Das Newton-Verfahren dient zur Annäherung an Nullstellen; durch das immer wieder neu Einsetzen des Ergebnisses in die Newton-Formel nähert man die Nachkommastellen der Nullstelle immer mehr an. Diese Art von Verfahren nennt man Iterationsverfahren.
Iterationsformel: xn+1=xnf(xn)f´(xn)x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f´(x_n)}

Das Newton-Verfahren

Da gewisse Nullstellen nicht genau bestimmbar sind, wird das Newton-Verfahren eingesetzt, um Nullstellen anzunähern. Um diese zu berechnen, benötigst du die Ableitung.
Beispiel:
Nullstelle von f(x)=x³+4x4f(x)=x³+4x-4

Überprüfe, ob du nicht andere Lösungswege benutzen kannst!

Nutze das Newton-Verfahren nur, wenn es keine andere Lösungsmöglichkeit zur Bestimmung deiner Nullstelle gibt, da du dich mit diesem Verfahren der Nullstelle nur annäherst.
Nutze, wenn es möglich ist:
\cdotTermumformungen und Ausklammern \cdotMitternachtsformel \cdotpq-Formel \cdotSystematisches Probieren (Notfalls)

Iterationsformel

Dies bedeutet, dass Ergebnisse eines Schrittes wieder als Ausgangswert für den jeweils nächsten Schritt genommen werden. Dies kannst du in der Graphik mit derRechenmaschine erkennen.
Formel:
xn+1=xnf(xn)f´(xn)x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f´(x_n)}

Beispiel:
  • f(x)=x3+4x4f(x)=x^3+4x-4
  • f(x)=3x2+4f'(x)=3x^2+4
  • xn+1=xnxn3+4xn43xn2+4x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^3+4x_n-4}{3x_n^2+4}

So erhältst du x0x_0:

Falls du ein Intervall gegeben hast, in dem deine Nullstelle liegt, bietet es sich an die Mitte des Intervalls zu wählen
Beispiel: Die Nullstelle liegt im Intervall [2;4][2;4] \Rightarrow Wähle also x0=3x_0=3
Falls kein Intervall gegeben ist, kannst du x0x_0 durch eine Wertetabelle bestimmen, eine Skizze kann dir ebenfalls helfen, notfalls kannst du auch raten.Das Newton-Verfahren kann aber auch schief gehen, wenn du als x0x_0 eine Extremstelle wählst.Falls dein x0x_0 sehr weit von der Nullstelle entfernt ist, brauchst du sehr, sehr viele Iterationsschritte. Du versuchst also dein x0x_0 möglichst nahe der Nullstelle zu wählen.
Bestimmung von x0x_0 durch eine Wertetabelle:
  • Lege eine Wertetabelle der Funktion f(x)f(x) an mit xx- Werten, in deren Umgebung du die Nullstelle vermutest. (Eine Skizze hilft dir.)
  • Suche nach einem Vorzeichenwechsel der Funktionswerte.
  • Die Nullstelle liegt zwischen den xx-Werten, deren Funktionswerte einen Vorzeichenwechsel haben.
Beispiel:
f(x)=x3+4x4f(x)=x^3+4x-4

%%-3%%

%%-2%%

%%-1%%

%%0%%

%%1%%

%%2%%

%%3%%

%%-43%%

%%-20%%

%%-9%%

%%-4%%

%%1%%

%%12%%

%%35%%

Vorzeichenwechsel im Intervall x[0;1]x\in[0;1]\Rightarrow wähle z.B. x0=0,5x_0=0,5

So erhältst du deine angenäherte Lösung:

Je länger du das Verfahren anwendest desto näher kommst du an die Nullstelle. Ein Ziel deiner Näherung könnte sein, die ersten drei Nachkommastellen korrekt zu bestimmen. Wenn sich nach mehreren Iterationsschritten deine drei Nachkommastellen nicht mehr ändern, kannst du davon ausgehen, dass du am Ziel bist.
Beispiel:
x20,8486187342x_2\approx \color{#009900}{0,84} \color{black}{86187342}
x30,8477079411x_3\approx\color{#009900}{0,847707}\color{black}{9411}
x40,8477075981x_4\approx\color{#009900}{0,8477075981}
x50,8477075981x_5\approx\color{#009900}{0,8477075981} \Rightarrow Die Nullstelle liegt bei ca. 0,8477075981\color{#009900}{0,8477075981}.
GeoGebra

Vereinfachung für den Taschenrechner

Die Iterationsformel immer wieder in den Taschenrechner einzugeben ohne durcheinander zu kommen, erfordert eine gewisse Konzentration. Um es ein wenig leichter zu machen, gibt es eine gute Möglichkeit das Newtonverfahren mit dem Taschenrechner zu benutzen.
Dafür braucht man nur fünf Schritte:

1. Den Wert von x0x_0 auf AA einspeichern:

Wert von x0x_0 eingeben, Shift drücken, RCL drücken und dann auf die Taste drücken über der das AA steht. Durch Shift, RCL wird STO betätigt und somit der eingegebene Wert auf die nächste Taste in diesem Fall auf AA gespeichert.
Resultat: x0Ax_0 \rightarrow A

2. f(x)f(x) auf BB einspeichern:

Die Gleichung von f(x)f(x) in den Taschenrechner eingeben, aber statt xx AA eintippen (erleichtert schon in diesem Schritt das Eintippen, dadurch, dass nicht immer der Wert, sondern nur AA getippt werden muss). Dann den Wert von f(x)f(x) auf BB einspeichern wie bei Schritt 1.
Resultat: f(x)Bf(x) \rightarrow B

3. f(x)f(x) auf CC einspeichern:

Die Gleichung von f(x)f(x) wie bei Schritt 2 eingeben und auf CC einspeichern.
Resultat: f(x)Cf(x) \rightarrow C

4. AB:CA-B:C eingeben \rightarrow Wert = x1x_1

5. x1x_1 in AA einspeichern:

Wie bei Schritt 1.
Resultat: x1x0Ax_1\rightarrow x_0\rightarrow A
Diese Schritte wiederholt man, bis man die geforderte Genauigkeit der Nullstelle berechnet hat. Man kann sich auch zusätzlich eine Tabelle anlegen, damit man die einzelnen Schritte noch festhalten kann.
Wenn man nur x0Ax_0\rightarrow A speichert und die Iterationsformel durch vorheriges Einsetzen vereinfacht, kann man auch nur diese vereinfachte Formel mit AA statt x0x_0 eingeben, das Ergebnis wieder auf AA speichern und die Rechnung solang durchführen bis das gewünschte Ergebnis erreicht ist.

Ausführlicher Lösungsweg

Du benötigst



Ergebnis

Erhältst du durch

f(x)f(x)
==
13x3x213\frac{1}{3}x^3-x^2-\frac{1}{3}

f(x)f'(x)
==
x22xx^2-2x
Berechnen
x0x_0
==
33
Berechnen

f(x)f'(x)

$$\,$$

$$\,$$

$$\,$$

$$\,$$

$$\,$$

$$\,$$

$$\,$$

$$\,$$

%%\frac{1}{3}%%

%%\cdot%%

%%x^3%%

%%-%%

%%x^2%%

%%-%%

%%\frac{1}{3}%%

%%\frac{1}{3}%%

%%\cdot%%

%%3x^2%%

%%-%%

%%2x%%

%%-%%

%%0%%

%%\,%%

%%\,%%

%%x^2%%

%%-%%

%%2x%%

%%\,%%

%%\,%%

  • Aus den x3x^3 wird mit der Rechenregel der Ableitung von Polynomen:x3=3x31=3x2x^3=3\cdot x^{3-1}=3x^2 | x2=2x21=2x1=2xx^2=2x^{2-1}=2x^1=2x
  • Merke: x0x^0 ist bei Ableitungen immer 1!
  • Die 13\frac{1}{3} und damit auch das - verschwinden: Da x0=1x^0=1 ist und 13=113\frac{1}{3}=1\cdot \frac{1}{3} ist 13=x013=130x01=013=0\Rightarrow \frac{1}{3}=x^0\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{3}\cdot 0\cdot x^{0-1}=0 \Rightarrow \frac{1}{3}=0
  • Die Ableitung von 13x3x213=x22x\frac{1}{3} x^3-x^2-\frac{1}{3} =x^2-2x

x0x_0

Wertetabelle:
Setze verschiedene Werte als xx ein um jeweils nach dem y-Wert aufzulösen. Trage dies anschließend in eine Wertetabelle ein und finde den Übergang vom Positiven/Negativen, diese zwei Punkte stellen dann dein Intervall dar. Beim Wählen beachte, dass x0x_0 keine Extremstelle darstellen darf.
Beispiel:
f(1)=131³1²13f(1)=\frac{1}{3}\cdot1³-1²-\frac{1}{3}
f(1)=1f(1)=-1

%%-4%%

%%-3%%

%%-2%%

%%-1%%

%%0%%

%%1%%

%%2%%

%%3%%

%%4%%

%%-\frac{53}{3}%%

%%-\frac{19}{3}%%

%%-1%%

%%-\frac{5}{3}%%

%%-\frac{1}{3}%%

%%-1%%

%%-\frac{5}{3}%%

%%-\frac{1}{3}%%

%%5%%

Vorzeichenwechsel im Intervall x[3;4]x\in[3;4]\Rightarrow wähle z.B. x0=3,5x_0=3,5.

x0x_0

  • Ableitung von f(x)=x22xf(x)=x^2-2x
  • Berechne die Nullstellen von f´(x)=x22xf´(x)=x^2-2x
x1=0x_1=0
x2=2x_2=2
  • Erstelle eine Vorzeichentabelle Die Vorzeichentabelle stellt das Verhältnis zwischen dem An- und Absteigen der Funktion und dem Zahlenstrahl dar.
Monotonieverhalten:
  • berechne die Ableitung von f(x)f(x)
  • berechne die Nullstellen der Ableitung f´(x)f´(x)
  • Erstelle eine Vorzeichentabelle
  • Setze die Nullstellen der Ableitung als xx in f(x)f(x) ein und berechne so yy.
  • Setze werte rund um die Extrema als xx in f(x)f(x) ein und finde den übergang von y ins Posi-/Negative
  • dieser Bereich stellt den Intervall, in dem sich die Nullstelle befindet da.
  • Falls du bei den Einzelnen Punkten Hilfe brauchst, dann gehe auf den Artikel zu Monotonieverhalten und schau dir den Ausführlichen Lösungsweg (hier runter scrollen) an!
  • Berechne den yy wert für f(0)f'(0)% und f(2)f'(2) f(x)=13x³x²13f(x)=\frac{1}{3}x³-x²-\frac{1}{3}
f(0)=130³0²13f(0)=\frac{1}{3}\frac 0³-0²-\frac{1}{3}
f(0)=13f(0)=-\frac{1}{3}
f(2)=132³2²13f(2)=\frac{1}{3}\cdot 2³-2²-\frac{1}{3}
f(2)=138413f(2)=\frac{1}{3}\cdot 8 -4 -\frac{1}{3}
f(2)=83133f(2)=\frac{8}{3} -\frac{13}{3}
f(2)=53f(2)=-\frac{5}{3}
lokales Maximum: f(0)=13f(0)=-\frac{1}{3}
lokales Minimum: f(2)=53f(2)=-\frac{5}{3}
  • Intervall festlegen
  • Intervall festlegen
  • Aus diesen berechnungen erschließt sich, das die Nullstelle sich im Interval (3;4)(3;4) befindet, da die Mitte des Intervalles beit etwa 2,65 liegt, nehmen wir x0=3,5x_0=3,5

Rechnung


Berechnung
Erklärung
xm=xnf(xn)f´(xn)x_m=x_n-\frac{f(x_n)}{f´(x_n)}

x1=3,5133,533,5²133,5223,5x_1=3,5-\frac{\frac{1}{3}\cdot3,5^3-3,5²-\frac{1}{3}}{3,5^2-2\cdot3,5}
x1=3,54124214x_1=3,5-\frac{\frac{41}{24}}{\frac{21}{4}}
x1=3,174603174=20063x_1=\color{#009900}{3},174603174=\frac{200}{63}
Setze f(x),f´(x)f(x),f´(x) und x0x_0 in die Formel ein. Und löse nach x1x_1 auf.
x2=2006313(20063)³(20063)²13(20063)²220063x_2=\frac{200}{63}-\frac{\frac{1}{3}\cdot(\frac{200}{63})³-(\frac{200}{63})²-\frac{1}{3}}{(\frac{200}{63})²-2\cdot\frac{200}{63}}
x2=200630,25322306073,728898967x_2=\frac{200}{63}-\frac{0,2532230607}{3,728898967}
x2=3,106694909x_2=\color{#009900}{3,1}06694909
Setze f(x),f´(x)f(x),f´(x) und x1x_1 in die Formel ein. Und löse nach x2x_2 auf.
x3=3,106694909133,106694909³3,106694909²133,106694909²23,106694909x_3=3,106694909-\frac{\frac{1}{3}\cdot3,106694909³-3,106694909²-\frac{1}{3}}{3,106694909²-2\cdot3,106694909}
x3=3,1066949090,0099238662093,43816344x_3=3,106694909-\frac{0,009923866209}{3,43816344}
x3=3,103808523x_3=\color{#009900}{3,10}3808523
Setze f(x),f´(x)f(x),f´(x) und x2x_2 in die Formel ein. Und löse nach x3x_3 auf.
x4=3,103808523133,103808523³3,103808523²133,103808523²23,103808523x_4=3,103808523-\frac{\frac{1}{3}\cdot3,103808523³-3,103808523²-\frac{1}{3}}{3,103808523²-2\cdot3,103808523}
x4=3,1038085230,000017542631393,426010301x_4=3,103808523-\frac{0,00001754263139}{3,426010301}
x4=3,103803403x_4=\color{#009900}{3,1038}03403
Setze f(x),f´(x)f(x),f´(x) und x3x_3 in die Formel ein. Und löse nach x4x_4 auf.
x4=3,103803403x_4=\color{#009900}{3,1038}03403 ist die Annäherung der Nullstelle bis zur 9.9. Nachkommastelle von f(x)=13x3x213f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2-\frac{1}{3}

Weitere Aufgaben

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Kowalsky 2018-05-16 11:32:45+0200
In der Graphik der Rechenmaschine muss -xo*f(xo)/f´(xo) durch xo - f(xo)/f´(xo) ersetzt werden
Nish 2018-05-18 16:32:11+0200
Vielen Dank für deinen Hinweis, Kowalsky! Sehr aufmerksam von dir :)
Ich leite es mal an den Autor weiter ;)

LG und ein schönes Wochenende,
Nish
Paul_Meier 2018-05-19 20:20:18+0200
Hallo Kowalsky,
vielen dank für die konstruktive kritik bzw. den Hinweis auf den Fehler :D. Ich habe den Fehler in der Grafik soweit behoben. Falls dir sonst noch irgendwas auffält wir freuen uns immer sehr über konstruktive kritik!
LG und ein schönes Pfingsten,
Paul
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Knorrke 2016-12-04 18:55:43+0100
Hallo,
hat vielleicht jemand Zeit und Lust diesen Artikel zu überarbeiten? Folgende Sachen sind mir aufgefallen:
1. Das Steigungsdreieck neben dem Text "Rechnerisch sieht das so aus" sollte mMn ein Bild sein und kein Applet. Außerdem könnte man den Graphen zumindest noch andeuten, damit man es als Steigungsdreieck erkennt.
2. Das %%\tan(\alpha)%% in der Formel wird nicht benötigt und verwirrt denke ich eher. Ich fände besser: %%f'(x) = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{f(x)}{x_0 - x_1}%%. Außerdem würde ich auch das Wort Steigungsdreieck erwähnen und evtl. verlinken.
3. Bei Vorgehen steht der Text aus der Herleitung fast nochmal drin, das könnte man vermutlich verbinden.
4. Mit dem Taschenrechner kann man das Verfahren sehr viel leichter umsetzen als hier im Spoiler dargestellt, indem man einfach im Taschenrechner bei jedem x die ANS-Taste verwendet. z.B. bei %%x^3-x+1%% mit Startwert %%x_0=1%%: Zuerst 1 eingeben und = drücken. Dann eingeben: ANS - ( ANS^3 - ANS + 1 ) / (3*ANS^2 - 1) und solange = drücken, bis man zufrieden ist.

Ich habe oben noch ein Applet hinzugefügt, das ich vorhin erstellt habe, da könnt ihr auch gern noch Feedback geben!

Gruß
Benni
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Zu article Newtonsches Näherungsverfahren: Winkel Alpha kennzeichnen
Inception_ 2015-09-22 02:56:53+0200
Wenngleich es der Tangens sagt, fände ich die explizite Kennzeichnung des Winkels \alpha im Dreieck Ax_0x_1 sinnvoll.
Nish 2015-09-22 11:56:06+0200
Danke für deinen Hinweis. Ich werde den Winkel soweit möglich noch einzeichnen. Lg, Nish
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Benedict 2018-01-24 10:20:44+0100
Hi,
mir sind ein paar grammatikalische Fehler im Text unter der Überschrift "Iterationsformel" aufgefallen:
1. "für den jeweils nächsten Schrittes" sollte wohl eher "für den jeweils nächsten Schritt" heißen
2. "dies kannst in der Grafik mit der Rechenmaschiene" sollte wohl eher "dies kannst du in der Grafik mit der Rechenmaschine erkennen" heißen
Renate 2018-01-24 19:38:21+0100
Hallo @Benedict,
danke für die Hinweise - ich denke, da hast du beide Male recht!
Hast du Lust, es gleich selbst zu verbessern?

Viele Grüße
Renate
Benedict 2018-01-25 17:01:11+0100
Ja, ist erledigt und wartet auf freigabe:)
Renate 2018-01-25 21:34:16+0100
Danke! Ich habe es gerade eben freigegeben. :)

Dann kann ich die Diskussion hier archivieren? Oder hast du inzwischen noch mehr Fehler im Artikel entdeckt?
Benedict 2018-01-26 13:06:31+0100
Sonst hab ich keine Fehler mehr gefunden.
Renate 2018-01-27 08:34:58+0100
Danke!

Jetzt hab' ich selbst allerdings noch ein paar Schreibfehler gefunden - unten, im Abschnitt Wertetabelle ("jewails", "übergang"...).
Ich denke, ich bessere das jetzt rasch noch selbst aus, und dann wird die Diskussion hier wirklich archiviert.

Für neue Probleme dann neue Diskussionen! :)

Gruß, und hoffentlich bis bald mal wieder
Renate