%5,75%%

%%5,649253731%%

%%5,645755468%%

%%5,645751311%%

Und somit erhält man:
x~3=5,65\displaystyle \tilde x_3=5,65
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