Aufgaben

Manche ebene geometrische Figuren werden alleine durch ihren Umfang oder alleine durch ihren Flächeninhalt bestimmt.

Einige ebene geometrische Formen sind umfangsstabil. Das heißt, flächengleiche Figuren solch einer Form haben auch gleichen Umfang.

Welche der folgenden Aussagen stimmt?

Klicke die Zutreffenden an!

Umfang und Fläche vergleichen

Leider nein. Probier's nochmal!

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

Umfang und Flächeninhalt

Bei dieser Aufgabe geht es um den Zusammenhang von Umfang und Flächeninhalt bei Kreisen, bei Dreiecken und bei Quadraten.

Quadrate sind umfangsstabil:

Je größer der Umfang eines Quadrats, desto größer sein Flächeninhalt.

Genauer gilt mit der Quadratseite %%a%%:

%%\displaystyle U_{Q} =4\cdot a\quad \Rightarrow\quad a=\frac{U_{Q}}{4}\quad%% und somit:

%%\displaystyle A_{Quadrat} = a^2\;=\left(\frac {U_{Q}}{4}\right)^2=\frac {1} {16}\cdot \left(U_{Q}\right) ^2%%

Kreise sind umfangsstabil:

Je größer der Umfang eines Kreises, desto größer sein Flächeninhalt.

Genauer gilt mit dem Radius %%r%%:

%%\displaystyle U_{r}= 2r\pi\quad\Rightarrow\quad r= \frac {U_{r}}{2\pi}\quad%% und somit:

%%\displaystyle A_{Kreis}= r^2\cdot \pi=\frac{1}{4\pi}\cdot\left(U_{r}\right)^2%%

Dreiecke sind nicht umfangsstabil:

Vergleiche die Dreiecke in der nebenstehenden Grafik:

Wegen gleicher Grundlinie und gleicher Höhe haben alle fünf Dreiecke gleiche Fläche aber unterschiedliche Umfänge.

nicht umfangsgleiche Dreiecke

Ergänzung:

Gleichseitige Dreiecke sind umfangsgleiche geometrische Formen:

Bei gegebener Dreieckseite %%a%% gilt:

%%\displaystyle U_{gl.s.Dr.}=3\cdot a\quad \Rightarrow\quad a=\frac{U_{gl.s.Dr.}}{3}\quad%% und somit:

%%\displaystyle A_{gl.s.Dr.}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot a^2=\frac{\sqrt{3}}{36}\cdot \left(U_{gl.s.Dr.}\right)^2%%

Ein vorgegebener Umfang bestimmt also den Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks eindeutig.

Die Behauptung "Je größer der Umfang eines Dreiecks, desto größer sein Flächeninhalt" gilt demnach nur für gleichseitige Dreiecke.

Zeige, dass ein Rechteck nicht formstabil ist:

Erzeuge zur Begründung im nebenstehenden Applet durch Verschieben des Reglers 5 weitere Rechtecke.

Worin stimmen alle 6 Rechtecke überein?

Worin unterscheiden sie sich?

Zusammenhang von Umfang und Fläche beim Rechteck

Bei dieser Aufgabe entdeckst du, dass Rechtecke bei gleichem Umfang unterschiedliche Flächeninhalte haben können.

Die Maße der Rechtecke:

%%\begin{array}{lccccccc} &\text{a}&\text{b}&\text{Umfang}&\text{Fläche}\\ \hline\text{Rechteck}\,1 &0,3\,\text{LE}&1,7\,\text{LE}&4\,\text{LE}&0,51\,\text{LE}^2\\ \text{Rechteck 2}& 0,6\,\text{LE}&1,4\,\text{LE}&4\,\text{LE}&0,84\,\text{LE}^2\\ \mathrm{Rechteck}\,3&0,9\,\text{LE}&1,1\,\text{LE}&4\,\text{LE}&0,99\,\text{LE}^2\\ \text{Rechteck 4}&1,2\,\text{LE}&0,8\,\text{LE}&4\,\text{LE}&0,96\,\text{LE}^2\\ \text{Rechteck 5}&1,5\,\text{LE}&0,5\,\text{LE}&4\,\text{LE}&0,73\,\text{LE}^2\\\text{Rechteck 6}&1,8\,\text{LE}&0,2\,\text{LE}&4\,\text{LE}&0,36\,\text{LE}^2\end{array}%%

Ergebnis:

Alle Rechtecke haben gleichen Umfang, aber unterschiedliche Flächeninhalte.

Dazu könnte man auch sagen, Rechtecke sind nicht formstabil.

Naheliegend ist dadurch die Überlegung:

Welche Rechtecksform liefert bei einem Rechtecksumfang von %%4\,\text{LE}%% die größte Fläche?

Diese Extremwertaufgabe löst du in der nächsten Aufgabe.

Ein Rechteck habe den Umfang %%U=4\,\text{cm}%%. Berechne die Seitenlängen %%a%% und %%b%% so, dass das Rechteck den größtmöglichen Flächeninhalt %%A%% besitzt.

In dieser Aufgabe bestimmst du das größtmögliche Rechteck durch die Ableitung oder alternativ durch die quadratische Ergänzung der Zielfunktion.

Der Umfang %%U%% des Rechtecks beträgt %%4\,\text{cm}%% bei den noch nicht bekannten Seitenlängen %%a\,\text{cm}%% und %%b\,\text{cm}%%.

Gesucht ist der größtmögliche Flächeninhalt %%A%% des Rechtecks.

Die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks ergibt deshalb die Zielfunktion.

Grafische Veranschaulichung:

Rechteck

Hinweis:

Haben bei Extremwertaufgaben die betrachteten Größen die gleiche Maßeinheit, begnügt man sich bei den verwendeten Funktionen meist auf die Angaben der jeweiligen Maßzahlen.

Zielfunktion:

%%A(a;b)=a\cdot b%%

Die Formel für den vorgegebenen Umfang ist die Nebenbedingung der Extremwertaufgabe

Nebenbedingung:

%%U(a;b)=2\cdot a + 2\cdot b%%

Setze in die Nebenbedingung für %%U(a;b)%% den Wert 4 ein.

%%2a+2b=4%%

Löse die Gleichung nach %%b%% auf. (Du könntest auch nach %%a%% auflösen.)

%%\Rightarrow\quad\; b=2-a%%

Setze in der Zielfunktion für %%b%% den Term %%2-a%% an.

Beachte: %%A%% wird dadurch zu einer Funktion der einen Varaiablen %%a%%.

%%A(a)=a\cdot (2-a)%%

Multipliziere die Klammer aus.

Für %%a%% gilt: %%a\in\,]0;2[%%.

%%A(a)=-a^2+2a;\quad\mathbb {D}_A=\;]0;2[%%

Bilde die 1. Ableitung der Zielfunktion %%A(a)%%.

%%A'(a)=-2a+2%%

Setze %%A'(a)%% gleich Null und löse nach %%a%% auf.

%%\begin{align}-2a+2&=0\\ a&=1\end{align}%%

Überprüfe mit der 2. Ableitung, dass %%a=1%% tatsächlich für die Zielfunktion ein Maximum ergibt.

%%A''(a)=-2%%

%%A''(a)%% ist eine konstante Funktion. Somit ist auch %%A''(1)=-2< 0%% und %%a=1%% ergibt einen maximalen Flächeninhalt.

Setze %%a=1%% in die Nebenbedingung ein, um auch die 2. Rechtecksseite %%b%% zu erhalten.

%%b=2-1=1%%

Ergebnis:

Das Rechteck, das bei einem gegebenen Umfang von 4%%\,\text{cm}%% den größtmöglichen Flächeninhalt besitzt, ist ein Quadrat mit der Seitenlänge 1%%\,\text{cm}%%. Der gesuchte Flächeninhalt ist also %%1\,\text{cm}^2%%.

Alternative Lösung

Der Graph der Zielfunktion %%A(a)=-a^2+2a;\quad \mathbb{D}_A=]0;2[%% ist eine nach unten geöffnete Parabel. Ihr Maximum ist der Scheitelpunkt.

Diesen kann man durch eine quadratische Ergänzung ermitteln.

Grafische Veranschaulichung

Parabel

%%A=-a^2+2a%%

Klammere -1 aus.

%%\quad=-(a^2-2a)%%

quadratisch ergänzen

%%\quad=-(a^2-2a\color{red}{+1^2}\color{green}{-1^2})%%

zur binomischen Formel zusammenfassen

%%\quad= -(a-1)^2+1%%

den Scheitelpunkt ablesen

%%\Rightarrow\quad S(1|1)%%

aus der Zielfunktion für %%a=1%% den maximalen Flächeninhalt bestimmmen-

%%\Rightarrow \quad A_{max}=A(1)=-1^2+2\cdot 1= 1%%

Welcher Punkt auf der Geraden g mit der Funktionsgleichung %%\mathrm g(\mathrm x)=\mathrm x+1%% hat vom Punkt %%\mathrm T\left(3\;\left|\;-1\right.\right)%% minimalen Abstand?

Wie groß ist dieser minimale Abstand?

Fertige zunächst eine Skizze an!

Abstand eines Punktes von einer Geraden

Bei dieser Aufgabe bestimmst du als Extremwertaufgabe denjenigen Punkt der Geraden, der von einem gegebenen Punkt außerhalb der Geraden den kleinsten Abstand hat.

Hinweis

Die Zielfunktion der Extremwertaufgabe ist der Abstand zweier Punkte. Damit ergibt sich die Zielfunktion (über den Satz des Pythagoras) als eine Wurzelfunktion.

Da für diejenigen Punkte, für die ihr Abstand minimal oder maximal wird auch das Quadrat ihres Abstands ein Extremum ergibt, verwendet man der Bequemlichkeit halber - z.B. für die einfachere Berechnung der Ableitung - das Quadrat des Abstandes als Zielfunktion.

Skizze

Darstellung und Analyse des Funktionsgraphen

Der Zeichnung entnimmst du die Zielfunktion und die Nebenbedingung dieser Extremwertaufgabe.

Zielfunktion

Abstand der Punkte %%P%% und %%T%%.

Nebenbedingung

Der Punkgt %%P%% liegt auf der Geraden

%%y=x+1%%

Berechne die Zielfunktion mit Hilfe des Satzes vom Pythagoras.

%%\overline{TP}^2(x_P;y_P)=(3-x_P)^2+(y_P+1)^2%%

Setze die Nebenbedingung in die Zielfunktion ein.

Die Zielfunktion ist dann Funktion von nur noch einer Variablen %%x_P%%.

%%\overline{TP}^2(x_p)=(3-x_p)^2+(x_p+2)^2%%

Ausquadrieren

%%\overline{TP}^2=9-6x_p+x_p^2+x_p^2+4x_p+4%%

Zusammenfassen und ordnen

%%\overline{TP}^2(x_p)=2(x_p)^2-2x_p+13%%

Wurzelziehen

%%\overline{TP}(x_P)=\sqrt{2(x_P)^2-2x_P+13}%%

Beachte für Extremwertaufgaben mit einer Abstandsbedingung:

Für alle Punkte, für die der Abstand minimal oder maximal wird, ist auch das Quadrat des Abstandes minimal bzw. maximal, da gilt:

%%0 < \overline{TP_1} < \overline{TP_2} \;\Leftrightarrow \;\overline{TP_1}^2 < \overline{TP_2}^2%%.

Da die Ableitung für %%\overline{TP}^2%% bequemer zu berechnen ist, als für %%\overline{TP}%% (keine Wurzel!), benutzt man als Zielfunktion ab hier das Quadrat des Abstandes.

%%\overline{TP}^2(x_P)=2(x_P)^2-2x_P+13%%

Bilde die Ableitung.

%%\overline{TP}^2(x_P)'=4x_P-2%%

Setze die Ableitung gleich Null.

%%\begin{align}4x_P-2&=0\\ x_P&=0,5\end{align}%%

Überzeuge dich durch die 2. Ableitung der Zielfunktion, dass %%x_P=0,5%% ein Minimum des Quadrats des Abstandes liefert.

%%\overline{TP}^2(x_P)''=+4>0%%

%%\Rightarrow x_P=0,5%%

%%\text{liefert Minimum}.%%

Bestimme aus der Nebenbedingung %%y_P%%.

%%y_P=0,5+1=1,5%%

%%\Rightarrow%% %%P(0,5|1,5)%% ist der gesuchte Punkt.

Berechne jetzt %%\overline{TP}%%, nicht nur %%\overline{TP}^2%%!!

Ergebnis:

Der minimale Abstand des Punktes %%T(3|-1)%% von der Geraden %%y=x+1%% beträgt:

%%\overline{TP}\,\text{LE}=\sqrt{2\cdot 0,25-2\cdot 0,5+13}\,\text{LE}=\sqrt{12,5}\,\text{LE}\approx 3,54\,\text{LE}.%%

Alternative Lösung

Ohne Kenntnisse aus der Differenzialrechnung kannst du die Aufgabe auch mit einer geometrischen Überlegung lösen:

Der gesuchte Punkt der Geraden %%g%% mit kleinstem Abstand zum Punkt %%T%% ist der Lotfußpunkt %%F%% vom Punkt %%T%% auf die Gerade %%g%%.

Er kann

a) als Gleitpunkt auf der Geraden oder

b) als Schnittpunkt zweier Geraden

berechnet werden.

a) Der Lotfußpunkt %%F%% als Gleitpunkt auf %%g%%.

Wenn die Strecke %%[AF]%% auf der Geraden %%g%% senkrecht stehen soll, muss für deren Steigungen %%m_{[TF]}%% und %%m_g%% gelten:

%%\color{red}{m_{[TF]}\cdot m_g=-1}%%.

Also:

%%\displaystyle\begin{align}\underbrace{\frac{y_F+1}{x_F-3}}_{\color{red}{=\;m_{[TF]}}}\cdot \underbrace{1}_{\color{red}{=\,m_g}} &=-1\,\;|\;y_F\, ersetzen\\ \frac{x_F+2}{x_F-3}&=-1\quad|\,x_F-3\\ x_F+2&=-x_F+3\\ x_F&=0,5\\ \Rightarrow\;F(0,5|1,5)\end{align}%%

Fällung des Lots auf den Funktionsgraphen

b) Der Lotfußpunkt %%F%% als Schnittpunkt der Lotgeraden %%l%% und der Geraden %%g%%.

%%l:\displaystyle \frac{y+1}{x-3}=-1\quad|\;\cdot (x-3)%%

%%l:y=-x+2%%

%%g:y=x+1%%

%%g\cap l:%%

%%\begin{align}x_F+1&=-x_F+2\\ x_F&=0,5\end{align}%%

%%\Rightarrow\;F(0,5|1,5)%%

Einzeichnung des Lotsfußpunktes

Im nachfolgenden Applet kannst du die Rechnung überprüfen, indem du den Geradenpunkt %%F%% verschiebst.

Langfristige Klimaprognosen prophezeien auch für unser Wetter zunehmende Sturmschäden, von denen auch Bahnstrecken betroffen sein können.

%%\quad\quad%%Sturmschaden

Neben der Bahnlinie %%b(x)=0,5x+1%% steht im Punkt %%A(5|1)%% eine %%20\,m%% hohe Fichte.

Ob sie für die Bahnstrecke eine Gefahr darstellt?

Skizze der Situation in einem Koordinatensystem

Der Baum stellt dann eine Gefahr für Züge dar, wenn sein Abstand zur Bahn kleiner ist als seine Höhe.

Bei einem Sturm könnte er entwurzelt werden und auf die Bahnstrecke fallen.

Skizze der Sicherheitszone

Die drei möglichen unterschiedlichen Lösungswege für die gestellte Aufgabe:

  1. Berechnung der Lösung als Extremwertaufgabe: Welcher Punkt der Funktion %%b(x)%% kommt dem Punkt %%A%% am nächsten?

  2. Konstruktion und/oder Berechnung des Fußpunktes des Lotes von %%A%% auf die Gerade %%b(x)%% und Bestimmung seines Abstands zu %%A%%.

  3. Betrachtung der Sicherheitszone des gegebenen Baumes und ihre Lage zur Bahnstrecke.

Bei dieser Aufgabe sollst du den Abstand eines Punktes von einer Geraden als Extremwertaufgabe berechnen und das Ergebnis in seiner praktischen Bedeutung eines notwendigen Sicherheitsabstandes deuten.

Hinweis:

Die benötigten Funktionen werden nur mit den Maßzahlen der Größen (ohne ihre Maßeinheit) erstellt.

Zielfunktion

Zu minimieren ist der Abstand der beiden Punkte %%P%% und %%A%%.

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

%%\overline{PA}%%

%%=d(x,y) = \sqrt{(5-x)^2 + (y-1)^2}%%

Einzeichnen eines rechtwinkligen Dreiecks

Der verschiebbare Punkt %%P%% gehört zur Funktion %%y=0,5x+1%%. Dies ist die Nebenbedingung für die Zielfunktion %%d(x,y)%%.

Die Nebenbedingung in die Zielfunktion %%d(x,y)%% eingesetzt ergibt:

%%d(x) = \sqrt{(5-x)^2+(0,5x+1-1)^2}%%

Beachte, dass die Zielfunktion jetzt nur noch von der einen Variablen x abhängt.

Fasse zusammen.

%%d(x)=\sqrt{1,25x^2-10x+25}%%

Beachte: Für denselben - noch zu berechnenden x-Wert - für den %%d(x)%% ein Minimum wird, wird auch der Term %%d^2(x)%% minimal.

Quadriere deshalb die Gleichung.

%%d^2(x)=1,25x^2-10x+25%%

Bilde die 1. Ableitung von %%d^2(x)%%.

%%\left(d^2\right)'(x)=2,5x-10%%

Setze %%\left(d^2\right)'(x)%% gleich Null und löse die Gleichung nach x auf.

%%\begin{align} 2,5x - 10 &=0\\ 2,5x&=10\\ x&=4\end{align}%%

%%x=4%% liefert ein kleinstes %%d%%, wenn die 2. Ableitung %%\left(d^2\right)''(4)%% positiv ist.

%%\left(d^2\right)''(x)=2,5\gt0%%

Setze %%x=4%% in die Nebenbedingung ein.

%%y=0,5\cdot4+1=3%%

%%\Rightarrow P(4|3)%% ist der gesuchte Punkt auf der Bahnstrecke mit minimalem Abstand zu Punkt %%A%%.

Setze die Koordinaten von %%P%% in %%d%% ein (nicht in %%d^2%%).

%%d=\sqrt{(5-4)^2+(3-1)^2}=\sqrt{5}\approx{2,24} \,LE\approx22,4\,m%%

Da der Baum nur %%20\,m%% hoch ist, kann er - vorausgesetzt, ein Sturm trägt einzelne Äste nicht noch weiter - auch dann, wenn er entwurzelt umfällt, die Bahnstrecke nicht gefährden.

Im Applet kannst du den Punkt P verschieben und den jeweiligen Abstand zu %%A%% ablesen.

Alternative Lösung

Der als Extremwert berechnete Punkt %%P(4|3)%% mit minimalem Abstand von %%A%% zur Geraden %%b%% kann auch als Lotfußpunkt des Lotes von %%A%% auf die Gerade %%b%% konstruiert oder berechnet werden.

Die Konstruktion des Lotfußpunktes:

Der Kreis um %%A%% mit %%r=3\,LE%% schneidet die Gerade %%b%% in %%E%% und %%F%%.

Die Kreise um %%E%% und %%F%% mit %%r=3\,LE%% schneiden sich in %%G%% und %%A%%.

Die Geraden %%b%% und %%GA%% schneiden sich im Lotfußpunkt %%P%%.

Die Konstruktion kann im obigen Applet schrittweise nachvollzogen werden. Benutze dazu die Konstruktionsleiste im unteren Teil des Applets.

Die Berechnung des Lotfußpunktes:

Schneide die Gerade %%b: y = 0,5x+1%% mit der dazu senkrechten Geraden %%s%% durch den Punkt %%A(5|1)%%.

%%b: y = 0,5x + 1%%

Lies die Steigung %%m_b%% für die Gerade b aus der Funktionsgleichung ab.

%%m_b=0,5%%

Für die zu %%m_b%% senkrechte Steigung %%m_s%% gilt: %%m_b\cdot m_s=-1%%.

Berechne %%m_s%%.

%%\begin{align}0,5\cdot m_s&=-1\\ m_s&=-1:0,5\\ m_s&=-2\end{align}%%

Stelle die Gleichung für die Lotgerade %%s%% durch %%A%% auf.

Benutze die Formel

%%\displaystyle s:\frac{y-y_A}{x-x_A}=m_s%%.

%%\displaystyle s: \frac{y-1}{x-5}=-2%%

Multipliziere mit dem Nenner und löse nach y auf.

%%s:y=-2x+11%%

Schneide %%s%% mit %%b%% indem du die Funktionsterme gleichsetzt.

%%\begin{align}-2x+11&=0,5x+1\\ -2,5x&=-10\;\;|:-2,5x\\ x&=4\end{align}%%

Setze %%x=4%% in %%b(x)%% ein.

%%b(4)=0,5\cdot4+1=3%%

%%\Rightarrow%% %%P(4|3)%% ist der gesuchte Lotfußpunkt.

Ergänzende Betrachtung der Aufgabenstellung

Die Kreisfläche um %%A%% mit Radius %%20\,m%% (= Baumhöhe) beschreibt die Sicherheitszone falls der Baum bei Sturm umstürzen würde.

Da in der Aufgabenstellung lediglich gefragt wird, ob der Baum für die Bahnstrecke "gefährlich" sein könnte, genügt es, rechnerisch oder graphisch nachzuweisen, ob der Sicherheitskreis die Gerade %%b(x)=0,5x+1%% schneidet oder nicht.

Die graphische Lösung:

Die Kreisfläche um %%A%% mit Radius %%20\,m%% erreicht die Bahnstrecke nicht.

Graphische Lösung durch Einzeichnen des Kreises

Der rechnerische Nachweis, dass der Kreis %%k(A;2\,LE)%% die Gerade %%b(x)=0,5x+1%% nicht schneidet:

Benutze zum Schnitt die Kreisgleichung

%%(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r^2%%

für einen Kreis um den Punkt %%A%% mit Radius %%r%% und die Geradengleichung %%y=b(x)%%.

Die Kreisgleichung:

%%(x-5)^2+(y-1)^2=4%%

Die Geradengleichung:

%%y=0,5x+1%%

Setze %%y=0,5x+1%% in die Kreisgleichung ein. Fasse die entstehende quadratische Gleichung zusammen.

%%\begin{align}(x-5)^2+(\color{red}{0,5x+1}-1)^2&=4\\ x^2-10x+25+0,25x^2&=4\\ 1,25x^2-10x+21&=0\end{align}%%

Gib die Diskriminante %%D%% an.

%%\;\;\;\,\,D=100-4\cdot1,25\cdot21=-5%%

Da die Diskriminante negativ ist, schneiden sich der "Sicherheitskreis" um %%A%% und die Bahnstrecke nicht.

Welcher Punkt P auf der Parabel mit der Funktionsgleichung %%\mathrm f(\mathrm x)=0,5\mathrm x^2-2%% hat vom Punkt %%\mathrm T\left(0\;\left|\;3,5\right.\right)%% minimalen Abstand?

Wie groß ist dieser minimale Abstand?

Bei dieser Aufgabe sollst du den minimalen Abstand eines Parabelpunktes von einem vorgegebenen Punkt "innerhalb" der Parabel als Extremwertaufgabe berechnen.

Graph Funktion Parabel

Der Zeichnung entnimmst du die Zielfunktion und die Nebenbedingung dieser Extremwertaufgabe.

Zielfunktion:

Abstand der beiden Punkte %%T%% und %%P%%.

Nebenbedingung:

Der Punkt %%P%% liegt auf der Parabel.

Gib die Zielfunktion an. Benutze dazu den Satz des Pythagoras.

Gib die Funktionsgleichung der Nebenbedingung an.

%%\overline{TP}^2=x_P^2+(3,5-y_P)^2%%

%%\overline{TP}=\sqrt{x_P^2+(3,5-y_P)^2}%%

Beachte: Für alle Punkte, für die der Abstand minimal wird, wird auch das Quadrat des Abstandes minimal.Deshalb nimmt man %%\overline{TP}^2%% als Zielfunktion.

Dies erleichtert die Rechnung.

Zielfunktion:

%%\overline{TP}^2=x_P^2+(3,5-y_P)^2%%

Nebenbedingung:

%%y_P=0,5x_P^2-2%%

Setze die Nebenbedingung in die Zielfunktion ein.

%%\overline{TP}^2(x_P)=x_P^2+(3,5-0,5x_P^2\color{red}{+}2)^2%%

Fasse in der Klammer zusammen und quadriere mit der binomischen Formel.

%%\overline{TP}(x_P)^2=0,25x_P^4-4,5x_P^2+30,25%%

Bilde die Ableitung

%%\overline{TP}^2(x_P)'=x_P^3-9x_P%%

Setze die Ableitung gleich Null und löse die Gleichung.

%%\begin{align}x_P^3-9x_P&=0\\ x_P(x_P^2-9)&=0\\ x_{P1}&=0\\ x_{P2}&=+3\\ x_{P3}&=-3\end{align}%%

Untersuche, für welche der Lösungen die 2. Ableitung positiv ist, damit jeweils ein Minmum vorliegt

%%\begin{align}\overline{TP}^2(x_P)''&=3 x_P^2- 9\\ \overline{TP}^2(0)&=-9\\ \overline{TP}^2(\pm3)&=+18\end{align}%%

%%x_P=0%% ergibt ein lokales Maximum des Abstandsquadrats.

%%x_p=-3%% und %%x_P=+3%% liefern ein Minimum des Quadrat des Abstandes und damit auch ein Minimum des Abstands.

Gib die drei Punkte und den dazu gehörigen Abstand an.

Einsetzen der drei %%x_P%%-Werte in die Nebenbedingung:

%%y(0)=-2%% %%\quad\Rightarrow%% %%P_0(0|-2)%% %%\text {und}%% %%\quad\overline{TP_0}=\sqrt{30,25}=5,5%%

%%y(\pm{3})=0,5\cdot9-2=2,5%% %%\;\Rightarrow%% %%\;P_{2|3}(\pm{3}|2,5)%% und %%\overline{TP_{2/3}}=\sqrt{0,25\cdot81-4,5\cdot9+30,25}=\sqrt{10}\approx3,16%%

Ergebnis:

Die beiden Punkte %%P_1(-3|2,5)%% und %%P_2(+3|2,5)%% haben von der Parabel mit rund %%3,16\,\text{LE}%% den geringsten Abstand.

Im nachfolgenden Applet kannst du dies überprüfen indem du den Punkt %%P%% verschiebst.

Alternative Lösung

Bei dieser Lösung ermittelst du in Frage kommende Parabelpunkt über eine Betrachtung von Tangenten der Parabel.

Für die drei Extremumspunkte %%P_1%%, %%P_2%% ,%%P_3%% gilt:

Die jeweilige Verbindungsstrecke zum Punkt %%T%% steht senkrecht auf der Parabeltangente.

Graph Funktion Parabel

Parabel: %%\quad\quad\quad\quad p(x)=0,5x^2-2%%

Tangentensteigung:%%\;p'(x)=x%%

Gib die Steigung %%m%% von %%[TP]%% an.

%%\displaystyle m_{[TP]}=\frac{y-3,5}{x}=\frac{0,5x^2-5,5}{x}\quad x\neq0%%

Lotbedingung ansetzen!

%%\begin{align} m_{[TP]}\cdot p'(x)&=-1\;\;\;\;x\neq0\\ \frac{0,5x^2-5,5}{x}\cdot{x}&=-1\\ 0,5x^2-5,5&=-1\\ x^2&=9\\ x_{2/3}&=\pm3\end{align}%%

Damit sind - auf anderem Weg - die x-Koordinaten der beiden Lösungspunkte der Extremumsaufgabe gefunden.

Zusatz:

Auch für den Punkt %%P(0|-2)%% ("Maximumspunkt") steht die Tangente senkrecht auf der Verbindungsstrecke zu %%T%%.

Umsätze

Der Absatz (Verkaufszahlen) einer Ware ist wesentlich abhängig vom Preis %%p%%. Je höher der Preis, desto geringer ist in der Regel der Absatz.

Diesen Zuammenhang beschreibt die Preis-Absatz-Funktion (PAF)

Der Umsatz (Verkaufserlös) %%U(p)%% ist als Produkt aus Absatz und Preis eine Wertgröße.

Eine Firma verkauft pro Monat von einem Artikel %%n%% Stück zu einem Stückpreis von %%p\,€%%.

Die Preis-Absatz-Funktion ist gegeben durch:

%%PAF\;\;n(p)=1200-3\cdot p%%

Bestimme den monatlichen Umsatz in Abhängigkeit vom Stückpreis p.

Für welchen Preis p ist der Umsatz maximal?

In dieser Aufgabe aus dem Wirtschaftsleben sollst du den Zusammenhang zwischen Warenpreis und Verkaufserfolg, der am Umsatz gemessen wird, erfassen und den maximalen Umsatz als Extremwertaufgabe berechnen.

Anmerkung: Diese Lösungsskizze rechnet ohne Einheiten.

Gesucht: %%U(p)%% und optimaler Preis

Stelle die Zielfunktion %%U%% auf: monatlicher Umsatz = Stückzahl mal Preis.

%%U(p)=n(p)\cdot p%%

Erkenne die Nebenbedingung, die durch die Preis-Absatz-Funktion %%PAF%% gegeben ist.

%%PAF%%:

%%n(p)=1200-3\cdot p\quad D_{PAF}=[0;400]%%

Bestimme die Extremalfunktion %%U(p)%%, also den monatlichen Umsatz in Abhängigkeit vom Preis, indem du in %%U%% die Nebenbedingung einsetzt.

%%U(p)=\left(1200\;-\;3\cdot p\right)\cdot p=1200p-3p^2%%

Berechne die erste und zweite Ableitung.

$$U'(p)=1200-6p$$

$$U''(p)=-6$$

Setze die erste Ableitung gleich Null und erkenne anhand der zweiten Ableitung, dass es sich um ein Maximum handelt.

$$U'(p)=1200-6p=0$$

$$p=200$$

$$U''(200)=-6<0$$

Berechne %%U_{max}%%.

%%U_{max}=U(200)=(1200-3\cdot 200)\cdot 200=120\,000\,%%

Ergebnis:

Der maximale monatliche Umsatz der Firma beim Verkauf des Artikels beträgt %%120\,000\,€%% bei einem Stückpreis von %%200\,€%%.

Dem abgebildeten Dreieck soll ein Rechteck mit möglichst großem Flächeninhalt einbeschrieben werden.

Berechne den größtmöglichen Flächeninhalt.

Rechteck einbeschreiben

Bei dieser Aufgabe ist einem Dreieck ein größtmögliches Rechteck einzubeschreiben. Es handelt sich also um eine Extremwertaufgabe

Hinweis zu Einbeschreibungsaufgaben

Ein Rechteck einer anderen geometrischen Figur "einzubeschreiben", bedeutet, dass alle Eckpunkte des einzubeschreibenden Rechtecks auf den Randlinien der größeren Figur liegen sollen. einbeschriebene Figuren

Wenn ein Rechteck einem Dreieck einbeschrieben ist, muss mindestens eine Rechtecksseite auf einer Dreiecksseite liegen.

Bei einem rechtwinkligen Dreieck können zwei Rechtecksseiten auf den Katheten liegen.

Stumpfwinkligen Dreiecken können Rechtecke nur über der längsten Seite einbeschrieben werden.

Rechtecke im stumpfwinkligen Dreieck

Wenn du eine Rechtecksseite auf die Grundlinie des Dreiecks legst, bedeutet die Forderung des "Einbeschreibens", dass die beiden weiteren Rechteckspunkte %%P%% und %%Q%% jeweils auf den anderen Seiten des Dreiecks liegen. Dies ergibt zwei Nebenbedingungen für die Extremwertaufgabe.

Da der Flächeninhalt maximiert werden soll, benötigst du zunächst als Zielfunktion die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks, in die du dann die Nebenbedingungen "einarbeiten" musst.

Rechteck in Dreieck

Zielfunktion

%%A(a;b)=a\cdot b%% %%\quad%%mit%%\quad a=x_P\color{red}{-}x_Q\;(\text{da}\,x_Q<0)%%

%%\quad\quad\quad\;\,\quad\quad\quad \text{und}\;\;\, b=y_P\quad%%also:

%%A(x_P;y_P;x_Q)=(x_P-x_Q)\cdot y_P%%

1. Nebenbedingung

%%P(x_P|y_P)%% liegt auf der Geraden %%p%%.

Stelle die Gerade %%p%% auf.

%%\displaystyle m_P=\frac{4-0}{0-6}=-\frac23%%

%%t=4%%

%%\Rightarrow\,(1)\;p:\,y_P=-\frac23\cdot x_P+4%%

Gib die 2. Nebenbedingung an.

2. Nebenbedingung

%%Q(x_Q|\color{red}{y_P})%% liegt auf der Geraden %%q%%.

Stelle die Gerade %%q%% auf.

%%\displaystyle m_Q=\frac{4-0}{0+2}=+2%%

%%t=4%%

%%\Rightarrow\;(2)\;q:\,y_P=2\cdot x_Q+4%%

Löse nach %%x_Q%% auf.

%%x_Q=0,5\cdot y_P-2%%

Setze für %%y_P%% aus (1) ein.

%%x_Q=0,5(-\frac23 x_P+4)-2%%

%%x_Q=-\frac13 \cdot x_P%%

Setze %%y_P=-\frac23 \cdot x_P+4%% und %%x_Q=-\frac13 \cdot x_P%% in die Zielfunktion %%A(x_P;y_P;x_Q)=(x_P-x_Q)\cdot y_P%% ein, um die Zielfunktion in Abhängigkeit der einzigen Variablen %%x_P%% zu erhalten.

%%\displaystyle\begin{align}A(x_P)&=(x_P+\frac13 x_P)\cdot (-\frac23 x_P+4)\\ &=\frac43 x_P\cdot (-\frac23 x_P+4)\\ A(x_P)&=-\frac89x_P^2+\frac{16}{3}x_P\end{align}%%

%%\mathbb{D}=]0;6[%%

Bilde die Ableitung %%A'(x_P)%%.

%%\displaystyle A'(x_P)=-\frac{16}{9}x_P+\frac{16}{3}%%

Setze %%A'(x_P)%% gleich Null und löse die Gleichung.

%%\begin{align}\displaystyle -\frac {16}{9} x_P+\frac{16}{3}&=0\;|\cdot-\frac{9}{16}\\ x_P-3&=0\\ x_P&=3\end{align}%%

Überprüfe mit der 2. Ableitung, ob sich für %%x_P=3%% tatsächlich ein Maximum ergibt.

%%A''(x)=-\frac{16}{9}%%

%%A''(x)%% ist eine konstante Funktion. Somit ist auch %%A''(3)<0%% und %%x_P=3%% ergibt eine größtmögliche Rechtecksfläche.

Setze %%x_P=3%% in die Fläche %%A(x_P)%% ein.

Flächeninhalt:

%%\displaystyle A(x_P)=-\frac89\cdot x_P^2 +\frac{16}{3}\cdot x_P%%

%%\Rightarrow%%

%%\displaystyle A(3)=-\frac89 \cdot 9+\frac{16}{3} \cdot 3=8%%

Setze %%x_P=3%% auch noch in die 1. Nebenbedingung ein, um die 2. Koordinate des Eckpunktes P zu erhalten.

Nebenbedingung:

%%\displaystyle y_P=-\frac23 \cdot x_P+4%%

%%\Rightarrow\quad y_P=-\frac23 \cdot 3+4=2%%

Ergebnis:

Mit dem Eckpunkt %%P(3|2)%% ist das größtmögliche Rechteck in das Dreieck einbeschrieben und hat den Flächeninhalt %%8\,\text{LE}^2%%.

Alternative Lösung 1

Der Graph der Zielfunktion %%\displaystyle A(x)=-\frac89 x^2+\frac{16}{3}x,\quad\mathbb{D}=]0;6[%%

ist eine nach unten geöffnete Parabel.

Ihr Maximum ist der Scheitelpunkt. Diesen kann man - außer über die Ableitung von %%A(x)%% - durch eine quadratische Ergänzung ermitteln.

Graphische Veranschaulichung

Lösungsparabel

%%\displaystyle A(x)= -\frac89x^2+\frac{16}{3}x%%

Klammere %%\displaystyle -\frac89%% aus.

%%\displaystyle\quad \quad= -\frac 89 (x^2-6x)%%

quadratisch ergänzen

%%\displaystyle \quad\quad= -\frac89 (x^2-6x \color{red}{+3^2})\color{red}{+8}%%

%%\displaystyle A(x)= -\frac89 (x-3)^2+8%%

Lies den Scheitelpunkt ab.

%%\Rightarrow\quad S(3|8)%%

Dessen 2. Koordinate liefert den gesuchten maximalen Flächeninhalt eines dem Dreieck einbeschriebenen Rechtecks.

%%A_{max}=8\;\text{LE}^2%%

Im nachfolgenden Applet kannst du durch Verschieben des Punktes P das Ergebnis kontrollieren.

Alternative Lösung 2

Die gestellte Aufgabe lässt eine verblüffend einfache Lösung zu. Dabei wird das Koordinatensystem nicht benötigt, sondern sie ergibt sich aus dem Strahlensatz.

Entscheidend für diese Möglichkeit ist, dass vom Dreieck %%ABC%% neben der Grundlinie %%\overline{AB}=8\,\text{LE}%% die Höhe auf diese Seite mit %%h=y(C)=4\,\text{LE}%% gegeben ist.

Zielfunktion ist die Formel für die Fläche des Rechtecks mit den Seitenlängen %%a\,LE%% und %%b\,LE%%. Also:

%%A(a;b)=a\cdot b%%

Grafische Veranschaulichung Strahlensatzfigur

Die Nebenbedingung ergibt sich aus dem Strahlensatz

Benutze den Strahlensatz.

%%\displaystyle \frac a8=\frac{4-b}{4}%%

Löse nach %%b%% auf.

%%b=-\frac 12 a + 4%%

Setze %%b%% in %%A(a;b)%% ein.

%%A(a)=a\cdot (-\frac 12 a+4)%%

%%A(a)=-\frac 12 a^2+4a%%

Die Zielfunktion %%A(a)%% ist eine nach unten geöffnete Parabel. Deshalb ergibt die y-Koordinate des Scheitelpunktes den maximal möglichen Flächeninhalt einbeschriebener Rechtecke.

Den Scheitelpunkt berechnest du über die Ableitung von %%A(a)%% oder mit einer quadratischen Ergänzung.

Ableitung von %%A(a)%%

%%A'(a)=-a+4%%

%%A'(a)=0\,\Rightarrow\,a=4%%

%%\Rightarrow\,A_{max}=8%%

quadratische Ergänzung

%%A(a)=-\frac{1}{2}(a^2-8a\color{red}{+4^2})\color{red}{+8}%%

%%=-\frac 12(a-4)^2+8%%

%%\Rightarrow\,S(4|8)%%

Vertiefung der Aufgabe

In der gegebenen Aufgabenstellung soll das Rechteck dem Dreieck %%ABC%% so einbeschrieben werden, dass eine Rechteckseite auf der Grundseite %%[AB]%% liegt.

Natürlich kann man Rechtecke auch so einbeschreiben, dass eine Rechteckseite auf einer der beiden anderen Dreieckseiten liegt.

Dann stellt sich die Frage: Haben die maximal möglichen Flächeninhalte auch bei den beiden anderen Lagen den gleichen Wert?

Dass dies tatächlich so ist, kannst du am folgenden Applet nachvollziehen, indem du die unterschiedlichen Gleitpunkte %%P_1%%, %%P_2%% oder %%P_3%% verschiebst.

Gegeben sei ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge %%a\,LE%%.

gleichseitiges Dreieck

Auf welche Weise kann man dem Dreieck Rechtecke einbeschreiben?

Klicke die richtige Antwort an.

Leider nein. Probier's nochmal!

Leider nein. Probier's nochmal!

Richtig!

Einem Dreieck ein Rechteck "einbeschreiben" bedeutet, dass jeder Eckpunkt des Rechtecks auf einer Dreiecksseite liegt. Zwei Eckpunke des Rechtecks müssen dann auf derselben Dreiecksseite liegen. Dafür kommt jede Dreiecksseite in Frage.

Also kann man einem gleichseitigen Dreieck auf dreifache Weise Rechtecke einbeschreiben.

Verschiebe zur Veranschaulichung im gegebenen Applet die Gleiterpunkte %%P_1%%, %%P_2%%, %%P_3%%.

Berechne den größtmöglichen Flächeninhalt eines Rechtecks, das dem Dreieck einbeschrieben werden kann.

Wie viel Prozent der Dreiecksfläche besitzt solch ein maximales Rechteck?

In dieser Aufgabe soll einem gleichseitigen Dreieck ein möglichst großes Rechteck einbeschrieben werden.

Lösungsstrategie:

Du berechnest als erstes die Höhe des gleichseitigen Dreiecks. Entweder mit Hilfe des Satzes des Pythagoras oder du entnimmst sie einer Formelsammlung.

Dann kannst du - ohne Koordinatensystem - die Nebenbedingung der Extremwertaufgabe mit Hilfe des Strahlensatzes aufstellen.

Höhe im gleichseitigen Dreieck (Pythagoras):

%%\begin{align}h^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2&=a^2\\ h^2&=a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2\\ h^2&=\frac 34a^2\\ h&=\frac a 2\sqrt 3\end{align}%%

Höhe im gleichseitigen Dreieck

Zielfunktion sei die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen %%x\,LE%% und %%y\,LE%%:

%%A(x;y)=x\cdot y%%

Die Nebenbedingung für %%x%% und %%y%% ergibt sich aus dem Strahlensatz:

Rechteck im gleichs. Dreieck

%%\displaystyle \frac {x} {a} = \frac {\frac{1}{2} a \sqrt{3}-y} {\frac{1}{2} a \sqrt{3}}%%

Löse die Gleichung nach %%y%% auf.

%%\displaystyle\begin{align}\frac{x}{a}&=\frac{\frac{1}{2} a \sqrt{3}-y}{\frac{1}{2} a \sqrt{3}}\quad|\cdot \frac{1}{2}a \sqrt{3}\\ \frac{x}{2} \sqrt{3}&=\frac{1}{2} a \sqrt{3}-y\quad |+y-\frac{x}{2}\ \sqrt{3}\\ y&=\frac{1}{2} \sqrt{3}\left(a-x\right)\end{align}%%

Setze %%y%% in die Zielfunktion %%A(x;y)=x \cdot y%% ein:

%%\begin{align} A(x)&=x\cdot\frac{1}{2} \sqrt{3}(a-x)\\ A(x)&=-\frac{1}{2} \sqrt{3}\cdot x^2+\frac{1}{2}\sqrt{3}\cdot a\cdot x\end{align}%%

%%\mathbb{D}_A=]0;a[%%

Bilde %%A'(x)%%.

%%A'(x)=- \sqrt{3}\cdot x+\frac{1}{2} \sqrt{3}\cdot a%%

%%A'(x)=\sqrt{3}(\frac 12a-x)%%

Setze %%A'(x)%% gleich Null.

%%\begin{align}\sqrt{3}(\frac 12a-x)&=0\quad\Rightarrow \\x&=\frac{1}{2}a\end{align}%%

Überprüfe, ob %%A''(0,5a)%% negativ ist, damit sich ein Maximum ergibt.

%%A''(x)=- \sqrt{3}%%

Ergebnis:

Die Breite des gesuchten flächengrößten Rechtecks ist gerade halb so groß wie die Seitenlänge des Dreiecks.

Für die Höhe %%y%% ergibt sich:

%%y=\frac 12 \sqrt{3}\cdot \frac12 a=\frac{a}{4}\sqrt{3}%%

Für die Fläche des gesuchten größten Rechtecks gilt:

%%\displaystyle A_{max}=\frac {a}{2}\cdot \frac{a}{4} \sqrt{3}= \frac{a^2}{8}\sqrt{3}%%

Der Flächeninhalt dieses Rechtecks ist gerade 50 Prozent der Dreiecksfläche, denn für diese gilt:

%%A_{Dreieck}= \frac 12 \cdot a\cdot \frac{a}{2} \sqrt{3}=\frac{a^2}{4} \sqrt {3}%%.

Erweiterung der Aufgabenstellung:

Aus der Punktsymmetrie eines gleichseitigen Dreiecks zu seinem Mittelpunkt folgt, dass alle drei einbeschreibbaren maximalen Rechtecke gleich groß sind.

Im nachstehenden Applet kannst du dies grafisch nachvollziehen, indem du die verschiedenen Gleiterpunkte verschiebst.

Beschreibe einem gleichseitigen Dreieck (Seitenlänge %%5\, cm%%) drei verschiedene gleichgroße Rechtecke mit dem Inhalt von jeweils %%4\,cm^2%% ein.

Tip

Berechne mit Hilfe des Strahlensatzes die Nebenbedingung für das Einbeschreiben von Rechtecken in ein gleichseitiges Dreieck (oder entnimm die Formel der vorangehenden Aufgabe).

Berechne daraufhin aus der Flächenformel für das Rechteck mit der sich ergebenden quadratischen Gleichung die möglichen Seitenlängen.

Runde die Ergebnisse auf ein sinnvolles Maß und konstruiere damit die gesuchten möglichen Rechtecke.

In dieser Aufgabe sind die Flächeninhalte der einzubeschreibenden Rechtecke vorgegeben. Folgender Lösungsplan für die Konstruktion ist möglich:

Über jeder Dreiecksseite kann es zwei verschiedene Rechtecke mit dem gleichen Inhalt von %%4\,LE%% geben. Konstruiere also z.B. diese beiden über der Dreiecksseite %%[AB]%% und ein drittes über der Dreiecksseite %%[AC]%%.

Bevor du konstruierst, musst du die Rechtecksseiten %%x\,LE%% und %%y\,LE%% berechnen. Benutze dazu eine Zielfunktion und die Nebenbedingung wie in der vorausgehenden Teilaufgabe b).

Durchführung:

Zielfunktion

%%A(x;y)=x\cdot y%%

Nebenbedingung

%%y=-\frac12 \sqrt{3}x+\frac 52 \sqrt{3}\;\Rightarrow%%

%%y=\frac 12 \sqrt{3}\left(-x+5\right)%%

Setze in der Zielfunktion für %%A(x;y)%% den Wert 4 und für y den Term der Nebenbedingung ein und ordne die entstehende quadratische Gleichung.

%%\begin{align}x\cdot\frac 12 \sqrt{3}(-x+5)&=4\\ \frac 12 \sqrt{3}x^2-\frac 52 \sqrt{3}+4&=0\quad|:\frac 12 \sqrt{3}\\ x^2-5x+\frac {8}{\sqrt{3}}&=0\\ \end{align}%%

Löse die Gleichung mit der Mitternachtsformel und runde die Ergebnisse.

%%x_1\approx{3,77}%%

%%x_2\approx{1,22}%%

Berechne die zugehörigen y-Werte.

%%y_1\approx{\frac 12 \sqrt{3}(-3,77+5)}\approx{1,06}%%

%%y_2\approx{\frac 12 \sqrt{3}(-1,22+5)} \approx3,27%%

Zur Konstruktion der Rechtecke benutzt du die berechneten y-Werte:

Rechteck 1 über %%[AB]%%: Zeichne eine Parallele zu %%[AB]%% im Abstand 1,06. Schneide diese mit den Dreiecksseiten %%[AC]%% und %%[BC]%% und ergänze zum Rechteck.

Analog erhältst du das Rechteck 2 über %%[AB]%% durch eine Parallele im Abstand 3,27.

Das Rechteck 3 über der Seite %%[AC]%% erhältst du durch die Parallele im Abstand 1,06 zu %%[AC]%% und die entsprechende Ergänzung zum Rechteck.

Die einzelnen Konstruktionsschritte kannst du im folgenden Applet schrittweise nachvollziehen. Benutze dazu die untere Navigationsleiste.

Beweise, dass in jedem Dreieck der größmögliche Inhalt einbeschreibbarer Rechtecke gleich der halben Dreiecksfläche ist.

Hinweis zur Einbeschreibungsaufgaben

Ein Rechteck einer anderen geometrischen Figur "einzubeschreiben", bedeutet, dass alle Eckpunkte des Rechtecks auf Randlinien der größeren Figur liegen sollen.

einbeschriebene Rechtecke

Wenn ein Rechteck einem Dreieck einbeschrieben ist, muss wenigstens eine Rechtecksseite auf einer Dreiecksseite liegen.

Bei einem rechtwinkligen Dreieck können zwei Rechtecksseiten auf den Katheten liegen.

In stumpfwinkligen Dreiecke können Rechtecke nur über der längsten Dreiecksseite einbeschrieben werden.

Rechtecke in stumpfwinkigen Dreiecken

Bei dieser Aufgabe geht es um die Extremwerte von in Dreiecken einbeschriebenen Rechtecken.

Es ist nachzuweisen, dass alle in ein Dreieck einbeschreibbaren Rechtecke den gleichen maximalen Inhalt, nämlich die halbe Dreiecksfläche haben.

Mache dir zunächst eine anschauliche Vorstellung von der Bedeutung der Behauptung, indem du im nachfolgenden Applet die 6 Gleiterpunkte %%P_1%%, . . . , %%P_6%% verschiebst.

Du verstehst dabei auch, wie und wo in den verschiedenen Dreiecksformen - spitzwinklig, rechteckig, stumpfwinklig - Rechtecke einbeschrieben werden können.

Beweis der Behauptung

Dem Applet entnimmst du anschaulich:

Jedes der von den Punkten %%P_1%% bis %%P_6%% ausgehende einbeschriebene Rechteck liegt mit einer Rechtecksseite auf einer Dreiecksseite. Die Längen der Rechtecksseiten seien %%x\,LE%% und %%y\,LE%%.

Jedes Rechteck erzeugt eine Strahlensatzfigur.

Die Zielfunktion eines jeden Rechtecks für seinen maximalen Inhalt lautet:

%%A(x;y)=x\cdot y%%,

Grafische Veranschaulichung

Strahlensatzfigur für Rechtecke

Die Nebenbedingung ergibt sich aus dem Strahlensatz. Wende diesen an.

Mit dem Strahlensatz gilt:

%%\displaystyle \frac {x}{c}=\frac {h_c-y}{h_c}%%

wobei %%c%% eine beliebige Dreiecksseite und %%h_c%% die zugehörige Dreieckshöhe ist.

Löse die Gleichung nach %%y%% auf.

%%\begin{align}\displaystyle \frac{x}{c}&=\frac{h_c-y}{h_c}\quad|\cdot h_c\\ \frac{h_c}{c}\cdot x&=h_c-y\\ y&=-\frac{h_c}{c}\cdot x+h_c\end{align}%%

Setze %%y%% in %%A(x;y)%% ein.

%%A(x)=x\cdot (-\frac{h_c}{c}\cdot x+h_c)%%

%%A(x)=-\frac{h_c}{c}\cdot x^2+h_c\cdot x%%

Bilde %%A'(x)%%.

%%A'(x)=-\frac{2h_c}{c}+h_c%%

Setze %%A'(x)%% gleich Null.

%%\begin{align}-\frac{2h_c}{c}\cdot x + h_c&=0\\ x&=\frac{c}{2}\end{align}%%

Überzeuge dich, dass %%A''(\frac{c}{2})%% negativ ist. Dann ergibt sich ein maximaler Flächeninhalt.

%%A''(x)=-\frac{h_c}{c}<0 \,\text{für jedes}\, x%%

Setze %%x=\frac{c}{2}%% in die Nebenbedingung ein, um auch die 2. Rechtecksseite zu erhalten.

%%y=-\frac{h_c}{c}\cdot \frac{c}{2}+h_c\quad\Rightarrow%%

%%y=\frac{h_c}{2}%%

Setze %%x=\frac{c}{2}%% und %%y=\frac{h_c}{2}%% in die Zielfunktion %%A(x;y)%% ein.

%%A(x;y)=\frac{c}{2}\cdot \frac{h_c}{2}%%

%%A(x;y)=\frac14\cdot c \cdot h_c%%

Vergleiche die berechnete maximale Rechtecksfläche mit der Dreiecksfläche.

%%A_{max. Rechteck}=\frac14c \cdot h_c=\frac12\cdot (\frac12 c\cdot h_c)=\frac12 \cdot \,A_{\text{Dreieck}}%%

Ergebnis

Jedes in ein Dreieck einbeschriebene Rechteck liegt mit einer Seite auf einer Dreiecksseite. Die flächenmäßig größten einbeschreibbaren Rechtecke haben den Flächeninhalt "1/4 mal Grundlinienlänge mal zugehörige Höhe".

Damit sind sie - auch wenn sie über verschiedenen Dreiecksseiten errichtet worden sind - gleich groß und zwar gerade halb so groß wie die Dreiecksfläche.

Ergänzung

Da - außer in gleichschenklig rechtwinkligen Dreiecken - eine Dreiecksseite und ihre dazugehörige Höhe verschieden sind - können die maximalen einbeschriebenen Rechtecke - außer in gleichschenklig rechtwinkligen Dreiecken - keine Quadrate sein.

Lasse im nachfolgenden Applet durch eine geeignete Verschiebung des Gleiterpunktes %%P%% solch einen Sonderfall einer einbeschriebenen Quadratfläche entstehen.

7229_3wGZbR8p7t.xml

           

     

  

Die Gemeinde Haar weist neues Bauland aus.

Herr Meier hat die dreieckige Fläche gekauft, muss aber nun (wie vorgeschrieben) ein rechteckiges Baugrundstück festlegen.

Wie sollte sich Herr Meier entscheiden, wenn er ein möglichst großes Baugrundstück haben will?

Fläche eines einbeschriebenen Rechtecks berechnen

7229_3wGZbR8p7t.xml

Lege einige Bezeichnungen fest

%%a = 32 m%%

%%b = 48 m%%

%%x%% siehe Skizze, Rechteckseite parallel zu %%b%%

%%y%% Rechteckseite parallel zu %%a%%

%%y(x)%% ist gegeben durch das Dreieck

%%A(x, y(x)) = x y%% ist die gesuchte Fläche als Funktion von %%x%%

 

Wende den Strahlensatz auf das gegebene Dreieck an

 

 

 

%%\frac ab=\frac{a-y}x%% (Strahlensatz V-Figur)

 

Löse nach y auf

 

%%y\;=\;\frac ab\left(b-x\right)%%

 

Setze in die Flächenfunktion ein

 %%A(x)\;=\;\frac abx\left(b-x\right)=-\frac{a}{b}x^2+ax%%

 

Bestimme den Extremwert, indem du %%A(x)%% zweimal ableitest, die Nullstelle der ersten Ableitung ermittelst und dann über das negative Vorzeichen der zweiten Ableitung nachweist, dass es sich dabei um das gesuchte Maximum handelt.

%%A'(x)=-2\frac abx+a%%

Nullstelle: %%x=\frac{b}2%%

%%A''(\frac b2)=-2\frac ab<0%%

(Anmerkung: Hier ließe sich auch direkter argumentieren, dass %%x=\frac{b}2%% Maximalstelle ist, da der Graph von %%A%% eine nach unten geöffnete Parabel ist.)

Setze in die Formel ein

%%A\;=\;\frac{ab}4%%

Setze die Werte ein und berechne die Fläche

 %%A\;=\;\frac{32\;m\;\times\;48\;m}4\;=\;384\;m^2%%

Ein Versandhaus möchte aus Rationalisierungs- und Kostengründen seine Geschenkartikel in Päckchen verschicken. Aus verpackungstechnischen Gründen ist die Länge einer Seite mit 35cm festgelegt. Der Gebührenordnung der "Deutschen Post AG" muss entsprochen werden.

Gebührenordnung: Quaderform Päckchen National.

Mindestmaße: Länge 15cm, Breite 11cm, Höhe 1cm.

Höchstmaße: Länge 60cm, Breite 30cm, Höhe 15cm oder Länge plus Breite plus Höhe = 90cm.

Höchstgewicht: 2kg

Eine oben offene zylinderförmige Dose mit dem Volumen V soll aus Blech hergestellt
werden. Dabei soll der Blechverbrauch möglichst gering sein. Bestimme die Höhe
und den Durchmesser der Dose, sowie den minimalen Blechverbrauch.

Wir suchen aus allen Konservendosen mit Volumen V diejenige mit minimalem Oberflächeninhalt.

Volumenformel: %%\mathrm V=\mathrm G\cdot\mathrm h%% (Grundseite mal Höhe) wobei die Grundseite eines Zylinders ein Kreis ist, d.h. %%{\mathrm G}_\mathrm{Kreis}=\mathrm r^2\cdot\mathrm\pi%% .

Oberflächeninhalt eines Zylinders ist gegeben durch %%{\mathrm A}_\mathrm{Zylinder}=A_{Mantel}+A_{Kreis}=2\cdot\mathrm r\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm h+\mathrm r^2\cdot\mathrm\pi%% .

  1. Zielfunktion bestimmen: Der Oberflächeninhalt des Zylinders ist zu minimieren. Unsere Funktion ist von r und h abhängig. %%{\mathrm A}_\mathrm{Zylinder}=2\cdot\mathrm r\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm h+\mathrm r^2\cdot\mathrm\pi%% .

  2. Nebenbedingungen formulieren und einsetzen: Der Oberflächeninhalt des Zylinders ist zu minimieren unter der Bedingung, dass das Volumen erhalten bleibt. Wir können nun also die Höhe in Abhängkeit vom Radius ermitteln, indem wir die Formel %%\mathrm V={\mathrm G}_\mathrm{Kreis}\cdot\mathrm h=\mathrm r^2\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm h%% nach h auflösen. Es ergibt sich die Nebenbedingung %%h=\frac V{r^2\cdot\mathrm\pi}%% . Einsetzen in die Zielfunktion ergibt: %%\mathrm A=2\cdot\mathrm r\cdot\mathrm\pi\cdot{\textstyle\left({\displaystyle\frac{\mathrm V}{\mathrm r^2\cdot\mathrm\pi}}\right)}+r^2\cdot\mathrm\pi=2\cdot\frac Vr+r^2\cdot\mathrm\pi=2V\cdot\frac1r+\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2%% . Unsere Zielfunktion hängt jetzt nur noch von r ab, also können wir auch schreiben %%\mathrm A(\mathrm r)=2\mathrm V\cdot\frac1{\mathrm r}+\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2%% .

  3. Für die Extremalfunktion %%\mathrm A(\mathrm r)%% den Definitionsbereich %%\mathbb{D}_\mathrm A%% bestimmen: %%\mathbb {D}_f=\mathbb{R}\backslash\{0\}%%.

  4.  Wir suchen das Minimum von %%\mathrm A(\mathrm r)%% mit Hilfe der ersten und zweiten Ableitung. 

Erste Ableitung

Zweite Ableitung

%%(\frac1r)'=-\frac1{\mathrm r^2}%%

%%(\frac1r)''=\frac2{r^3}%%

%%\left(\mathrm r^2\right)'=2\mathrm r%%

%%\left(\mathrm r^2\right)''=\left(2\mathrm r\right)`=2%%

%%\Rightarrow A'(r)=2V\cdot\left(-\frac1{r^2}\right)+\mathrm\pi\cdot2r%%

%%\Rightarrow A''(r)=2V\cdot\left(2\cdot\frac1{r^3}\right)+\mathrm\pi\cdot2%%

Für ein mögliches Minimum muss die erste Ableitung gleich Null werden. Mögliche Minimalstellen sind also die Lösungen der Gleichung %%2V\cdot\left(-\frac1{r^2}\right)+\mathrm\pi\cdot2r=0%% . Lösen dieser Gleichung (Multipliziere auf beiden Seiten mit  %%\mathrm r^2%% löse nach  %%\mathrm r%% auf und ziehe die dritte Wurzel) ergibt uns %%r_{min}=\sqrt[3]{\frac V{\mathrm\pi}}%% . Einsetzen in die 2.Ableitung ergibt: %%A''(\sqrt[3]{\frac V{\mathrm\pi}})=2V\cdot\left(2\cdot\frac1{\left(\sqrt[3]{\displaystyle\frac V{\mathrm\pi}}\right)^3}\right)+\mathrm\pi\cdot2=\underbrace{4V\cdot\frac{\mathrm\pi}V}_{=4\cdot\mathrm\pi}+2\cdot\mathrm\pi=6\cdot\mathrm\pi>0%%.

Also liegt tatsächlich ein Minimum vor an dieser Stelle.

  1. Lösung angeben: Den minimale Oberflächeninhalt erhält man für die Dose mit dem Radius %%{\mathrm r}_\min=\sqrt[3]{\frac{\mathrm V}{\mathrm\pi}}%% . Also ist der Durchmesser %%\mathrm d=2\mathrm r=2\sqrt[3]{\frac{\mathrm V}{\mathrm\pi}}%% . Die Höhe h erhält man aus der Nebenbedingung %%h=\frac V{r^2\cdot\mathrm\pi}%% durch einsetzen von %%{\mathrm r}_\min%% , also  %%h=\frac V{\sqrt[3]{\left({\displaystyle\frac{\mathrm V}{\mathrm\pi}}\right)^2}\cdot\mathrm\pi}=\frac{\sqrt[3]{V^3}}{\sqrt[3]{\displaystyle\frac{V^2}{\mathrm\pi^2}}\cdot\sqrt[3]{\mathrm\pi^3}}=\sqrt[3]{\frac{V^3}{V^2\cdot\mathrm\pi}}=\left(\sqrt[3]{\frac V{\mathrm\pi}}\right)%%.

Der minimale Oberflächeninhalt ist %%3\mathrm\pi\cdot\left(\sqrt[3]{\frac{\mathrm V}{\mathrm\pi}}\right)^2%% (Einsetzen in die Zielfunktion.)

Ein Punkt %%P(x_P|y_P)%% gleite auf der Strecke %%[AB]%% mit %%A(0|6)%% und %%B(4|0)%%.

Er ist die Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks mit einer festen Ecke im Koordinatenursprung.

Für welchen Punkt %%P%% hat das Dreieck den größtmöglichen Flächeninhalt? Wie groß ist dieser?

Im nachfolgenden Applet kannst du - bevor du rechnest - experimentieren.

Für das gleichschenklige Dreieck mit der Spitze %%P%% gilt:

Grundlinie = %%2\cdot x_P%%

Höhe = %%y_P%%

Für die Dreiecksfläche ergibt sich also:

%%A_{Dreieck}=x_P\cdot y_P%%

Skizze der Situation im Koordinatensystem

Gib die Zielfunktion und die Nebenbedingung für die Extremumsaufagbe an.

Zielfunktion

%%\displaystyle A_{Dreieck}=x_P\cdot y_P%%

Nebendingung

Der Punkt %%P(x_P|y_P)%% liegt auf der Strecke %%[AB]%%.

Ermittle die Geradengleichung %%AB%%.

allgemeiner Ansatz einer Geradengleichung:

%%\mathrm g(\mathrm x)=\mathrm{mx}+\mathrm t%%

Bestimme den y-Achsenabschnitt t, indem du abliest, wo der Graph die y-Achse schneidet.

%%\Rightarrow\;\;\mathrm t=6%%

Bestimme die Steigung m, indem du ein Steigungsdreieck benutzt:

Gehe von irgendeinem Geradenpunkt %%1\,LE%% nach rechts und lies ab, wie viele Einheiten du nach unten gehen musst, um wieder auf den Funktionsgraphen zu treffen.

%%\Rightarrow\;\;\mathrm m=-1,5%%

Setze die Werte %%m%% und %%t%% in die Funktionsgleichung ein.

%%\Rightarrow\;\;\mathrm g(\mathrm x)=-1,5\mathrm x+6%%

Gib noch den Definitionsbereich %%D_g%% an, mit dem die Gerade %%g%% auf die Strecke %%[AB]%% begrenzt wird.

%%D_g=[0;4]%%

Gib nun die Nebenbedingung als Funktionsgleichung für den Punkt %%P(x_P|y_P)%% an.

Nebenbedingung

%%y_P=-1,5\cdot x_P+6%%

Zielfunktion

%%A(x_P;y_P)=x_P\cdot y_P%%

Setze %%y_P%% der Nebenbedingung in die Zielfunktion ein.

%%A(x_P)=-1,5\cdot x_P^2+6\cdot x_P%%

Es handelt sich um eine nach unten geöffnete Parabel.

Ihr Maximum lässt sich über die Scheitelform durch eine quadratische Ergänzung ermitteln.

%%\begin{align}A(x_P)&=-1,5(x_P^2\color{red}{-4}x_P)\\ &=-1,5(x_P^2-4x_P\color{red}{+2^2})\color{red}{+6}\\&=-1,5(x_P-2)^2+6\end{align}%%

Lies den Scheitelpunkt ab.

%%\Rightarrow\;\;\mathrm S\left(2\;\left|\;6\right.\right)%%

Gib die Bedeutung der Koordinaten des Scheitelpunktes an.

%%\Rightarrow\;%% Bei %%{\mathrm x}_\mathrm p=2%% ist der Flächeninhalt %%6\,\text{LE}%% und dies ist der gesuchte größtmögliche Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks.

               

Bestimme aus der Nebenbedingung den y-Wert des Punktes %%P%%.

%%{\mathrm y}_\mathrm p=-1,5\cdot2+6=3%%

                             

Gib den gesuchten Punkt %%P%% und den maximalen Flächeninhalt in einem Antwortsatz an.

Für den Punkt %%\mathrm P\left(\left.2\;\right|\;3\right)%% ist der Flächeninhalt des darunterliegenden Dreiecks maximal und er beträgt %%6\;\mathrm{FE}%%.

Lösung über die Ableitung von %%A(x_P)%%

%%\begin{align}A(x_P)&=-1,5x_P^2+6x_P\\ A'(x_P)&=-3x_P+6\end{align}%%

Setze %%A'(x_P)%% gleich Null.

%%-3x_P+6=0%%

Löse nach %%x_P%% auf.

%%\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x_P=2%%

Setze den Wert in %%A(x_P)%% und in die Nebenbedingung %%y=-1,5\cdot x_P+6%% ein und du hast die Lösung der Aufgabe.

Das Bild zeigt eine Gerade %%g%% und eine Parabel %%p%%.

  1. Bestimme von Gerade und Parabel jeweils die Funktionsgleichung. Berechne dann die Schnittpunkte der beiden Graphen.                                                      

  2. Gib die Koordinaten eines Punktes P auf der Parabel nur in Abhängigkeit von %%{\mathrm x}_\mathrm p%% an. Zeichnet man für %%0 < x_p < 6%% von %%P%% eine senkrechte Strecke zur Geraden, so sind diese Strecken unterschiedlich lang. Bestimme unter diesen Strecken die längste.

7299_XvAb3kJ4St.xml           

Aus dem Graphen lassen sich zwei Punkte %%P_1(0\mid 0),P_2(6 \mid 6)%% der Geraden und drei Punkte %%P_3(0 \mid 0), P_4(4 \mid 8), P_5(8 \mid 0)%% der Parabel ablesen.

%%y = mx + t%%

Stelle die allgemeine Geradengleichung auf und setze die zwei bekannten Punkte ein.

%%0 = m\cdot 0 + t%%

Der erste Punkt führt zu %%t=0%%. Setze nun den zweiten Punkt ein.

%%6 = m \cdot 6 + t%%

%%\mid\,:6%%

%%m=1%%

Der zweite Punkt führt zu %%m=1%%. Folglich lautet die Funktionengleichung für die Gerade:

$$y = x.$$

Bestimme nun die Funktionengleichung für die Parabel. Hierzu verwende die allgemeine Form.

%%y = ax^2 + bx + c%%

Setze in diese Gleichung die bekannten Punkte ein.

%%0 = a \cdot 0² + b \cdot 0 + c%%

Der erste Punkt führt zu %%c=0%%. Setze nun den zweiten Punkt ein.

%%8 = a \cdot 4^2 + b \cdot 4 + c%%

%%\mid - a \cdot 4^2%%

%%8-a \cdot 4^2 = b \cdot 4%%

%%\mid\,: 4%%

%%b = 2 - 4a%%

Der zweite Punkt führt zu einer Gleichung in Abhängigkeit von %%a%% und %%b%%. Setze nun den dritten Punkt ein.

%%0 = a \cdot 8^2 + b \cdot 8 + c%%

Setze die aus dem vorherigen Schritt bekannte Gleichung %%b = 2-4a%% ein.

%%0 = a \cdot 8^2 + (2 - 4a) \cdot 8%%

Fasse die Terme zusammen

%%0 = 32a + 16%%

%%\mid -16%%

%%-16 = 32a%%

%%\mid\, : 32%%

%%a = -0,5%%

Errechne daraus %%b%%.

%%b = 2 - 4 \cdot (-0.5) = 4%%

Ingesamt lautet damit die Funktionengleichung der Parabel:

$$y = 0,5x^2 + 4x.$$

Schnittpunkte berechnen

Zur Berechnung der Schnittpunkte setzt man die beiden Funktionengleichungen gleich.

%%x = -0,5x^2 + 4x%%

%%\mid -x%%

%%0 = -0,5x^2 + 3x%%

Klammere %%x%% aus.

%%0 = x(-0,5x + 3)%%

Die rechte Seite ist genau dann 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.

%%x_1 = 0%%

%%0,5x^2 + 3 = 0%%

Die Schnittpunkte sind also an den Stellen %%x_1 = 0%% und %%x_2 = 6%%. Die Schnittpunkte sind also

%%S_1(0 \mid 0)%%

%%S_2(6 \mid 6)%%

Koordinaten eines Punktes %%P%% auf der Parabel

Ein Punkt auf der Parabel hat nach der Funktionengleichung die Koordinaten %%P(x_p \mid -0,5x_p^2 + 4x_p)%%.

Längste Strecke

Die Länge %%S(x)%% der Strecke an der Stelle %%x%% ergibt sich als Differenz der beiden Funktionengleichungen.

%%S(x) = -0,5x^2 + 4x - x%%

Nullstellen der 1. Ableitung sind mögliche Maximalstellen.

%%S'(x) = -x + 3 = 0%%

%%x=3%% ist also die einzige Extremstelle. Mit der 2. Ableitung lässt sich überprüfen, ob hier ein Maximum vorliegt.

%%S''(x) = -1%%

%%S''(3) = -1 < 0%%

Damit liegt an der Stelle %%x=3%% ein Maximum vor. Die längste Strecke hat damit die Länge

%%S(3) = -0,5 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3 = 4,5%%

Gegeben sind die beiden Parabeln mit den Funktionsgleichungen

%%\mathrm f(\mathrm x)=4-\mathrm x^2%%   und  %%\mathrm g(\mathrm x)=\left(\mathrm x-2\right)^2-6%%

a.    Zeichne die beiden Graphen sauber in ein Koordinatensystem

b.    Berechne die Schnittpunkte der beiden Parabeln

c.    Zeichnet man im Bereich %%-1<x<3%% senkrechte Verbindungsstrecken von der oberen zur unteren Parabel, so haben diese Strecken unterschiedliche Längen.

Bestimme die Strecke mit der größten Länge!  Zeichne diese Strecke in dein Bild ein!

Teilaufgabe a): Zeichnen

%%\begin{array}{ccc}f(x)&=&4-x^2\\g(x)&=&(x-2)^2-6\end{array}%%

Zeichne die Parabeln ein. Verwende dazu entweder die Technik aus dem verlinkten Artikel oder benutze eine Wertetabelle. 

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/9315_OQwqFpEP15.xml

 

Teilaufgabe b): Schnittpunkte berechnen

%%\begin{array}{ccc}f(x)&=&4-x^2\\g(x)&=&(x-2)^2-6\end{array}%%

Setze die beiden Funktionen gleich. 

%%4-x^2=(x-2)^2-6%%

Bringe die quadratische Gleichung auf allgemeine Form

%%2x^2-4x-6=0%%

Berechne die Diskriminante .

%%D=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot2\cdot(-6)=64%%

Die Gleichung hat also zwei Lösungen, die mit Hilfe der Mitternachtsformel berechnet werden können. 

%%x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt D}4=\frac{4\pm8}4\Rightarrow x_1=3,\;x_2=-1%%

 

Teilaufgabe c): Zwischenstrecke mit größter Länge bestimmen

%%\begin{array}{ccc}f(x)&=&4-x^2\\g(x)&=&(x-2)^2-6\end{array}%%

Zu maximieren ist der Abstand zwischen den beiden Funktionen; die Extremalfunktion bestimmst du also mit  %%f(x)-g(x)%% , da %%f%% im Bereich %%-1<x<3%%  größer als %%g%% ist. 

%%E(x)=f(x)-g(x)=-2x^2+4x+6%%

Leite diese Funktion zweimal ab , um die Extremstelle bestimmen zu können. 

%%\begin{array}{ccc}E'(x)&=&-4x+4\\E''(x)&=&-4\end{array}%%

Setze die erste Ableitung gleich Null , berechne x und setze in die zweite Ableitung ein , um zu erkennen, dass es sich tatsächlich um ein Maximum handelt. 

%%E'(x)=-4x+4=0%%

%%x=1%%

%%E''(1)=-4%%

%%E(1)=8%%

Die längste zwischen den Graphen verlaufende senkrechte Strecke ist also bei %%x=1%% zu finden. Ihre Länge beträgt %%8%% Längeneinheiten.

Nun musst du diese Strecke nur noch in die Zeichnung von Teilaufgabe a) einzeichnen. In der Grafik ist sie gestrichelt eingetragen. 

Auf einem Bauernhof möchte der Bauer eine rechteckige Koppel für seine Pferde anlegen.

Die Koppel liegt an einem Fluss und soll deshalb nur an drei Seiten eingezäunt werden.

Der zur Verfügung stehende Zaun ist 120m lang.

Wie muss der Bauer die Koppel anlegen, damit sie eine möglichst große Weidefläche hat?

Wie groß ist die Weidefläche dieser Koppel?

Extremwertaufgabe zur Berechnung einer maximalen Weidefläche

Gegeben: kombinierte Länge von drei Seiten 

Gesucht: ideale Seitenlänge für maximale Fläche

%%A=l\cdot b%%

Bestimme die Zielfunktion, nämlich die Fläche eines Rechtecks mit den Seitenlängen %%a%% und %%b%%

%%2\cdot b+l=120%%

Stelle die Nebenbedingung auf. Da man für eine Seite (z. B. l) keinen Zaun benötigt, verändert sich die Nebenbedingung im Vergleich zur normalen Umfangsformel %%U=2\left(l+b\right)%% etwas.

%%A(b)=(120-2b)\cdot b=120b-2b^2%%

mit  %%b>0%%

Setze die Nebenbedingung in die Zielfunktion ein und erhalte die Extremalfunktion. Beachte dabei, dass b sinnvollerweise nur positive Werte annehmen kann.

%%A'(b)=120-4b%%

%%A''(b)=-4%%

Leite die Extremalfunktion zweimal ab, um im nächsten Schritt den Extremwert und die Art des Extremwertes bestimmen zu können.

%%A'=120-4b=0%%

%%120=4b%%

%%b=30%%

Setze die erste Ableitung gleich Null und setze die Lösung dieser Gleichung in die zweite Ableitung ein. Du erkennst dann, dass der Extremwert tatsächlich wie gewünscht ein Maximum ist.

%%l=120-2\cdot30=60%%

%%A=60\cdot30=1800%%

Berechne nun noch %%l%% durch Einsetzen der Breite %%b%% in die Nebenbedingung und die Fläche der Weidekoppel.

Für die maximale Weidefläche muss der Bauer die Koppel also 60 m lang und 30 m breit wählen. Damit erreicht er eine Weidefläche von 1800 m².

Aus einer rechteckigen Fensterscheibe mit den Seitenlängen %%a\,LE%% und %%b\,LE%%, ist vom unteren Mittelpunkt der kleineren Seite %%b%% aus, eine Ecke geradlinig unter einem Winkel von 45° abgesprungen.

Aus der restlichen Scheibe soll durch Schnitte parallel zu den ursprünglichen Seiten eine möglichst große rechteckige Scheibe hergestellt werden.

Welche Seitenlängen und welche Fläche hat die "Ersatzscheibe"? In welchem Punkt setzen die Schnitte an?

Anleitung

Die Aufgabe verlangt zur Lösung eine Fallunterscheidung hinsichtlich der allgemeinen Seitenlängen %%a\,LE%% und %%b\,LE%% und ist dadurch anspruchsvoll.

Löse die Aufgabe deshalb zunächst für konkrete Werte. Zum Beispiel für %%a=5\,LE%% und %%b=4\,LE%% oder %%a=6\,LE%% und %%b=3\,LE%%.

Bei dieser Aufgabe soll ein größtmöglicher Flächeninhalt bestimmt werden. Es handelt sich also um eine Extremwertaufgabe.

Die Scheibe sei höher als breit. Also gelte: %%a>b%%.

Das abgeschnittene Stück der Scheibe ist wegen des Neigungswinkels von 45° ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck mit der Kathetenlänge von %%b/2\,LE%%.

Die gesuchte rechteckige "Ersatzscheibe" habe die Seitenlängen %%x\,LE%% und %%y\,LE%% und entsteht von einem Punkt %%P%% aus, der auf der abgebrochenen Schnittkante variiert.

Die Zielfunktion ist der Flächeninhalt %%A(x;y)%% eines Rechtecks mit den Seiten %%x\,LE%% und %%y\,LE%%:

%%A(x;y)=x\cdot y%%,

wobei

%%\frac{b}{2}\leq x\leq b%% und %%a-\frac{b}{2}\leq y \leq a%%

Grafische Veranschaulichung

gebrochene Fensterscheibe

Die Nebenbedingungen für %%P%% ergeben sich aus dessen variabler Lage auf der Schnittkante und können mit einem variablen Parameter %%t%% so angegeben werden:

%%x=\frac{b}{2}+t%% %%\quad\text{und}%%

%%y=a-t%% %%\quad\text{wobei}\;\text{gilt}%%

%%0 \leq t\leq \frac{b}{2}%%

Setze die Nebenbedingungen in die Zielfunktion ein, um diese als Funktion der Variablen %%t%% zu erhalten.

Zielfunktion

%%A(t)=\left( \frac{b}{2}+t\right)\cdot \left(a-t\right)%%

%%\mathbb{D}_{A(t)}=[0;b/2]%%

Bilde - z.B. mit der Produktregel - die 1. Ableitung %%A'(t)%% und die 2. Ableitung %%A''(t)%%.

%%A'(t)=-2t+a-\frac{b}{2}%%

%%A''(t)=-2\;<\,0%%

Setze %%A'(t)%% gleich Null und löse die Gleichung.

%%\begin{align}-2t+a-\frac{b}{2}&=0\\ t&=\frac{a}{2}-\frac{b}{4}\end{align}%%

Zwischenstand der Lösung:

Die gesuchte Ersatzscheibe mit maximalem Flächeninhalt wird von einem variablen Punkt P aus erzeugt, der auf der Strecke %%[S_1;S_2]%% liegen muss.

Damit ist der Definitionsbereich der Flächen-Zielfunktion %%A(t)%% auf das Intervall %%[0;\frac{b}{2}]%% begrenzt.

%%A(t)%% ist wegen %%A''(t)<0%% eine nach unten geöffnete Parabel und der errechnete Wert %%t_{max}=\frac{a}{2}-\frac{b}{4}%% liefert ein lokales Maximum - also einen maximalen Flächeninhalt, aber nur dann, wenn der Wert im Intervall %%[0;\frac{b}{2}]%% liegt.

Da %%a>b%% ist jedenfalls %%t_{max}>0%%.

%%t_{max}%% ist aber nicht für jedes Zahlenpaar %%a%% und %%b%% kleiner als %%\frac{b}{2}%%, da gilt:

%%\begin{align}\frac{a}{2}-\frac{b}{4}&\leq \frac{b}{2}\\ \frac{a}{2}&\leq \frac{3}{4}b\\ a&\leq \frac{3}{2}b\end{align}%%

Fallunterscheidung:

Fall 1: %%\quad b<a\leq \frac{3}{2}b\quad%% ("a nicht zu groß")%%\Rightarrow\;t_{max}\in [0;\frac{b}{2}]%%

Fall 2:%%\,\quad a>\frac{b}{2}\quad \;\, \quad\quad%%("a beliebig groß")%%\Rightarrow\;t_{max}\notin[0;\frac{b}{2}]%%

Fall 1:

%%\;b<a\leq \frac{3}{2}b%%

%%t_{max}%% liefert lokales Maximum

Setze %%t_{max}%% in %%A(t)%% ein.

%%\begin{align} A(t_{max})&=\left( \frac{b}{2}+\frac{a}{2}-\frac{b}{4}\right) \cdot \left( a-\frac{a}{2}+\frac{b}{4}\right)\\ &=\left(\frac{b}{4}+\frac{a}{2}\right) \cdot \left(\frac{a}{2}+\frac{b}{4}\right)\\ &=\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{4}\right)^2\end{align}%%

Die Seitenlängen der Ersatzscheibe sind:

%%x=\frac{b}{2}+t_{max}=\frac{b}{2}+\frac{a}{2}-\frac{b}{4}=\frac{a}{2}+ \frac{b}{4}%%

%%y=a-t_{max}=a-\frac{a}{2}+\frac{b}{4}= \frac{a}{2}+\frac{b}{4}%%

Die Ersatzscheibe ist demnach ein Quadrat.

Für den Punkt %%P%% auf %%[S_1; S_2]%% , von dem aus geschnitten wird gilt:

%%\displaystyle \overline{S_1P}=\sqrt{t^2+t^2}=\sqrt{2}\left(\frac{a}{2}-\frac{b}{4}\right)%%

Zahlenbeispiel

Am nachfolgenden Applet kannst du die Aufgabe mit den Zahlenwerten %%a=5\,LE%% und %%b=4\,LE%% nachvollziehen. Verschiebe dazu den Erzeugungspunkt %%P%% längst der Bruchkante %%[S_1S_2]%%.

Man erhält für den maximalen Flächeninhalt %%12,25\;FE%%, für die (quadratische) Rechtecksseite %%3,5\,LE%% und für den Abstand des Punktes %%P%% von %%S_1%% den Wert %%1,5\cdot \sqrt{2}\,LE\approx{2,1}\,LE%%

Fall 2

%%a>\frac{3}{2}b\Rightarrow\;t_{max}>\frac{b}{2}\Rightarrow\;t_{max}\notin [0;\frac{b}{2}]%%

Damit liegt der Scheitelpunkt der Flächenparabel %%A(t)%% rechts vom Intervall %%[0;\frac{b}{2}]%% und %%A(t)%% nimmt in diesem Intervall streng monoton zu.

Die größte Fläche wird demnach - als Randextremum - angenommen, wenn der erzeugende Punkt %%P%% mit dem rechtem Randpunkt %%S_2%% zusammenfällt. Also für %%t=\frac{b}{2}%%.

Demnach gilt hier:

%%A_{max}=A(\frac{b}{2})=b\cdot \left(a-\frac{b}{2}\right)%%.

Die Seitenlängen für %%A_{max}%% sind:

%%x=\frac{b}{2}+\frac{b}{2}=b\quad%% und %%\quad y=a-\frac{b}{2}%%.

Für den erzeugenden Punkt %%P%% gilt: %%P=S_2%%.

Zahlenbeispiel

Am nachfolgenden Applet kannst du die Aufgabe mit den Zahlenwerten %%a=6\,LE%% und %%b=3\,LE%% nachvollziehen. Verschiebe dazu den Erzeugungspunkt %%P%% längs der Bruchkante %%[S_1S_2]%%.

Man erhält für den maximalen Flächeninhalt %%13,5\,FE%%, bei den Seitenlängen von %%a=4,5\,LE%% und %%b=3\,LE%%.

Veranschaulichung

Zusammenfassung

Die Aufgabe ist durch die notwendige Fallunterscheidung der Fenstermaße anspruchsvoll.

Falls die Fensterhöhe "nicht zu groß" gegenüber der Fensterbreite ist (%%a\leq \frac{3}{2}b%%), besitzt die Aufgabe ein lokales Maximum.

Falls die Fensterhöhe "zu groß" gegenüber der Fensterbreite ist (%%a>\frac{3}{2}b%%) ergibt sich ein Randmaximum.

Alternative Lösung

Die beschriebene Lösung hat für die variable Lage des Erzeugungspunktes %%P%% auf der Bruchkante %%[S_1S_2]%% seinen horizontalen Abstand %%t%% vom Punkt %%S_1%% als Parameter verwendet.

Für eine alternative Lösung der Aufgabe verzichten wir auf einen zusätzlichen Parameter und betrachten die Rechtecksseiten %%x%% und %%y%% als die Variablen des gesuchten maximalen Rechtecks und bestimmen die Nebenbedingung zwischen %%x%% und %%y%% aus dem Strahlensatz.

Die Zielfunktion lautet:

%%A(x;y)=x\cdot y%% mit %%x\in[b/2;b]%%

Die Nebenbedingung ergibt sich durch Anwendung des Strahlensatzes in der nebenstehenden Skizze:

%%\begin{align}\displaystyle \frac{x}{b/2}&=\frac{a-y+b/2}{b/2}\;\;|\cdot \frac{b}{2}\\ \end{align}%%

%%\Rightarrow%%

%%\begin{align}x&=a-y+b/2\\ y&=-x+a+b/2\end{align}%%

Grafische Veranschaulichung

alternative Lösung der Aufgabe

Setze das Ergebnis der Nebenbedingung in die Zielfunktion ein.

%%A(x)=x\cdot (-x+a+b/2)%%

%%A(x)=-x^2+(a+b/2)\cdot x%%

mit %%x\in[b/2;b]%%

Setze %%A'(x)%% gleich Null, um ein mögliches Maximum %%x_m%% zu erhalten.

%%A'(x)=-2x+(a+\frac{b}{2})%%

%%\begin{align}-2x_m+(a+\frac{b}{2})&=0\\ x_m&=\frac{a}{2}+\frac{b}{4}\end{align}%%

Zwischenstand der alternativen Lösung

Die gesuchte Ersatzscheibe mit maximalem Flächeninhalt ist ein Rechteck mit den Seitenlängen %%x\,LE%% und %%y\,LE%%.

Dabei muss %%x%% eine Zahl aus dem Intervall %%[b/2;b]%% sein, damit der erzeugende Punkt %%P%% auf der Strecke %%[S_1S_2]%% liegt.

Durch die Nebenbedingung aus dem Strahlensatz ergibt sich mit %%A(x)=-x^2+(a+\frac{b}{2})x%% eine nach unten geöffnete Parabel und %%x_m=\frac{a}{2}+\frac{b}{4}%% liefert ein lokales Maximum für die Rechtecksfläche - aber nur dann, wenn %%x_m%% im Intervall %%[b/2;b]%% liegt.

Da gilt: %%a>b%%, ist jedenfalls

%%x_m=\frac{a}{2}+\frac{b}{4}>\frac{b}{3}+\frac{b}{4}>\frac{b}{2}%%.

%%x_m%% ist aber nicht für jedes Zahlenpaar %%a%% und %%b%% kleiner als %%b%%, da gilt:

%%\begin{align} \frac{a}{2}+\frac{b}{4}&\leq b\quad|\cdot 4\\ 2a+b&\leq 4b\\ a&\leq\frac{3}{2} b\end{align}%%

Fallunterscheidung

Fall 1:%%\quad b<a\leq\frac{3}{2}b\quad\text{"a ist nicht zu groß"}\;\Rightarrow\;x_m\in\,[\frac{b}{2};b]%%

Fall 2: %%a>\frac{3}{2}b\quad\text{"a beliebig groß"}\;\Rightarrow\;x_m\notin [\frac{b}{2};b]%%

Fall 1: %%\quad b<a\leq\frac {3}{2}b%%

%%x_m%% liefert lokales Maximum mit

%%y_m=-\frac{a}{2}-\frac{b}{4}+a+\frac{b}{2}%%

%%y_m=\frac{a}{2}+\frac{b}{4}%%

Setze %%x_m%% in die Nebenbedingung ein, um %%y_m%% zu bekommen. Setze beide Werte in %%A(x_m;y_m)%% ein , um die maximale Fläche zu berechnen.

Das maximale Rechteck ist demnach ein Quadrat mit der Seitenlänge %%\frac{a}{2}+\frac{b}{4}%%.

Für die Fläche gilt: %%\quad A_{max}=(\frac{a}{2}+\frac{b}{4})^2%%

Fall 2:

%%a>\frac{3}{2}b\quad\Rightarrow\quad x_m>b\quad\Rightarrow\quad x_m\notin [\frac{b}{2};b]%%

Damit liegt der Scheitelpunkt der Parabel %%A(x)%% rechts vom Intervall %%[\frac{b}{2};b]%% und %%A(x)%% nimmt in diesem Intervall streng monoton zu.

Die größte Fläche wird demnach - als Randextremum - angenommen, wenn der erzeugende Punkt %%P%% mit dem rechten Randpunkt %%S_2%% zusammenfällt. Also für %%x_m=b%%.

Damit gilt für die Seitenlängen des gesuchten maximalen Rechtecks %%x=b%% und %%y=a-\frac{b}{2}%%.

Die maximale Fläche ist:

%%A_{max}=b\cdot (a-\frac{b}{2})%%

Die beiden folgenden Grafiken veranschaulichen die alternative Lösung der Aufgabe.

alternative Lösung 1 grafisch

alternative Lösung 2 grafisch

Aus einem %%36\,\mathrm{m}%% langen Draht soll das Kantenmodell einer quadratischen Säule hergestellt werden.

Wie lang sind die Kanten zu wählen, damit die Säule maximales Volumen hat?

Maximales Volumen einer quadratischen Säule

Gegeben: Gesamtkantenlänge einer quadratischen Säule 

Gesucht: Kantenlängen für maximales Volumen

%%V=a^2\cdot h%%

Stelle die Zielfunktion auf, die maximiert werden soll; in diesem Fall ist das das Volumen einer quadratischen Säule mit der Grundseitenlänge %%a%% und der Höhe %%h%%.

%%4\cdot a+4\cdot h+4\cdot a=36%%

Bestimme die Nebenbedingung, die durch die Gesamtkantenlänge gegeben ist.

%%h=9-2a%%

Stelle die Nebenbedingung nach %%h%% um.

%%V(a)=a^2\cdot\left(9-2a\right)%%  mit  %%a>0%%

Setze die Nebenbedingung in die Zielfunktion ein, um die Extremalfunktion zu erhalten. Beachte dabei, dass a positiv sein muss.

%%\begin{array}{ccc}V'(a)&=&18a-6a^2\\V''(a)&=&18-12a\end{array}%%

Leite die Extremalfunktion zweimal ab.

%%V'(a)=18a-6a^2=a(18-3a)=0%%

Setze die erste Ableitung gleich Null, berechne die Grundseitenlänge und setze ihn in die zweite Ableitung ein, um zu erkennen, dass es sich tatsächlich um ein Maximum handelt.

%%a=0%% oder %%a=3%%

%%a=0%% muss nicht weiter untersucht werden, da nur positive Grundseitenlängen betrachtet werden.

$$\begin{array}{l}V''(3)=18-12\cdot3=-18<0\\\\\end{array}$$

Da die zweite Ableitung negativ ist, handelt es sich bei %%a=3%% um das gesuchte Maximum.

%%a=3\;\Rightarrow h=3\Rightarrow V=27%%  

Gib nun endgültig %%a%% und %%h%% an und berechne das Volumen (nicht verlangt).

Aus einem 120cm langen Draht ist das Kantenmodell eines Quaders herzustellen, so dass eine Kante dreimal so lang wie eine andere und der Rauminhalt maximal ist.

Wie lang sind die Kanten zu wählen?

Maximales Volumen eines Quaders mit gegebener Gesamtkantenlänge berechnen

Gegeben: Gesamtkantenlänge, eine Kante dreimal so lang wie eine andere Kante

Gesucht: Kantenlänge so, dass Volumen maximal

Stelle die Volumenfunktion des Quaders  mit den Kanten %%a%%, %%b%% und %%c%% auf; das ist die Zielfunktion, die es zu maximieren gilt. 

%%V=a\cdot b\cdot c%%

Bestimme die Nebenbedingung, welche durch die Gesamtkantenlänge und die Tatsache, dass eine Kante dreimal so lang wie eine andere Kante sein soll, gegeben ist. Wähle dabei z. B. b=3a.

%%4\cdot a+4\cdot3\cdot a+4\cdot c=120%%

Stelle die Nebenbedingung um.

%%c=30-4a%%

Setze die Nebenbedingung in die Zielfunktion ein und erhalte die Extremalfunktion. Beachte dabei, dass negative Längen keinen Sinn machen.

%%V(a)=3\cdot a^2\cdot(30-4a)%%  mit  %%a>0%%

Leite die Extremalfunktion zweimal ab, um im nächsten Schritt den Extremwert und die Art des Extremwertes bestimmen zu können. 

%%\begin{array}{ccc}V'(a)&=&180a-36a^2\\V''(a)&=&180-72a\end{array}%%

Setze die erste Ableitung gleich Null und setze die Lösung dieser Gleichung in die zweite Ableitung ein. Du erkennst dann, dass der Extremwert tatsächlich wie gewünscht ein Maximum ist. 

%%V'(a)=0%%

%%a=5%%

%%V''(5)=-180<0%%

Berechne nun noch die Kantenlängen %%b%% und %%c%%.

%%\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;a=5\\\Rightarrow b\;=3\cdot5=15\\\Rightarrow c\;=30-4\cdot5=10\end{array}%%

7563_UEjJD5RH5A.xml

          

Aus einem diagonal halbierten DIN A4 Blatt soll entsprechend der Zeichnung ein möglichst großflächiges Rechteck geschnitten werden.

           

Finde die Breite a, für die der Flächeninhalt des Rechtecks maximal ist.

Extremwertaufgabe

Stelle die allgemeine Flächenformel eines Rechtecks auf.

%%\mathrm A=\mathrm a\cdot\mathrm b%%

Bestimme b. Benutze dazu, dass das ganze Dreieck ähnlich zu dem schraffierten Dreieck ist und berechne mit dem SWS-Satz (oder: Strahlensatz V-Figur) die Seite b.

%%\Rightarrow\frac{\mathrm b}{\left(21-\mathrm a\right)}=\frac{29,7}{21}%%

Löse nach b auf.

  %%\mathrm b=\frac{29,7}{21}\cdot\left(21-\mathrm a\right)%%

Setze b in die allgemeine Form für den Flächeninhalt des Rechtecks ein.

%%\mathrm A=\mathrm a\cdot\frac{29,7}{21}\cdot\left(21-\mathrm a\right)%%

Multipliziere aus.

  %%=\mathrm a\left(29,7-\frac{29,7}{21}\mathrm a\right)%%

  %%=29,7\mathrm a-\frac{29,7}{21}\mathrm a^2%%

Dies ist nun die Formel für den Flächeninhalt des Rechtecks in Abhängigkeit von a.

Bestimme nun den maximalen Flächeninhalt.

Da es sich um eine nach unten geöffnete Parabel handelt, liegt das Maximum der Funktion bei ihrem Scheitelpunkt .

Dieser liegt genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen.

%%-\frac{29,7}{21}\mathrm a^2+29,7\mathrm a=0%%

%%\mathrm a\left(29,7-\frac{29,7}{21}\mathrm a\right)=0%%

Bestrachte die beiden Faktoren getrennt.

%%\Rightarrow\;\;{\mathrm a}_1=0%%

Betrachte den 2. Faktor.

%%29,7-\frac{29,7}{21}\mathrm a=0%%

%%\left|+\frac{29,7}{21}\mathrm a\right.%%

%%29,7=\frac{29,7}{21}\mathrm a%%

%%\left|:\frac{29,7}{21}\right.%%

%%\Rightarrow\;\;{\mathrm a}_2=21%%

Bestimme die Stelle, an der der Scheitelpunkt liegt (Mitte der Nullstellen).

%%\Rightarrow%%   Scheitel bei %%\mathrm a=10,5%%

Formuliere einen Antwortsatz.

Für %%\mathrm a=10,5%% wird der Flächeninhalt des Rechtecks maximal.

Eine Wüstenrallye gewinnt

a)

bei einer "traditionellen" Rallye, wer als Erster am Ziel ankommt,

b)

bei einer "alternativen" Rallye, wer den geringsten Bezinverbrauch hat.

Skizzen der beiden möglichen Routen

Vor dem Start steht das Team vor folgendem Problem:

Der Startort liegt mitten in der Wüste und ist %%50\,\text{km}%% vom Zielort entfernt.

Der direkte Weg zum Ziel führt durch den Wüstensand. Dort kann das Fahrzeug des Teams eine Durchschnittsgeschwindigkeit von %%60\,\text{km/h}%%bei einem Durchschnittsverbrauch von %%20\,\text{Liter/100km}%% erreichen.

In %%30\,\text{km}%% Entfernung vom Standort führt allerdings eine schnurgerade Karawanenstraße zum Zielort. Dort könnte das Fahrzeug eine Durchschnittsgeschwindigkeit von %%100\,\text{km/h}% %% bei einem Durchschnittsverbrauch von nur %%4\,\text{Liter/100km}%% fahren.

Welche Route wird das Team a) bei der traditionellen Rallye, b) bei einer alternativen wählen, wenn es jede Route zwischen Startort, Straße und Zielort fahren kann? Nach welcher Zeit bzw. mit welchem Verbrauch wird es jeweils das Ziel erreichen?

Bei beiden Teilen der Aufgabe handelt es sich um Extremwertaufgabe. Es gewinnt im Teil A das schnellste Team, im Teil B das Team mit dem geringsten Bezinverbrauch.

A. Die traditionelle Rallye

Gegeben:

Sandstrecke %%\overline{SZ}=50\,\text{km}%%

Entfernung Startpunkt %%S%% von der Karawanenstraße: %%30\,\text{km}%%

Geschwindigkeit im Wüstensand: %%v_1=60\,\text{km/h}%%

Geschwindigkeit auf der Straße: %%v_2=100\,\text{km/h}%%

Grafische Veranschaulichung

Skizze der Extremwertaufgabe für die traditionelle Rallye

Vorüberlegungen:

  1. Die Geschwindigkeitsformeln: %%\displaystyle v=\frac{s}{t};\;\;\;s=v\cdot{t};\;\;\;\;t=\frac{s}{v}%%

  2. Die Entfernung des Startpunktes %%S%% von der Karawanenstraße beträgt %%30\,\text{km}%%. Dann ist %%F%% der Lotfußpunkt mit %%\overline{AF}=30\,\text{km}%%. Nach dem Satz des Pythagoras gilt dann: %%(30\,\text{km})^2+\overline{FZ}^2 =(50\,\text{km})^2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\overline{FZ}^2=1600\,\text{km}^2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\overline{FZ}=40\,\text{km}%%

  3. Fährt das Rallyeteam von %%A%% über %%F%% nach %%Z%%, dann beträgt diese Fahrzeit:%%\displaystyle t_1=\frac{30\,\text{km}}{\color{green}{60}\,\text{km/h}}+\frac{40\,\text{km}}{\color{red}{100}\,\text{km/h}}=54\,\text{min}%%

  4. Fährt das Rallyeteam vom Startpunkt %%S%% geradlinig im Wüstensand zum Zielpunkt %%Z%%, dann beträgt die Fahrzeit: %%\displaystyle t_2=\frac{50\,\text{km}}{60\,\text{km/h}}=\frac{5}{6}\,\text{h}=50\,\text{min}%%

Für das Rallyeteam bringt der Umweg über %%F%% also keinen Gewinn. Es könnte aber einen Punkt %%P(x)%% irgendwo auf der Strecke zwischen %%F%% und %%Z%% geben, so dass die Fahrzeit von %%50\,min%% unterboten wird.

Die Zielfunktion %%f(x)%%

Gesamtfahrzeit %%f(x)%% = Fahrzeit von %%A%% nach %%P%% + Fahrzeit von %%P%% nach %%Z%%.

%%\displaystyle f(x)=\frac{\overline{SP(x)}}{\color{green}{60}\,\text{km/h}}+\frac{(40-x)\,\text{km}}{\color{red}{100}\,\text{km/h}}%%

Berechne %%\overline{SP(x)}%%mit dem Satz des Pythagoras in Abhängigkeit von %%x%%.

%%\begin{align}(30\,\text{km})^2+x^2&=\overline{SP(x)}^2\\ \overline{SP(x)}^2&=(900+x^2)\,\text{km}^2\\ \overline{SP(x)}&=\sqrt{900+x^2}\,\text{km}\end{align}%%

Setze %%\overline{SP(x)}%% in %%f(x)%% ein. (Gib %%f(x)%% ohne Benennungen an).

%%\displaystyle f(x) =\frac{\sqrt{900+x^2}}{60}+\frac{40-x}{100}%%

Der Definitonsbereich für %%f%% ist %%[0;40]%%.

Berechne %%f'(x)%%. Benutze dabei auch die Kettenregel.

%%\displaystyle f'(x)=\frac{x}{60\sqrt{900+x^2}}-0,01%%

Setze %%f'(x)%% gleich Null.

%%\begin{align}\displaystyle \frac{x}{60\sqrt{900+x^2}}&=0,01\;\;|\cdot60\sqrt{900+x^2}\\ x&=0,6\sqrt{900+x^2}\;\;|^2\\ x^2&=0,36\cdot(900+x^2)\\ 0,64x^2&=324\\ x&=\color{red}{+}\sqrt\frac{324}{0,64}\\ x_1&=22,5\end{align}%%

Überprüfe mit %%f''(x)%%, ob ein lokales Minimum vorliegt.

%%\displaystyle f''(x)=\frac{15}{(900+x^2)^{1,5}}%%

Setze %%x_1%% ein.

%%f''(x_1)\gt0%% %%\Rightarrow%% %%x_1%% liefert minimale Fahrzeit.

Berechne mit %%f(x_1)%% die minimale Fahrzeit.

%%f(22,5)=0,8%%

%%0,8\,h= (0,8\cdot60)\,min=48\,min%%

%%f(x)%% misst die Fahrzeit in Stunden.

Ergebnis:

Das Team gewinnt die traditionelle Rallye, wenn es über den %%22,5\,\text{km}%% von %%F%% entfernten Punkt %%P%% der Karawanenstraße zum Ziel fährt. Es braucht dafür %%48\,\text{Minuten}%%.

Die notwendige Ansteuerung des Zwischenpunktes %%P%% wird das Team natürlich mit einer Navigationshilfe vornehmen.

Im nachfolgenden Applet kannst du die Gesamtfahrzeit %%t%% in Abhängigkeit vom Zwischenpunkt %%P%% nachvollziehen.

Klicke auf den Punkt %%P%% und verschiebe ihn im Intervall [0;40].

B. Die alternative Rallye

Gegeben:

Benzinverbrauch im Sand:

%%20\,\text{Ltr/100km}%%

Benzinverbrauch auf der Karawanenstraße:

%%4\,\text{Ltr/100km}%%

Grafische Veranschaulichung

Skizze des Extremwertproblems für die alternative Rallye

Die Zielfunktion %%f(x)%%

Gesamtverbrauch %%f(x)%% = Verbrauch von %%S%% nach %%P%% + Verbrauch von %%P%% nach %%Z%%.

%%f(x)=\color{red}{0,2}\cdot\sqrt{900+x^2}+\color{green}{0,04}\cdot(40-x)%%

Der Definitionsbereich für %%f%% ist %%[0;40]%%.

Verzicht auf die Benennung der Größen im Funktionsterm. Bilde %%f'(x)%%.

%%f'(x)=\displaystyle\frac{0,2x}{\sqrt{900+x^2}}-0,04%%

Setze %%f'(x)%% gleich Null und löse die Gleichung.

%%\begin{align}\frac{0,2x}{\sqrt{900+x^2}}&=0,04\;\;|\;\cdot\sqrt{900+x^2}\\ 0,2x&=0,04\cdot\sqrt{900+x^2}\;\;|\;:0,04\\ 5x&=\sqrt{900+x^2}\;\;\;\;|^2\\ 25x^2&=900+x^2\;\;\;|-x^2\\ 24x^2&=900\;\;\;|:24\\ x&=\color{red}{+}\sqrt{\frac{900}{24}}\\ x_1&\approx{6,124}\end{align}%%

Überprüfe mit %%f''(x)%%, ob ein lokales Minimum vorliegt.

%%\displaystyle f''(x)=\frac{180}{(900+x^2)^{1,5}}%%

Setze %%x_1%% ein.

%%f(x_1)\gt0%% %%\Rightarrow%% %%x_1%% liefert minimalen Verbrauch.

Berechne mit %%f(x_1)%% den minimalen Verbrauch.

%%f(6,124)\approx7,48%%

f(x) misst den Verbrauch in Liter.

Ergebnis:

Das Team gewinnt die alternative Rallye, wenn es über den %%6,124\,\text{km}%% von %%F%% entfernten Punkt %%P%% der Karawanenstraße zum Zielpunkt fährt. Es verbraucht dabei rund %%7,5\ \text{Liter}%% Benzin.

Im nachfolgenden Applet kannst du den Gesamtbenzinverbrauch %%v%% in Abhängigkeit vom Zwischenpunkt %%P%% nachvollziehen.

Klicke auf den Punkt %%P%% und verschiebe ihn im Intervall [0;40].

Interpretation der Ergebnisse

Geschwindigkeitsrallye

Resultate für die traditionelle Rallye

Verbrauchsrallye Resultate für die alternative Rallye

Das Rallyeteam nützt bei der traditionellen Rallye (Fahrzeit 48 Min.; Verbrauch 8,7 Liter) die Karawanenstraße weit weniger als bei der alternativen (Fahrzeit rund 51 Min.; Verbrauch 7,5 Liter).

Dies hängt damit zusammen, dass der "Geschwindigkeitsvorteil" der Straße (%%120\,\text{km/h}:60\,\text{km/h}%%) weniger ausgeprägt ist, als der "Verbrauchsvorteil" (%%20\,\text{Liter/100 km}:4\,\text{Liter/100 km}%%).

Das Problem kennt jeder Möbelpacker:

Wie breit kann ein Schrank höchstens sein, damit er - bei gegebener Länge und ohne angehoben zu werden - um eine Flurecke geschoben werden kann?

Du kannst bei dieser Aufgabe Argumentieren - Schätzen - Experimentieren - Rechnen.

Argumentieren - schätzen

Beschreibe, wie ein Schrank um die Ecke geschoben werden muss, damit seine Breite bei gegebener Länge möglichst groß sein kann.

Fertige eine Skizze im Maßstab 1:20 (Flurmaße 2m auf 1,5 m) und schätze die maximale Breite für einen 3 m langen Schrank.

Unter welcher Abänderung der Aufgabenstellung könnte der Schrank auch dann noch "um die Ecke" gebracht werden, wenn er etwas zu breit ist?

Der Schrank muss offenbar so geschoben werden, dass seine rechte Seite die Ecke berührt.

Ein guter Schätzwert ist die Breite des gezeichneten Schranks, also 1 m. Allerdings könnte dies auch bereits etwas zu viel sein.

Falls der Schrank mit 1 Meter zu breit wäre, könnte er vielleicht doch noch "um die Ecke kommen", wenn der Flur hoch genug ist und man den Schrank etwas anheben könnte. Was in der Praxis aber oft durch das Gewicht des Schrankes nicht möglich ist.

Experimentieren

Mit dem gegebenen Geogebra-Applet kannst du die maximale Breite des 3 m langen Schrankes graphisch ermitteln, indem du den Gleiterpunkt B verschiebst.

Der abzulesende Wert für die größtmögliche Breite des Schranks ist rund 0,96 m. Der Schrank aus Teilaufgabe a) mit der Länge von 3 m wäre damit etwas zu breit.

Berechne für jeden Punkt B die mögliche Schrankbreite b(x).

Anleitung

Lege den Flur so in ein Koordinatensystem, dass die Ecke A die Koordinaten (2|4,5) und der Gleitpunkt B die Koordinaten (x|6) besitzt.

Die für jeden Punkt B(x|6) mögliche Schrankbreite b(x) ist der Abstand des Punktes A(2|4,5) von der Geraden BS.

Berechne die Koordinaten von S mit Hilfe des Pythagoras.

$$\begin{array}{l}x_B^2+(6-y(S))^2=9\Rightarrow\\6-y(S)=\sqrt{9-x_B^2}\Rightarrow\\y(S)=6-\sqrt{9-x_B^2}\Rightarrow\\S(0\vert6-\sqrt{9-x_B^2})\\\end{array}$$

Stelle die Geradengleichung BS auf.

$$BS:\frac{y-6}{x-x_B}=\frac{6-(6-\sqrt{9-x_B^2}}{x_B}$$

$$BS:\frac{y-6}{x-x_B}=\frac{\sqrt{9-x_B^2}}{x_B}$$

Multipliziere mit %%x_B\cdot(x-x_B)%%

$$BS:\sqrt{9-x_B^2}\cdot x-x_B\sqrt{9-x_B^2}=x_By-6x_B$$

$$BS:\sqrt{9-x_B^2}\cdot x-x_B\cdot y+x_B(6-\sqrt{9-x_B^2})=0$$

Binge BS in die Hessesche Normalenform

HNF von BS:

$$\frac{\sqrt{9-x_B^2}\cdot x-x_B\cdot y+x_B(6-\sqrt{9-x_B^2})}{\sqrt{(9-x_B^2)+x_B^2}}=0$$

$$\frac{\sqrt{9-x_B^2}\cdot x-x_B\cdot y+x_B(6-\sqrt{9-x_B^2})}3=0$$

A(2|4,5) in die HNF von BS eingesetzt ergibt %%b(x_B)%%.

$$\frac{\sqrt{9-x_B^2}\cdot2-x_B\cdot4,5+x_B(6-\sqrt{9-x_B^2})}3=b(x_B)$$

Zusammenfassen und statt %%x_B%% ein variables x schreiben.

$$b(x)=\frac12x-\frac13(x-2)\sqrt{9-x^2}$$

Bestimmung des Minimums der Breitenfunktion b(x)

Die Breitenfunktion b(x) ist definiert von x = 0 bis x = 3. Sie misst für jede Position des Gleitpunktes B den "dicksten" Schrank der gerade noch um die Ecke geschoben werden kann.

Zur Lösung des Schrankproblems braucht man den "dünnsten" aller Schränke, d.h. das Minimum von b(x).

Bestätige für zwei Sonderlagen von B die Richtigkeit des Rechenergebnisses $$\begin{array}{l}b(x)=\frac12x-\frac13(x-2)\sqrt{9-x^2}.\\\end{array}$$

Berechne die Ableitung von b(x) und löse die Gleichung b'(x) = 0 auf graphischem Wege, da sie algebraisch nicht gelöst werden kann.

Die beiden Sonderlagen für den Punkt B sind x = 0 (der Schrank steht noch ganz im ersten Flur) und x = 3 (der Schrank ist ganz um die Ecke geschoben).

Die Rechnung ergibt: b(0) = 2 und b(3) = 1,5

Bilde die 1. Ableitung von b(x) mit Hilfe der Produktregel und der Kettenregel.

$$b'(x)=\frac12-\frac13\sqrt{9-x^2}-\frac13(x-2)\cdot\frac12\cdot(9-x^2)^{-\frac12}\cdot(-2x)$$

Die Zusammenfassung ergibt:

$$b'(x)=\frac12+\frac{2x^2-2x-9}{3\sqrt{9-x^2}}$$

Setze b'(x) = 0

$$\frac12+\frac{2x^2-2x-9}{3\sqrt{9-x^2}}=0$$

Multipliziere mit den Nennern und löse die Gleichung graphisch, indem du den Schnittpunkt der Parabel und der Wurzelfunktion (Teil einer Ellipse) ermittelst.

$$\underbrace{2x^2-2x-9}_{\text{Parabel}} =\underbrace{-1,5\sqrt{9-x^2}}_{\text{Ellipse}}$$

Damit hat man die Lösung unseres Schrankproblems:

Der Punkt B(2,32|6) liefert die Schrankbreite b(2,32) des Schrankes, der bei der gegebenen Länge von 3 m gerade noch um die Ecke des Flures (2 m auf 1,5 m) geschoben werden kann.

Es gilt: $$b(2,32)\approx0,96\;m$$

Und was ist mit einer Vorhangstange?

Bestimme die maximale Länge einer waagrecht getragenen Vorhangstange, die durch den Flur (2 m auf 1,5 m) kommt.

Anleitung

Die größtmögliche Länge der Stange hängt ab vom Winkel mit der sie im Flur getragen wird. Zur Berechnung brauchst du Grundkenntnisse über Sinus und Kosinus.

l (in Metern) sei die Länge der Stange.

$$l=l_1+l_2$$

$$\sin\left(\alpha\right)=\frac{1,5}{l_1}\Rightarrow l_1=\frac{1,5}{\sin\left(\alpha\right)}$$

Betrachte die beiden rechtwinkligen Dreiecke, die %%\alpha%% enthalten

$$\cos\left(\alpha\right)=\frac2{l_2}\Rightarrow l_2=\frac2{\cos\left(\alpha\right)}$$

Setze ein: %%\cos\left(\alpha\right)=\sqrt{1-\sin^2\left(\alpha\right)}%%

$$l_2=\frac2{\sqrt{1-\sin^2\left(\alpha\right)}}$$

Addiere %%l_1%% und %%l_2%% und setze $$\sin\left(\alpha\right):=x$$

$$l(x)=\frac{1,5}x+\frac2{\sqrt{1-x^2}}$$

Bilde mit der Quotientenregel und Kettenregel l'(x) um die maximale Länge zu ermitteln.

$$l'(x)=-\frac{1,5}{x^2}+\frac{2x}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}}$$

Die Gleichung l'(x) = 0 lässt sich auch hier nicht algebraisch, sondern nur graphisch lösen.

Die x-Koordinate des Schnittpuktes S löst die Gleichung $$\frac{1,5}{x^2}=\frac{2x}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}}$$ x = 0,67 (ein Näherungswert!) ist also die Lösung der Gleichung l'(x) = 0 und liefert die längstmögliche Stange.

$$l(0,67)=\frac{1,5}{0,67}+\frac2{\sqrt{1-0,67^2}}$$

$$l(0,67)\approx4,93 \, \text{m}$$

Eine %%4,93 \, \text {m}%% lange Stange kann also - waagrecht getragen - in unserem Flur gerade noch um die Ecke getragen werden.

Peter unternimmt mit seinem Verein eine Floßfahrt. Ob sie aber auch gutgeht?

Mit dem nachfolgenden Geogebra-Applet kannst du experimentell durch Verschieben des Gleiterpunktes G ermitteln, ob der "schwimmende Schrank" (18 m x 4,8 m) um die Flußecke (6 m auf 10 m) kommt.

Zwischen einer Straße und einem Bach soll als Hochwasserschutz ein Damm errichtet werden.

Aus technischen Gründen ist dies aber nur möglich, wenn der Bach der Straße auf höchstens 5 m nahekommt.

Berechne, ob der Schutzdamm bei dem gegebenen Geländeplan (1LE = 10 m) gebaut werden kann, wenn der Bach dem Graphen der Funktion %%f(x)=2^x%%und die Straße dem Graphen der Funktion %%s(x)=x%% folgen.

Berechne den Abstand d(x) eines beliebigen Punktes %%P(x\vert2^x)%% des Bachs von der Straße.

Benutze dazu im gleichschenkligen Dreieck den Satz des Pythagoras.

%%d^2(x)+d^2(x)=\left(2^x-x\right)^2%%

%%d^2(x)=\frac12\cdot\left(2^x-x\right)^2%%

%%\mid\sqrt{}%%

%%d(x)=\frac1{\sqrt2}\cdot\left(2^x-x\right)%%

Um das Minimum von %%d(x)%% zu berechnen, brauchst du mit Hilfe der Ableitung der Exponentialfunktion %%2^x%% die Ableitung %%d'(x)%%.

%%d'(x)=\frac1{\sqrt2}\left(\ln(2)\cdot2^x-1\right)%%

Setze %%d'(x)=0%% um das Minimum von d(x) zu berechnen.

%%\frac1{\sqrt2}\cdot\left(\ln(2)\cdot2^x-1\right)=0%%

der 2. Faktor muss 0 werden

%%\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ln(2)\cdot2^x-1=0%%

nach %%2^x%% auflösen

%%\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\displaystyle 2^x=\frac1{\ln(2)}%%

nach x mit Hilfe einer Logarithmusfunktion auflösen

%%\displaystyle x=\frac1{\ln(2)}\cdot\ln\left(\frac1{\ln(2)}\right)%%

%%x\approx0,53%%

Noch fehlt der Nachweis, dass %%x\approx0,53%% tasächlich ein Abstandsminimum liefert.

Da %%2^x%% streng monton steigend ist, gilt: %%d'(0,53-h)<0%% und %%d'(0,53+h)>0%%. Damit liefert %%x\approx0,53%% das Abstandsminimum.

Berechne %%d(0,53)%%.

%%d(0,53)=\frac1{\sqrt2}\left(2^{0,53}-0,53\right)%%

%%d(0,53)\approx0,65%%

Der Bach kommt der Straße auf rund 6,50 m nahe. Der Schutzdamm kann deshalb gebaut werden.

Bestätige das Rechenergebnis am nebenstehenden Applet.

Verschiebe dazu den Punkt P auf dem Fluss und lies den jeweiligen Abstand d zur Straße ab. Beachte dabei: 1 LE = 10 m.

alternative Lösung

Berechne denjenigen Punkt der Exponentialfunktion f, in dem die Steigung 1 ist. Der Abstand dieses Punktes von der Geraden s ist das gesuchte Abstandsminimum.

Bilde die Ableitung der Exponentialfunktion.

%%f(x)=2^x\Rightarrow f'(x)=\ln(2)\cdot2^x%%

Setze %%f'(x)%% gleich 1.

%%\ln(2)\cdot2^x=1%%

%%\left|:\ln(2)\right.%%

%%\displaystyle 2^x=\frac1{\ln(2)}%%

Löse die Gleichung durch Logarithmieren.

%%\displaystyle x=\frac1{\ln(2)}\cdot\ln\left(\frac1{\ln(2)}\right)%%

Einsatz des Taschenrechners.

%%x\approx0,53%%

Setze %%x=0,53%% und berechne den Näherungswert der y-Koordinate.

%%P(0,53\vert1,44)%%

Den Abstand des Punktes %%P(0,53\vert1,44)%% von der Geraden %%s:\;y\;-\;x\;=\;0%% berechnet man am bequemsten mit der Hessesche Normalenform der Geraden.

Formel der Hesseschen Normalenform einer Geraden

Die Gerade mit der Funktionsgleichung %%\;y=mx+t\;%% bzw.%%\;y-mx-t=0\;%% hat die

Hessesche Normalenform (HNF)

%%\displaystyle \frac{y-mx-t}{+\sqrt{m^2+1}}=0%% %%\;\;falls\;\;t\geq0%%

%%\displaystyle\frac{y-mx-t}{-\sqrt{m^2+1}}=0%% %%\;\;falls\;\;t\lt0%%

HNF von s:

$$\frac{y-x}{\sqrt2}=0$$

Du erhältst den gesuchten Abstand %%d(P;s)%%, wenn du die Koordinaten von P in die linke Seite der HNF einsetzt.

$$\frac{1,44-0,53}{\sqrt2}=d(P;s)$$

%%d_{min}=\;d(P;s)\approx0,64%%

Der geringfügige Unterschied zum ersten Ergebnis resultiert aus dem Rundungswert der y-Koordinate von P.

Aus einer rechteckigen Blechtafel der Länge %%a\,LE% %% und der Breite %%b\,LE%% soll eine Dachrinne (Länge %%a%%) hergestellt werden, die maximales Wasservolumen aufnehmen kann.

Blechtafel

a)

Die Blechtafel wird V-förmig gebogen.

Welcher "Knickwinkel" ist zu wählen? Welches maximale Wasservolumen ergibt sich?

b)

Die Blechtafel wird rechteckig gebogen. Wie ist das Blech zu biegen, damit sich ein maximales Wasservolumen ergibt?

rechteckige Dachrinne

c)

Die Blechtafel wird halbkreisförmig gebogen. Welches Wasservolumen ergibt sich?

Vergleiche die Ergebnisse der drei Teilaufgaben.

Dachrinne halbkreisförmig

Extremwertaufgabe

In diesen Aufgaben soll eine ebene Fläche auf unterschiedliche Weise so zu einem Körper gebogen werden, dass dieser ein größtmögliches Volumen besitzt.

Teilaufgabe a)

Da die rechteckige Blechtafel V-förmig geknickt wird, entsteht aus dem ebenen Rechteck ein gerades dreiseitiges Prisma mit der Höhe %%a%%.

Für das Volumen der geknickten Dachrinne gilt somit:

%%V_\text{Dachrinne}=\,\text{Dreiecksfläche}_{\triangle ABC}\;\cdot a%%

Prisma

Und da der Buchstabe V achsensymmmetrisch ist, ist die Grundfläche des Prismas ein gleichschenkliges Dreieck mit der vorgegebenen Schenkellänge %%\displaystyle \frac b2%%, dessen Flächeninhalt A vom Knickwinkel %%\gamma%% abhängt.

%%\gamma%% ist ein Winkel zwischen %%0°%% und %%180°%%.

Die Abhängigkeit der Dreiecksfläche %%A_{\triangle ABC}%% von %%\gamma%% kannst du an dem gegebenen Applet für %%b=4\,LE%% nachvollziehen.

Wegen des fest vorgegebenen Wertes %%a%% für die Höhe des Prismas ist sein Volumen dann am größten, wenn die Dreiecksfläche %%A_{\triangle ABC}%% maximal ist.

Als Zielfunktion für die Extremwertaufgabe, das größtmögliche Dachrinnenvolumen zu ermitteln, verwendest du im weiteren deshalb die von %%\gamma%% abhängige Dreiecksfläche.

Das Applet macht deutlich, dass sowohl die Grundlinie wie auch die Höhe des Dreiecks vom Knickwinkel %%\gamma%% abhängen und mit diesem variieren.

Für die Dreiecksfläche der Grundfläche des Prismas gilt:

%%A_{\triangle ABC}=\frac12 \cdot \text {Grundlinie}\cdot\text{Höhe}%%

Also ergibt sich die

Zielfunktion

%%A(c;h)=c\cdot h%%

mit %%c\in[0;b/2]%% und %%h\in[0;b/2]%%

Grundfläche

Das gleichschenklige Dreieck %%ABC%% enthält das rechtwinklige Teildreieck %%BMC%% mit der gegebenen Hypotenusenlänge %%b/2%% und dem variierenden Winkel %%\gamma/2%%.

Mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen %%Sinus%% und %%Cosinus%% kannst du nun die Dreiecksfläche als Funktion des Knickwinkels %%\gamma%% darstellen.

1. Nebenbedingung

%%\displaystyle sin\frac{\gamma}{2}=\frac {c}{\frac b 2}%%

2. Nebenbedingung

%%\displaystyle cos\frac{\gamma}{2}=\frac{h}{\frac b2}%%

Löse die 1. Nebendingung nach %%c%% und die 2. Nebenbedingung nach %%h%% auf.

%%\displaystyle c=\frac b2 \cdot sin\frac{\gamma}{2}%%

%%\displaystyle h=\frac b2 \cdot cos\frac{\gamma}{2}%%

Setze %%c%% und %%h%% in %%A(c;h)%% ein, um die Dreiecksfläche als Funktion von %%\gamma%% zu erhalten.

Erinnerung: %%b%% ist ein konstanter Wert.

Zielfunktion

%%\displaystyle A(\gamma)=\left( \frac b2 \cdot sin\frac{\gamma}{2}\right )\cdot \left (\frac b2 \cdot cos\frac{\gamma}{2}\right )%%

Fasse zusammen.

%%\displaystyle A(\gamma)=\frac{b^2}{4}\cdot sin\frac{\gamma}{2} \cdot cos\frac{\gamma}{2}%%

Bilde unter Verwendung der Produktregel und der Kettenregel die Ableitung %%A'(\gamma)%%.

%%A'(\gamma)=\frac{b^2}{4}\cdot (\underbrace{\underbrace{\frac 12 cos\frac {\gamma}{2}}_\color{red}{\text{Kettenregel}}-\underbrace{\frac 12 sin\frac{\gamma}{2}}_\color{red}{\text{Kettenregel}}}_\color{red}{\text{Produktregel}})\quad|\;\frac 12\; \text{ausklammern}%%

%%\displaystyle A'(\gamma)=\frac{b^2}{8}\cdot (cos\frac{\gamma}{2}-sin\frac{\gamma}{2})%%

Setze %%A'(\frac{\gamma}{2})%% gleich Null um zu berechnen, für welchen Knickwinkel %%\gamma%% die Grundfläche des Dachrinnenprimas maximal sein kann.

%%\begin{array}{rcll} \displaystyle \frac{b^2}{8}\cdot (cos\frac{\gamma}{2}-sin\frac{\gamma}{2})&=&0&|\;:\displaystyle \frac{b^2}{8}\\ \displaystyle cos\frac{\gamma}{2}-sin\frac{\gamma}{2}&=&0&|\; \displaystyle+ sin\frac{\gamma}{2}\\ \displaystyle cos\frac{\gamma}{2}&=& \displaystyle sin\frac{\gamma}{2}&|\;\displaystyle :cos\frac{\gamma}{2}\\ 1&= &\displaystyle tan\frac{\gamma}{2}&|\; tan^{-1}\\ \displaystyle \frac{\gamma}{2}&=&45°&|\;\cdot2\\ \gamma&=&90°\end{array}%%

Um nachzuweisen, dass %%A(\gamma)%% für %%\gamma=90°%% tatsächlich maximal ist, hast du zwei Möglichkeiten.

Möglichkeit 1

Bilde die 2. Ableitung von %%A(\gamma)%%.

%%\displaystyle A'(\gamma)=\frac{b^2}{8}\cdot (cos\frac{\gamma}{2}-sin\frac{\gamma}{2})\;\Rightarrow%%

%%\displaystyle A''(\gamma)=\frac{b^2}{8}\cdot (\underbrace{-\frac12 sin\frac{\gamma}{2}}_{\color{red}{\text{Kettenregel}}}-\underbrace{\frac12 cos\frac{\gamma}{2}}_{\color{red}{\text{Kettenregel}}})%%

%%-\frac12%% ausklammern

%%\displaystyle A''(\gamma)=-\frac{b^2}{16}\cdot (sin\frac{\gamma}{2}+cos\frac{\gamma}{2})%%

Setze %%\gamma=90°%% ein.

%%\displaystyle A(90°)=-\frac{b^2}{16}\cdot (\frac12 \sqrt{2}+\frac12 \sqrt{2})\;\color{red}{<}\,0\;\Rightarrow%%

%%\gamma=90°%% liefert maximalen Flächeninhalt des Grunddreiecks.

Möglichkeit 2 ohne Benutzung der 2. Ableitung:

Die Funktion %%A(\gamma)%% hat für die Randpunkte des Definitionsbereichs (%%\gamma=0°%% und %%\gamma=180°%%) ihr Minimum %%0%%. Dann liefert das (einzige) lokale Extremum dazwischen ein Maximum.

%%A(0°)=0%% und %%A(180°)=0\quad\Rightarrow\quad A(90°)\;\text{liefert ein Maximum.}%%

Für das Volumen der v-förmig geknickten Dachrinne galt:

%%V_\text{Dachrinne}=\text{Dreiecksfläche}\cdot a%%.

Somit ergibt sich für das größtmöglichde Volumen dieser Dachrinne:

%%\displaystyle V_{max}=\frac{b^2}{4} \cdot sin(45°)\cdot cos(45°)\cdot a%%.

Also:

%%\displaystyle V_{max}=\frac18ab^2%%

Teilaufgabe b)

Da die Blechtafel rechtwinklig geknickt wird, entsteht aus dem ebenen Rechteck ein Quader mit der Höhe a und einem Rechteck mit den Seitenlängen %%x%% und %%y%% als Grundfläche.

Für das Volumen des Quaders gilt somit:

%%V_\text{Quader}=\text{Grundfläche}\cdot\;a%%

Quader

Da das Volumen des Quaders maximal werden soll, erhältst du folgende

Zielfunktion

$$V(x;y)=x\cdot y \cdot a$$

mit %%\displaystyle x\in \;]0;\frac b2 [\;%% und %%y\in ]0;b[%% und der Konstanten %%a%%.

Da die Blechtafel achsensymmetrisch zur Seite %%b%% geknickt wird ergibt sich als

Nebenbedingung

%%\begin{align}2x+y&=b\\ y&=b-2x \end{align}%%

Setze y in %%V(x;y)%% ein.

%%V(x)=x\cdot (b-2x)\cdot a%%

%%V(x)=(-2x^2+bx)\cdot a%%

Bilde %%V'(x)%%.

%%V'(x)=(-4x+b)\cdot a%%

Setze %%V'(x)%% gleich Null und löse nach %%X%% auf.

%%\begin{array} {rcll} (-4x+b)\cdot a &=&0&| :a\\ -4x+b&=&0\\ x&=&\displaystyle \frac b4 \end{array}%%

Argumentiere, dass sich für %%x=b/4%% ein Maximum ergibt.

Es gilt:

%%A''(\gamma)=-4a\;\color{red}{<}\;0%%.

%%A''(x)%% ist also eine negative Konstante.

Das Extremum ist also ein Maximum.

Ohne Benutzung der 2. Ableitung kannst du auch so argumentieren:

Der Graph der Funktion %%A(\gamma)%% ist eine nach unten geöffnete Parabel. Das lokale Extremum deshalb ein Maximum.

%%x=\frac b4%% in %%V(x)=(-2x^2+bx)\cdot a%% eingesetzt, ergibt das größtmögliche Volumen %%V_{max}%% dieser Dachrinne:

%%\displaystyle V_{max}=(-2 \cdot \frac {b^2}{16}+b\cdot \frac b4 ) \cdot a%%

Also:

%%\displaystyle V_{max}= \frac{ab^2}{8}%%

Teilaufgabe c)

Diese Teilaufgabe ist keine Extremwertaufgabe. Das halbkreisförmig gebogene Blechrechteck ergibt eine Zylinderhälfte der Höhe %%a%%. Dessen Volumen ist mit den Ergebnissen der Teilaufgaben a) und b) zu vergleichen.

Der Umfang des (ganzen) Grundkreises ist %%2b%%.

Dann gilt für den Radius %%r%%:

%%2r\pi=2b\quad\Rightarrow\quad r=\displaystyle \frac{b}{\pi}%%

Dachrinnenzylinder

Die Dachrinne, d.h. der halbe Zylinder, hat dann folgendes Volumen:

%%V_{Rinne} = \displaystyle \frac 12 \cdot \left (\frac{b}{\pi}\right)^2 \cdot \pi \cdot a%%.

Damit ergibt sich:

%%V_{Rinne}= \displaystyle \frac{1}{2\pi}\cdot a\cdot b^2\quad\approx0,16ab^2%%

Der Vergleich der drei Teilaufgaben ergibt:

Die beiden maximalen Dachrinnenvolumina der Teilaufgaben a) und b) sind mit %%0,125ab^2%% gleich und kleiner als das halbkreisförmig gebogene Volumen der Teilaufgabe c) mit %%0,16ab^2%%. Dieses ist somit um rund %%28\% %% größer als das Maximum jeder geknickten Rinne.

Eine romanische Fensterform ist zusammengesetzt aus einem Rechteck und einem oben anschließenden Halbkreis.

Das nebenstehende romanische Fenster habe den Umfang %%u\,=\,5\,LE%% und die Rechtecksseiten %%a\,LE%% und %%b\,LE%%.

Bei welchen Werten für %%a%% und %%b%% hat das Fenster den größtmöglichen Flächeninhalt?

romanisches Fenster

Extremwertaufgabe

Für die Form eines romanischen Fensters (Rechteck mit oben angefügtem Halbkreis) soll bei gegebenem Umfang die größtmögliche Fläche berechnet werden.

Die Zielfunktion, deren Maximum zu berechnen ist, ergibt sich als Summe der Rechtecksfläche mit den Seitenlängen %%a\,LE%% und %%b\,LE%% und der Fäche des Halbkreises mit Radius %%b/2\,LE%%.

Zielfunktion:

$$A(a;b)=a\cdot b+\frac12\cdot(\frac{b}{2})^2\pi$$

romanisches Fenster

Der gegebene Umfang %%u=5\,LE%% ist für die Zielfunktion die "Nebenbedingung".

Nebenbedingung

%%2a+b+k=5%%

Berechne %%k%% als Kreisbogenlänge des Halbkreises.

%%k=\frac 12 \cdot 2\cdot (\frac {b}{2})\cdot \pi%%

%%k=\frac 12 b\pi%%

Setze %%k%% in die Nebenbedingung ein und löse diese nach %%a%% (oder auch nach %%b%%) auf.

%%\begin {array} {r c l l} 2a+b+\frac 12 b\pi&=&5&|\,\text{b ausklammern}\\ 2a+b(1+\frac 12 \pi)&=&5&|-\,b( …)\\ 2a&=&5-b(1+ \frac 12\pi)&|\;:2\\ a&=&2,5-\frac 12 b(1+\frac 12 \pi)&\text{Setze a in A(a;b) ein.}\\ \end{array}%%

%%\begin{array}{rcl} A(\color{red}{b})&=&\color{red}{(}2,5-\frac12 b(1+\frac 12 \pi)\color{red}{)}\cdot b+ \frac 12\cdot (\frac {b}{2})^2\pi\\ &=&2,5b-\frac 12b^2(1+\frac12\pi)+\frac18b^2\pi&|\,\text{D-Gesetz für}\;\frac12b^2(1+\frac12\pi)\\ &=&2,5b-\frac12b^2-\frac14b^2\pi+\frac18b^2\pi&|\;b^2\,\text{zusammenfassen}\\ &=&2,5b-b^2(\frac12+\frac14\pi-\frac18\pi)&|\text{zusammenfassen}\\ A(b)&=&2,5b-(\frac12+\frac18\pi)b^2&|\,\text{Berechne A'(b) und A''(b)}.\end{array}%%

%%A'(b)\,=2,5-b(1+\frac14\pi)%%

%%A''(b)=-1-\frac14\pi\;\color{red}{<}0%%

Setze %%A'(b)%% gleich Null und löse nach %%b%% auf.

Da %%A''(b)%% für jedes %%b%% negativ ist, ergibt sich ein Maximum.

%%\begin{array}{rcll} 2,5-b(1+\frac14\pi)&=&0\\ \displaystyle b\cdot\frac{4+\pi}{4}&=&2,5&|\;:\displaystyle \frac{4+\pi}{4}\\ b_{max}&=&\displaystyle \frac{10}{4+\pi}&\Rightarrow\end{array}%%

%%\begin{array}{rcll}a_{max}&=&\displaystyle 2,5-\frac12\color{red}{(\frac{10}{4+\pi})}(1+\frac12\pi)\\ &=&\displaystyle 2,5-\frac{5}{4+\pi}\cdot\frac{2+\pi}{2}\\ &=&\displaystyle 2,5-2,5\cdot \frac{2+\pi}{4+\pi}\\ &=&\displaystyle \frac{2,5\cdot (4+\pi)-2,5\cdot (2+\pi)}{4+\pi}\\ a_{max}&=&\displaystyle \frac{5}{4+\pi}\end{array}%%

Setze %%b_{max}%% und %%a_{max}%% in %%A(a;b)%% ein, um die maximale Fläche des romanischen Fensters mit dem Umfang %%5\,LE%% zu erhalten.

(Du kannst auch %%b_{max}%% alleine in %%A(b)%% einsetzen.)

%%\begin{array}{rcll} A_{max}&=&\displaystyle \frac{5}{4+\pi}\cdot \frac{10}{4+\pi}+\frac12 \cdot \left(\frac{5}{4+\pi}\right)^2\cdot \pi\\ &=&\displaystyle\frac{50}{(4+\pi)^2}+\frac{25\pi}{2\cdot (4+\pi)^2}\\ &=&\displaystyle \frac{100+25\pi}{2(4+\pi)^2}\\ &=&\displaystyle \frac{25(4+\pi)}{2(4+\pi)^2}\\ A_{max}&=&\displaystyle \frac{12,5}{4+\pi}\\ A_{max}&\approx&1,75\end{array}%%

Ergebnis:

Das romanische Fenster mit dem Umfang %%5\,LE%% hat seine größte Fläche von rund %%1,75\,FE%%, wenn die Grundseite gerade doppelt so groß ist wie die Höhe des Rechtecks.

Anhand des beigefügten Applets kannst du durch Verschieben des unteren rechten Eckpunkts das Ergebnis überprüfen.

Eine rechteckige Blechtafel mit den Seitenlängen %%a\,LE%% und %%b\,LE%% wird zu einem quaderförmigen Gegenstand so geknickt und gebogen, dass dieser an der oberen Mantelfläche halbkreisförmig eingedellt ist. Der Körper sei durch seine beiden Grundflächen abgeschlossen. (Siehe die nachfolgende Skizze.)

a) Bestimme das größtmögliche Volumen eines solchen Körpers.

b) Bestimme seine Mantelfläche.

c) Berechne die größtmögliche Oberfläche des Körpers.

d) Welche Kantenmaße hat dieser größtmögliche Körper für %%b=10\,m%% und %%a=5\,m%%?

Blechtafel biegen

Extremwertaufgabe

Eine ebene Fläche soll so gebogen werden, dass ein Körper vorgegebener Form entsteht, der ein größtmögliches Volumen besitzt.

Dazu soll dessen Mantelfläche und seine größtmögliche Oberfläche betrachtet werden.

Teilaufgabe a)

Für das Volumen des durch Verformen der Blechtafel zu bildenden Körpers gilt nach dem Satz des Cavalieri:$$V=\text{Grundfläche}\cdot a$$

Die Grundfläche und damit auch das Volumen des eingedellten quaderförmigen Körpers hängt von den variablen Größen %%x,y,k%% der Blechtafelseite %%b%% und dem fest vorgegeben Wert %%a%% der zweiten Tafelseite ab.

Körper

Querschnitt durch den Körper

Querschnitt

Die Zielfunktion, deren Maximum zu berechnen ist, ergibt sich aus der Differenz der Rechtecksfläche mit den Seitenlängen %%x\,LE%% und %%y\,LE%% und der Fläche des Halbkreises zum Radius %%x/2\,LE%%, multipliziert mit dem Faktor %%a\,LE%%.

Zielfunktion:

%%\quad\quad V(x;y)= [x\cdot y-\underbrace{\displaystyle \frac 12 \cdot \left(\frac{x}{2}\right)^2\pi}_{\text{Halbkreisfläche}}]\cdot a%% $$\quad \quad V(x;y)=(x\cdot y-\displaystyle x^2 \cdot \frac {\pi}{8})\cdot a$$

Die zu knickende und umzubiegende Seitenlänge %%b%% ergibt für die Zielfunktion %%V(x;y)%% eine Nebenbedingung.

Nebenbedingung:

%%\quad\quad x+y+k+y=b%%

Berechne %%k%% als Kreisbogenlänge des Halbkreises zum Radius %%x/2%%.

%%\begin{array}{rcl} \displaystyle k&=&\displaystyle \frac 12 \cdot 2 \cdot\displaystyle (\frac{x}{2})\cdot \pi\\ k&=&\displaystyle \frac{1}{2}x\pi\end{array}%%

Setze %%k%% in die Nebenbedingung ein und löse diese nach %%y%% (oder auch nach %%x%%) auf.

%%\begin{array}{r c l l} x+2y+\color{red}{\frac 12 x\pi}&=&b&|\,-x-\frac 12 x\pi\\ 2y&=&b-x-\frac 12 x\pi &|\;:2\\ y&=&\frac 12 b- x(\frac 12 + \frac 14 \pi)&|\;\text{Setze y in V(x;y) ein}\end{array}%%

%%\begin{array} {r c l l} V(\color{red}{x})&=&\displaystyle [x\cdot \color{red}{(}\frac 12 b- x(\frac 12 + \frac 14 \pi )\color{red}{)}-x^2\cdot \frac{\pi}{8}]\cdot a\\ &=&[\displaystyle \frac 12 bx - x^2(\frac 12 + \frac 14\pi)-x^2\cdot \frac {\pi}{8}]\cdot a\\ &=&\displaystyle [\frac 12 bx - x^2(\frac 12 + \frac 14\pi+\frac{\pi}{8})]\cdot a\\ &=&\displaystyle [\frac 12 bx - x^2(\frac 12 + \frac{3\pi}{8})]\cdot a\\ V(x)&=&\displaystyle (\frac 12 bx - \frac{4+3\pi}{8}x^2)\cdot a\end{array}%%

Berechne %%V'(x)%% und %%V''(x)%%.

$$V'(x)= \displaystyle \frac 12 b - \frac{4+3\pi}{4}\cdot x$$

$$V''(x)=\displaystyle -\frac{4+3\pi}{4}\color{red}{<}0$$

Setze %%V'(x)%% gleich Null und löse nach %%x%% auf.

Da %%V''(x)%% für jedes %%x%% negativ ist, ergibt sich für das Volumen ein Maximum.

%%\begin{array}{ r c l l} \displaystyle \frac 12 b - \frac{4+3\pi}{4}\cdot x_{max}&=&0\\ \displaystyle \frac{4+3\pi}{4}\cdot x_{max}&=&\frac 12 b&|\;:\frac {4+3\pi}{4}\\ x_{max}&=&\displaystyle \frac{4b}{2(4+3\pi)}\\ x_{max}&=&\displaystyle\frac{2b}{4+3\pi}\end{array}%%

Für die maximale Halbkreislinie %%k%% ergibt dies:

%%k_{max}=\displaystyle \frac 12\cdot \color{red}{\frac{2b}{4+3\pi}}\cdot \pi%%

%%k_{max}=\displaystyle \frac {b\pi}{4+3\pi}%%

Setze %%x_{max}%% in %%y=\frac 12 b-x(\frac 12 + \frac 14 \pi)%% ein, um die maximale y-Kantenlinie des Körpers zu erhalten:

%%\begin{array}{l c l l} y_{max}&=&\displaystyle \frac {b}{2}-\frac{2b}{(4+3\pi)}\cdot (\frac 12 + \frac 14 \pi)&|\,\text{HN}\\ &=&\displaystyle \frac b2-\frac{2b}{(4+3\pi)} \cdot \frac{2+\pi}{4}&|\,\text{kürzen}\\ &=&\displaystyle \frac b2 -\frac b2 \cdot \frac{2+\pi}{4+3\pi}&|\,\text{ausklammern}\\ &=&\displaystyle \frac b2 (1-\frac{2+\pi}{4+3\pi})&|\,\text{HN}\\ &=&\displaystyle \frac b2 \cdot \frac{4+3\pi-2-\pi}{4+3\pi}&|\,\text{zusammenfassen}\\ &=&\displaystyle\frac b2 \cdot\frac{2+2\pi}{4+3\pi}&|\,\text{kürzen}\\ y_{max}&=&\displaystyle b \cdot \frac {1+\pi}{4+3\pi} \end{array}%%

Setze %%x_{max}%% und %%y_{max}%% in

%%V(x;y)=\displaystyle (x\cdot y-x^2\cdot \frac \pi8)\cdot a%%

ein, um das größtmögliche Volumen des Körpers zu erhalten.

%%\begin{array} {l c l l} V_{max}&=&\displaystyle \left(\color{red}{\frac {2b}{4+3\pi}}\cdot\color{green}{b\cdot \frac {1+\pi}{4+3\pi}}-\color{red}{\frac {4b^2}{(4+3\pi)^2}}\cdot \frac \pi 8\right)\cdot a\\ &=&\displaystyle\left(\frac{2b^2(1+\pi)}{(4+3\pi)^2}-\frac{4b^2\pi}{8(4+3\pi)^2}\right)\cdot a&|\,\text{kürzen}\\ &=&\displaystyle \left(\frac{2b^2(1+\pi)}{(4+3\pi)^2}-\frac{b^2\pi}{2(4+3\pi)^2} \right)\cdot a&|\,\text{HN}\\ \displaystyle &=&\displaystyle \frac{4b^2(1+\pi)-b^2\pi}{2(4+3\pi)^2} \cdot a&\,\text{Distributivgesetz}\\ &=&\displaystyle \frac{4b^2+4b^2\pi-b^2\pi}{2(4+3\pi)^2}\cdot a&|\,\text{zusammenfassen}\\ &=&\displaystyle \frac{4b^2+3b^2\pi}{2(4+3\pi)^2}\cdot a&|\,\text{ausklammern}\\ &=&\displaystyle \frac{b^2(4+3\pi)}{2(4+3\pi)^2}\cdot a&|\,\text{kürzen}\\ V_{max}&=\displaystyle \frac{ab^2}{2(4+3\pi)}\end {array}%%

Zusammenfassung des Ergebnisses der Teilaufgabe a):

Wird die Blechtafel mit den Seitenlängen %%a\,LE%% und %%b\,LE%% längs der Seite %%b%% so gebogen, dass die Kantenlängen %%x_{max}%%, %%y_{max}%%, die Halbkreislinie %%k_{max}%% und nochmals die Kante %%y_{max}%% aufeinanderfolgen, so hat der entstehende Körper sein maximales Volumen mit

%%V_{max}=\displaystyle \frac{ab^2}{2(4+3\pi)}%%.

Teilaufgabe b)

Die Mantelfläche eines jeden der quaderförmigen eingedellten Körper ist - unabhängig von seinem Volumen - die Fläche der Blechtafel.

Also:

%%M=a\cdot b%%.

Mantelfläche

Dies kannst du auch rechnerisch folgendermaßen bestätigen:

%%\begin{array}{rcl} M&=&\underbrace{x\cdot a}_{\text{x-Kante}}+2\cdot [\underbrace{\frac12 b-\frac12 x(1+\frac{\pi}{2})}_{\text{y-Kante}}]\cdot a+\underbrace{x\cdot \frac{\pi}{2}\cdot a}_{\text{Kreislinie}}\\ &=&x\cdot a+b\cdot a-x(1+\frac{\pi}{2})\cdot a+x\cdot \frac{\pi}{2}\cdot a\\ &=&x\cdot a+b\cdot a-x\cdot a-x\cdot\frac{\pi}{2}\cdot a +x\cdot \frac{\pi}{2}\cdot a\\ M&=&b\cdot a\end{array}%%

Zusammenfassung des Ergebnisses der Teilaufgabe b):

Alle Körper, die sich auf die beschriebene Weise aus der Blechtafel mit den Seitenlängen %%a\,LE%% und %%b\,LE%% herstellen lassen, haben die gleiche Mantelfläche %%a\cdot b\,LE^2%%.

Teilaufgabe c)

Für die Oberfläche %%O%% eines jeden der betrachteten Körper gilt:

%%O=\text{Mantelfläche}+2\cdot\text{Grundfläche}%%

Bereits in Teilaufgabe a) wurde die Grundfläche bestimmt als Differenzfläche eines Rechtecks mit den Seitenlängen %%x \,LE%% und %%y\, LE%% und der Halbkreisfläche zum Radius %%\frac{x}{2} \,LE%%.

Für die zu maximierende Oberfläche ergibt sich somit die folgende

Zielfunktion:$$O(x;y)=b\cdot a+2(x\cdot y-x^2\cdot \frac{\pi}{8})$$

Ebenso wie für die Volumenoptimierung in Teilaufgabe a) ergibt sich als

Nebenbedingung:

%%x+y+k+y=b%% mit %%k=\frac12x\pi%%.

%%k%% eingesetzt und nach %%y%% aufgelöst ergibt: $$y=\frac12-\frac12 x(1+\frac{\pi}{2})$$

Setze %%y%% in %%O(x;y)%% ein:

%%\begin{array}{lcl} O(\color{red}{x})&=&b\cdot a+2\left[x\cdot \left(\frac12 b-\frac12 x(1+\frac{\pi}{2})\right)-x^2\cdot\frac{\pi}{8}\right]\\ &=&b\cdot a+2\left[\frac12 bx-\frac12 x^2(1+\frac{\pi}{2})-x^2\cdot \frac{\pi}{8}\right]\\ &=&b\cdot a+bx-x^2(1+\frac{\pi}{2})-x^2\cdot \frac{\pi}{4}\\ &=&b\cdot a+bx-x^2(1+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4})\\ O(x)&=&b\cdot a+bx-x^2(1+\frac34 \pi)\end{array}%%

Der Graph von %%O(x)%% ist wegen des negativen Faktors beim %%x^2%%-Glied eine nach unten geöffnete Parabel. Ihr Scheitelpunkt liefert also eine maximale Oberfläche des Körpers.

Mit der 1. Ableitung von %%O(x)%% bestimmst du den x-Wert der maximalen Oberfläche:

%%O'(x)=b-2x(1+\frac34 \pi)%%

Setze %%O'(x)%% gleich Null um %%x_{max}%% zu bestimmen.

%%\begin{array}{rcll} b-2\cdot x_{max}(1+\frac34 \pi)&=&0&|\,HN\\ b-2\cdot x_{max}\cdot \displaystyle\frac{4+3\pi}{4}&=&0&|\,\text{kürzen}\\ b-x_{max}\cdot \displaystyle \frac{4+3\pi}{2}&=&0&|\, \cdot 2\\ x_{max}\cdot (4+3\pi)&=&2b&|\,:(4+3\pi)\\ x_{max}&=&\displaystyle\frac{2b}{4+3\pi}\\\text{Setze}\, x_{max}\,\text{ in O(x) ein.}\end{array}%%

%%\begin{array}{lcll} O_{max}=b\cdot a + b\cdot \displaystyle \frac{2b}{4+3\pi}-\frac{4b^2}{(4+3\pi)^2}\cdot \frac{4+3\pi}{4}\\ \quad\quad=b\cdot a+\displaystyle \frac{2b^2}{4+3\pi}-\frac{b^2}{4+3\pi}\\O_{max}=b\cdot a+\displaystyle \frac{b^2}{4+3\pi}\end{array}%%

Zusammenfassung des Ergebnisses der Teilaufgabe c):

Die größtmögliche Oberfläche für einen Körper, der in der beschriebenen Weise aus einer Blechtafel mit den Seitenlängen %%a\,LE%% und %%b\,LE%% gebildet werden kann, beträgt$$b\cdot a+\frac{b^2}{4+3\pi}.$$

Es ist derselbe Körper, der auch das größtmögliche Volumen aufweist.

Teilaufgabe d)

Der Körper mit dem größten Volumen und gleichzeitig der größten Oberfläche besitzt bei den Blechtafelmaßen %%a=5\,m%% und %%b=10\,m%% folgende Kantenmaße:

%%x-\text{Kante}=\displaystyle\frac{2b}{4+3\pi}=\frac{20}{4+3\pi}\approx{1,49\,m}%%

%%y-\text{Kante}=\displaystyle b\cdot \frac{1+\pi}{4+\pi}\approx{3,09\,m}%%

%%\text{Halbkreiskante}=\displaystyle \frac{b\cdot \pi}{4+3\pi}\approx{2,34\,m}%%

Für das maximale Volumen und die maximale Oberfläche ergibt sich:

%%V_{max}(5;10)\approx{18,622\,m^3}%%

%%O_{max}(5;10)\approx{57,45\,m^2}%%

Im beigefügten Applet kannst du den Gleitpunkt %%G%% der Blechtafel verschieben und damit das Verhalten des zu errichtenden Körpers überprüfen und die Ergebnisse für die Blechtafelmaße %%a=\,5\,LE%% und %%b\,=\,10\,LE%% überprüfen.

Anhand des beigefügten Applets kannst du durch Verschieben des rechten unteren Eckpunkts %%P%% das Verhalten des Körpers und die Ergebnisse für die Blechtafelmaße %%a=5\,LE%% und %%b=10\,LE%% überprüfen.

Kommentieren Kommentare

Maik_Ludwig 2018-02-12 18:16:07
In Aufgabe 1 mit der geknickten Rinne ist der Winkel 90°. Die Rechnung kann ich nachvollziehen, aber der cos 90°= 0, der cos 45° =1/2·Wurzel(2).
Renate 2018-02-12 20:18:04
Ja, @Maik_Ludwig, da ist, denke ich, wirklich ein Fehler passiert.

Vielen Dank für deine Aufmerksamkeit und dafür, dass du einen Kommentar geschrieben hast!

Ich habe die Aufgabe jetzt erstmal ans Ende des Aufgabenordners verschoben, was natürlich das Problem nicht löst, aber vielleicht verhindert, dass jemand unnötig an der Aufgabe "hängen" bleibt, ehe die Lösung korrigiert ist.

Denn leider steckt in der Überarbeitung der Lösung noch einige Arbeit, da - wie ich bei der Gelegenheit gesehen habe - auch Teilaufgabe b) aus anderen Gründen überarbeitet werden muss.

Hast du vielleicht Zeit und Lust, mit der Korrektur von a) zumindest zu beginnen?

Viele Grüße und nochmals vielen Dank

Renate
Antwort abschicken