Bakterien vermehren sich durch Teilung, wobei sich eine Bakterienzelle durchschnittlich alle 10 Minuten teilt. Zum Zeitpunkt t=0 sei genau eine Bakterienzelle vorhanden.

  1. Wie viele Bakterien sind dann nach 1 Stunde, 2 Stunden, 6 Stunden, 12 Stunde bzw. 24 Stunden vorhanden?

  2. Finde eine Formel für die Anzahl N= N(t) der Bakterien nach der Zeit t.

  3. Eine Bakterienzelle hat ein Volumen von ca. %%2 \cdot 10^{-18}\;\mathrm m^3%% . Wie lange dauert es, bis die Bakterienkultur ein Volumen von 1 m³ bzw. 1 km³ einnimmt? 
    Beurteile dein Ergebnis kritisch.

Exponentielles Wachstum

Thema dieser Aufgabe ist der exponentielle Wachstum.

allg. Formel

%%=a\cdot b^t=y%%

Wachstumsfaktor

%%b%%

Anfangswert

%%a = 1%%

Exponent

%%=\left[t\right]%% in Minuten

Anzahl der Bakterien

%%\left[y\right]%%

1. Teilaufgabe

Gesucht ist der Wachstumsfaktor b

Gegeben:

%%1\cdot b^{10}=2%%

%%\left|\cdot\sqrt[10]{}\right.\,%% Ermittle den Wachstumsfaktor %%b%%.

%%\sqrt[10]2=b%%

Ziehe die Wurzel.

%%b\approx1,072%%

%%\Rightarrow%% %%1,072^t=y%%

Bakterien nach einer bestimmten Zeit t

Exponent= %%\left[t\right]%% in Minuten

%%=60%% (entspricht einer Stunde)

%%1,072^{60}\approx64%%

Exponent= %%\left[t\right]%% in Minuten

%%=120%% (entspricht zwei Stunden)

%%1,072^{120}\approx4201%%

Exponent= %%\left[t\right]%% in Minuten

%%=360%% (entspricht sechs Stunden)

%%1,072^{360}\approx74151975970%%

Exponent= %%\left[t\right]%% in Minuten

%%=720%% (entspricht 12 Stunden)

%%1,072^{12\cdot60}\approx5498515541\cdot10^{12}%%

Exponent= %%\left[t\right]%% in Minuten

%%=1440%% (entspricht 24 Stunden)

%%1,072^{24\cdot60}\approx3023367315\cdot10^{34}%%

2. Teilaufgabe

%%1\cdot1,072^t=N\left(t\right)%%

Siehe 1. Teilaufgabe.

3. Teilaufgabe

1. Volumen

Formel:

%%2\cdot10^{-18}\,m^3\cdot1,072^t=1\,m^3%%

%%1,072^t%% entspricht der Anzahl der Bakterien nach einer bestimmten Zeit. Das Produkt dieser Anzahl und dem Volumen einer einzelnen Bakterie wird mit dem gesuchten Volumen %%1m^3%% gleichgesetzt.

%%1,072^t=5\cdot10^{17}%%

%%\log_{1,072}\left(5\cdot10^{17}\right)\approx586,16%%

Rechne %%586,16%% Minuten in Stunden um.

%%\Rightarrow%% Es dauert ca. %%9,77%% Stunden bis die Bakterienkultur ein Volumen von %%1m^3%% erreicht hat.

2. Volumen

%%2\cdot10^{-18}\,m^3\cdot1,072^t=1000000000\,m^3%%

%%1,072^t%% entspricht der Anzahl der Bakterien nach einer bestimmten Zeit. Das Produkt dieser Anzahl und dem Volumen einer einzelnen Bakterie wird mit dem gesuchten Volumen %%1000000000\,m^3%% gleichgesetzt.

%%1,072^t=5\cdot10^{26}%%

%%\log_{1,072}\left(5\cdot10^{26}\right)=884,22%%

%%\Rightarrow%% Es dauert ca. %%14,74%% Stunden bis die Bakterienkultur ein Volumen von  %%1000000000\,m^3%% erreicht hat.

Vor allem letzteres Ergebnis ist kritisch zu betrachten, da das Labor selbst kaum ein Volumen von %%1 \, km^3%% hat, sondern viel kleiner ist. Selbst wenn man merken würde, dass eine Bakterienkultur auf %%1 \, m^3%% anwächst, würde man dagegen etwas unternehmen! Trotzdem ist es interessant zu sehen, dass es theoretisch nur etwa %%13%% Stunden dauern würde, bis sich Bakterien derart vermehren.