(Bierschaumzerfall)

Bei einer schlecht eingeschenkten Maß Bier beträgt die Schaumhöhe anfangs 10 cm. Um das Bier einigermaßen trinken zu können, wartet der Gast eine gewisse Zeit. Nach 3 Minuten ist die Schaumhöhe auf die Hälfte zurückgegangen.

a) Stelle die Zerfallsgleichung für den Bierschaumzerfall auf.

b) Berechne, wann die Schaumhöhe auf 1 cm zurückgegangen ist.

c) Bei einem anderen Gast beträgt die Schaumhöhe nach drei Minuten noch 3 cm. Wie war die Schaumhöhe nach dem Einschenken.

d) Mache plausibel, wann der Zerfall am stärksten ist.

a) Zerfallsgleichung

Die allgemeine Zerfallsgleichung lautet %%f(t)=f_0⋅(1-p)^t%%

Setze die gegebenen Werte (%%t%% in min, %%f(t)%% in cm) ein.

%%\displaystyle \begin{align} 0,5\cdot 10 &= 10\cdot (1-p)^{3}\\ \frac{1}{2} &= (1-p)^{3}\\ \sqrt[3]{\frac{1}{2}} &= 1-p \\ p &=1- \sqrt[3]{\frac{1}{2}} \end{align}%%

Mit dem Zerfallsfaktor %%p%% und dem Startwert kannst du jetzt die Zerfallsgleichung aufstellen.

%%\displaystyle f(t)=10 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\right)^t%%

b) Schaumhöhe 1

Setze %%f(t) =1%% .

%%\displaystyle \begin{array}{rcll} 1 &= &10\left(\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\right)^t &|:10\\ &&&|\log\\ \log_{\sqrt[3]{\frac{1}{2}}}\frac{1}{10}&=&t \\ t &\approx & 10 \end{array}%%

c) Schaumhöhe 2

Da es die Zerfallsgleichung ist, und 3 min die Halbwertszeit ist (laut Angabe), betrug die Schaumhöhe zu Beginn %%f_0 =3\cdot 2 =6%%.

Falls du das nicht siehst, kannst du auch die Werte einsetzen.

%%\displaystyle \begin{array}{rcll} 3 &= &f_0\left(\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\right)^3\\ 3 &= &f_0\cdot\frac{1}{2} &|\cdot 2\\ f_0&=&6 \end{array}%%

d) Stärkster Zerfall

Die Zerfallsfunktion ist eine Exponentialfunktion mit einer Basis, die kleiner ist als 1. Am Graphen erkennst du, dass der Zerfall am Anfang am stärksten ist.