Aufgaben

Gib für folgende Funktionen die maximale Definitionsmenge an %%\left(G=ℝ\right)%% .

%%f(x)=\dfrac{4x-3}{2x-5}%%

%%f(x)=\dfrac{3x^3+7}{x^2-2x}%%

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

%%f(x)=\dfrac{3x^3+7}{x^2-2x}%%

Setze den Nenner gleich 0.

%%x^2-2x=0%%

%%x(x-2)=0%%

Ein Produkt wird %%0%%, wenn einer der Faktoren %%0%% ist.

%%\Rightarrow x_1=0%%

Setze die Klammer gleich %%0%%.

%%x-2=0%%

%%\vert+2%%

%%x_2=2%%

Die Nullstellen des Nenners müssen aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden.

%%\;\Rightarrow\;\;D=ℝ\backslash\{0;2\}%%

%%f\left(x\right)=\dfrac{2x+x^7}{\frac19x^2+\frac13x+\frac14}%%

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

$$f\left(x\right)=\frac{2x+x^7}{\frac19x^2+\frac13x+\frac14}$$

Definitionslücke(n) berechnen, indem man ausrechnet, für welche(s) %%x%% der Nenner den Wert %%0%% ergibt.

%%\frac19x^2+\frac13x+\frac14 = 0%%

$$\displaystyle x_{1/2}=\frac{-\frac13\pm\sqrt{(\frac13)^2-4\cdot\frac19\cdot\frac14}}{\frac29}$$

Die Betrachtung der Diskriminanten ergibt

%%D=(\frac13)^2-4\cdot\frac19\cdot\frac14=0%%. Also besitzt der Nenner genau eine Nullstelle.  

%%x_1=\dfrac{-\frac13}{\frac29}=-\frac32%%

 

%%D_f=ℝ\backslash\left\{-\frac32\right\}%%

%%f\left(x\right)=\dfrac{2x^4-x^2}{0,01x^2-1}%%

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

%%f\left(x\right)=\dfrac{2x^4-x^2}{0,01x^2-1}%%

Nenner gleich 0 setzen.

%%0,01x^2-1=0%%

 |%%+1%%

      %%0,01x^2=1%%

%%\vert\cdot100%%

            %%\;\;x^2=100%%

%%\vert\sqrt\;%%

                  %%x=\pm10%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;D=ℝ\backslash\{-10;+10\}%%

%%f\left(x\right)=\sqrt{7x+4}%%

Definitionsbereich bestimmen

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

%%f\left(x\right)=\sqrt{7x+4}%%

Bedingung "Radikand größer gleich 0" ausnutzen.

%%7x+4\geq0%%

%%|-4%%

Alle Terme mit %%x%% auf eine Seite, alle ohne %%x%% auf die andere.

%%7x\geq-4%%

%%|:7%%

%%x%% alleine stehen lassen.

%%x\geq\dfrac{-4}{\;\;7}%%

$$D=\left[-\frac47;\infty\right[$$

%%f\left(x\right)=\sqrt{x^2-5x+6}%%

Definitionsbereich bestimmen

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

%%f\left(x\right)=\sqrt{x^2-5x+6}%%

Prüfen, wann der Radikand %%\geq%% 0 ist.

%%x^2-5x+6=0%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

mit dem Satz von Vieta

 

%%x^2-5x+6=0%%

Faktorenzerlegung (mit dem Satz von Vieta).

%%(x-3)\cdot(x-2)=0%%

Nullstellen ablesen.

$$x_1=3\;;\;x_2=2$$

mit der Mitternachtsformel

%%x^2-5x+6=0%%

%%x_1=\dfrac{5+1}2%%

%%x_2=\dfrac{5-1}2%%

%%x_1=3\;;\;x_2=2%%

Abschnitte bestimmen, in denen der Radikand kleiner als 0 ist

Da der Graph der Funktion %%g\left(x\right)=x^2-5x+6%% eine nach oben geöffnete Parabel ist (Koeffizient der höchsten %%x%%-Potenz ist positiv), nimmt %%g%% im Intervall %%\rbrack2;3\lbrack%% negative Werte an.

Folglich ist %%f(x)=\sqrt{g(x)}%% auf %%\rbrack2;3\lbrack%% nicht definiert.

$$\Rightarrow D=\mathbb{R}\backslash\;\rbrack2;3\lbrack\;$$

%%f(x)=\sqrt{17x}+5x-3%%

Definitionsbereich bestimmen

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

%%f(x)=\sqrt{17x}+5x-3%%

%%17x<0%%

%%x<0%%

Prüfe, wann %%17x%% kleiner als Null wird.

%%\vert:17%%

Das Intervall %%]-\infty;0[%% muss man also ausschließen.
Den Rest der Funktion, also %%5x-3%%, muss man nicht überprüfen, da er ein Polynom ist.

%%\Rightarrow\mathbb D=[0;\infty[%%

%%f(x)=\sqrt[6]{x^2-4x+3}%%

Definitionsbereich bestimmen

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

%%f(x)=\sqrt[6]{x^2-4x+3}%%

Prüfe, wann der Radikand %%x^2-4x+3%% kleiner als Null wird.

%%\begin{array}{rcl} \;&x^2-4x+3<0&\\ \Leftrightarrow &(x-3)(x-1)<0&\\ \end{array}%%

Das Polynom %%x^2-4x+3%% kann man nach dem Satz von Vieta in das angegebene Produkt umwandeln.

Eine andere Möglichkeit ist, die Nullstellen mit Hilfe der Mitternachtsformel zu ermitteln und dann das Polynom als Produkt der zwei Klammern zu schreiben.

Fallunterscheidung:

1. %%\begin{array}\;& x-3<0&\text{ und }x-1>0&\\ \Leftrightarrow &x<3&\text{ und }x>1&\\ \Leftrightarrow &\underline{1<x<3}&&\rightarrow x\in\;]1;3[ \end{array}%%

Man betrachtet zuerst die Möglichkeit, dass der erste Faktor negativ und der zweite Faktor positiv ist.

Der zweite Fall ist die Umkehrung: %%x-3%% wird positiv, während %%x-1%% negativ wird.

2. %%\begin{array}\;& x-3>0&\text{ und }x-1<0&\\ \Leftrightarrow &x>3&\text{ und }x<1&\leftarrow\text{unmöglich} \end{array}%%

Da %%x%% nicht größer als %%3%% und gleichzeitig kleiner als %%1%% sein kann, gilt nur der erste Fall. Das heißt:
%%x^2-4x+3%% ist kleiner als Null genau dann, wenn %%x%% zwischen %%1%% und %%3%% liegt. Dieses Intervall muss man also ausschließen.

%%\Rightarrow \mathbb D= \mathbb R\backslash ]1;3[%%

Wurzelfunktion

%%f(x)=\ln(x-5)%%

Definitionsbereich bestimmen

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

%%f(x)=\ln(x-5)%%

Prüfe, wann das Argument %%x-5%% kleiner oder gleich Null wird.

%%\begin{array}{rcl} x-5&\leq&0&|+5\\ x&\leq&5\\ \end{array}%%

Das Intervall %%x\in\;]-\infty; 5]%% muss man also aus dem Definitionsbereich ausschließen.

%%\Rightarrow \mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus ]-\infty; 5]%%

%%f\left(x\right)=\ln\left(6x-x^2-9\right)%%

Definitionsbereich bestimmen

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

Vorüberlegung

Die Funktion %%f%% ist genau für diejenigen %%x%% definiert, für die %%g(x)=6x-x^2-9%% positiv ist.

Nullstellen von %%g(x)=-x^2+6x-9%%

$$D=6^2-4\cdot(-1) \cdot (-9)=36 - 36 = 0$$

Die Betrachtung der Diskriminante von %%g%% ergibt hier, dass %%g%% genau eine Nullstelle besitzt.

Da der Graph der Funktion %%g%% eine nach unten geöffnete Parabel (negativer Koeffizient vor höchster x-Potenz) mit Scheitel auf der x-Achse ist, nimmt %%g%% keine positiven Werte an.

Interpretation

Da %%g%% keine positiven Werte annnimmt, gilt nach der Vorüberlegung:

%%\mathbb {D}_f=\{\;\}\,%%,also die leere Menge.

%%f(x)=\mathrm{log}_6(x^3-7x)%%

Definitionsbereich bestimmen

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

%%f(x)=\mathrm{log}_6(x^3-7x)%%

Prüfe, wann %%x^3-7x%% kleiner oder gleich Null wird.

%%\begin{array} \; & x^3-7x\leq0 & |x \text{ ausklammern}\\ \Leftrightarrow & x\cdot(x^2-7)\leq 0 & \end{array}%%

Fallunterscheidung:

%%\begin{array} \;1. & x\leq0&\text{ und }x^2-7\geq0&|+7\\ \Leftrightarrow &x\leq0&\text{ und }x^2\geq7&|\sqrt{\;}\\ \Leftrightarrow &x\leq0&\text{ und }|x|\geq\sqrt{7}&|\text{Betrag!}\\ \\ a)&x\leq0&\text{ und }x\geq\sqrt7\;\leftarrow&\text{unmöglich}\\ b)&x\leq0&\text{ und }x\leq-\sqrt7\\ &\Leftrightarrow &\underline{x\leq-\sqrt7} \\ \end{array}%%

%%\begin{array}\;2.&x\geq0&\text{ und }x^2-7\leq 0&|+7\\ \Leftrightarrow &x\geq0&\text{ und }x^2\leq7&|\sqrt{\;}\\ \Leftrightarrow &x\geq0&\text{ und }|x|\leq\sqrt7&\\ \\ &x\geq0&\text{ und }-\sqrt7\leq x\leq\sqrt7\\ &\Leftrightarrow &\underline{x\in\;\left[0;\sqrt7\right]} \end{array}%%

Die erste Fallunterscheidung wird gemacht, um die zwei Fälle zu unterscheiden, bei denen das Produkt kleiner oder gleich Null wird.

  • Erster Faktor kleinergleich Null, zweiter Faktor größergleich Null.

Hier taucht ein Betrag auf, dessen Auflösung in der zweiten Fallunterscheidung passiert:

Dass %%x%% kleinergleich Null und gleichzeitig größergleich %%\sqrt7%% ist, ist unmöglich.

Es bleibt, dass das Produkt kleiner oder gleich Null wird, wenn %%x%% kleiner oder gleich %%-\sqrt7%% ist.

  • Erster Faktor größergleich Null, zweiter Faktor kleinergleich Null.

Auch hier taucht ein Betrag auf, dessen Auflösung in der zweiten Fallunterscheidung passiert:

Das Produkt wird kleinergleich Null, wenn %%x%% zwischen %%-\sqrt7%% und %%\sqrt7%% liegt und gleichzeitig %%x%% größergleich Null ist.

Zusammenfassend

Man muss ausschließen:

%%x\leq-\sqrt7;\;0\leq x\leq\sqrt7%%

Somit ergibt sich folgender Definitionsbereich:

%%\Rightarrow\mathbb D=\mathbb{R}\setminus]-\infty;-\sqrt7]\cup[0; \sqrt7]%%

%%f\left(x\right)=5x\;\tan\left(x\right)%%

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

%%f\left(x\right)=5x\cdot\tan\left(x\right)=5x\cdot\frac{\sin(x)}{\cos(x)}%%

Man verwendet: $$\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$$

Der Nenner (also %%cos(x)%%) darf nicht %%0%% werden.

%%cos (x)=0%%

Hier setzt man %%cos(x)=0%% an.

%%cos(x)=0%% gilt genau für alle $$x\in\{\frac\pi2+k\cdot\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}$$

Also gilt: %%\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\{\frac\pi2+k\cdot\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6296_ohh910loxm.xml

%%f\left(x\right)=7x^2\tan\left(2-x\right)%%

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

$$f(x)=7x^2\cdot\tan(2-x)=7x^2\frac{\sin(2-x)}{\cos(2-x)}$$

Der Nenner (%%cos(2-x)%%) darf nicht %%0%% werden,

%%cos(2-x)=0%%

Der gewöhnliche Cosinus %%cos(x)%% wird genau dann %%0%%, wenn %%x\in\{\frac\pi2+k\cdot\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}%% gilt. Daher gilt %%cos(2-x)=0%% genau dann, wenn %%x\in\{2-\frac\pi2+k\cdot\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}%% gilt.

%%\Rightarrow%% %%\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\{2-\frac\pi2+k\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}%%

%%f\left(x\right)=\left(x+5\right)\;\tan\;\left(x^2-\frac12\pi\right)%%

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

%%\begin{array}{l}f(x)=(x+5)\;\tan(x^2-\frac\pi2)\\\;\;\;\;\;\;\;\;=(x+5)\;\frac{\sin(x^2-{\displaystyle\frac\pi2})}{\cos(x^2-{\displaystyle\frac\pi2})}\end{array}%%

Der Nenner (%%\cos(x^2-\frac\pi2)%%) darf nicht %%0%% werden.

%%\cos(x^2-\frac\pi2)=0%%

%%x^2-\frac\pi2\in\{\frac\pi2+k\cdot\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}%%

%%x\in\{\pm\sqrt{k\cdot\pi}\vert k\in\mathbb{N}_0\}%%

Nun überlegt man sich, für welche %%x%% der Nenner %%0%% wird.

Also gilt: %%\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\{\pm\sqrt{k\pi}\vert k\in\mathbb{N}_0\}%%

%%f\left(x\right)=\dfrac1{\sqrt{x^2+6x+9}}%%

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

Vorüberlegung

Die Funktion %%f%% ist genau für diejenigen %%x%% definiert, für die der Radikand %%x^2+6x+9%% positiv ist.

Nullstellen von %%x^2+6x+9%%

$$x_{1/2}=\frac{-6\pm\sqrt{36-4\cdot9}}2$$

Mitternachtsformel

$$x_1=\frac{-6}2=-3$$

Für die Diskriminante gilt: %%D=36-4\cdot9=0%% %%\Rightarrow%% 1 Lösung

Interpretation

Da der Graph der Funktion %%g(x)=x^2+6x+9%% unter der Wurzel eine nach oben geöffnete Parabel (positives Vorzeichen vor der höchsten Potenz ) ist, deren Scheitel auf der x-Achse liegt, ist sie für alle %%x\neq-3%% positiv. Nach der Vorüberlegung gilt damit für den Definitionsbereich von %%f%%: $$\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\{-3\}$$

%%f\left(x\right)=\dfrac{\lg\left(x^2-x\right)}{\sqrt{x+2}}%%

Definitionsbereich bestimmen

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

Vorüberlegung

Die Funktion %%f%% ist genau für diejenigen %%x%% definiert, für die %%g(x)=x^2-x>0%% (Definitionsbereich des Logarithmus) und %%h(x)=x+2>0%% gilt.

Nullstellen von %%g(x)=x^2-x%%

%%g(x)=x(x-1)%%

%%\Rightarrow%% zwei Nullstellen %%x_1=0\;%% und %%x_2=1%%

Zunächst faktorisiert man %%g(x)%%.

Daraufhin kann man die Nullstellen ablesen.

Da der Graph der Funktion %%g(x)=x^2-x%% eine nach oben geöffnete Parabel (positives Vorzeichen vor der höchsten Potenz) ist, nimmt %%g%% für alle %%x\not\in\lbrack0;1\rbrack%% positive Werte an.

Nullstellen von %%h(x)=x+2%%

%%x+2=0%%

%%x=-2%%

 

Die Nullstelle der linearen Funktion %%h%% lässt sich durch einfaches Auflösen nach %%x%% bestimmen.

Da der Graph der Funktion %%h(x)=x+2%% eine Gerade mit positiver Steigung ist, nimmt %%h%% für alle %%x>-2%% positive Werte an.

Interpretation

Da die Bedingungen an %%g%% und %%h%% aus der Vorüberlegung genau für alle %%x\not\in\lbrack0;1\rbrack%% UND %%x>-2%% erfüllt sind, gilt:

%%\mathbb{D}_f=]-2;0[\;\;\cup\;\;]1;\infty[%%

%%f\left(x\right)=\dfrac{1+3x+33x^2}{\sin\left(x\right)}%%

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

$$f(x)=\frac{1+3x+33x^2}{\sin(x)}$$

Der Nenner (%%\sin(x)%%) darf nicht %%0%% werden.

%%sin(x)=0%%

%%x\in\{k\cdot\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}%%

Nun überlegt man sich, für welche %%x%% der Nenner %%0%% wird.

Also gilt: %%\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\{k\cdot\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}%%

%%f\left(x\right)=\dfrac{12345}{1-\sin\left(x-\frac12\pi\right)}%%

Definitonsbereich bestimmen

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

$$f(x)=\frac{12345}{1-\sin(x-{\displaystyle\frac\pi2})}$$

Der Nenner (%%1-\sin(x-\frac\pi2)%%) darf nicht %%0%% werden.

%%1-\sin(x-\frac\pi2)=0%%

Du kannst die Gleichung umformen. Bringe durch Addition %%\sin(x-\frac\pi2)%% auf die andere Seite.

%%\Leftrightarrow%% %%\sin(x-\frac\pi2)=1%%

Nun überlegst du dir, für welche Werte der Sinus %%1%% wird.

%%\Leftrightarrow%% %%x-\frac\pi2\in\{\frac\pi2+2k\cdot\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}%%

Da du nach den %%x%%-Werten suchst, musst du noch mit %%\frac{\pi}{2}%% addieren.

%%\Leftrightarrow%% %%x\in\{(2k+1)\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}%%

Also gilt: %%\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\{(2k+1)\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}%%

Gib für folgende Funktionen die maximale Definitionsmenge an %%\left(G=ℝ\right)%% .

%%f\left(x\right)=\dfrac{5x+17}{0,64x^2+1,12x+0,49}%%

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

%%f\left(x\right)=\dfrac{5x+17}{0,64x^2+1,12x+0,49}%%

Nenner gleich 0 setzen.

%%0,64x^2+1,12x+0,49=0%%

%%D=(1,12)^2-4\cdot0,64\cdot0,49%%

Diskriminante berechnen.

 

   %%=1,2544-1,2544%%

 

   %%=0%% %%\;\;\Rightarrow\;\;1\;\mathrm{Lösung}%%

%%x=\dfrac{-1,12}{2\cdot0,64}=-0,875%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;D=ℝ\backslash\{-0,875\}%%

 

%%f\left(x\right)=\dfrac{\sqrt{x^2+4x+4}}{\sqrt{2x^2+20x+60}}%%

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

Vorüberlegung

Die Funktion %%f%% ist genau für diejenigen %%x%% definiert, für die der Radikand %%g(x)=x^2+4x+4%% im Zähler größer gleich %%0%% ist UND der Radikand %%h(x)=2x^2+20x+60%% im Nenner größer als %%0%% ist.

Nullstellen von %%g(x)=x^2+4x+4%%

%%g(x)=(x+2)(x+2)%%

%%\Rightarrow%% doppelte Nullstelle bei %%x=-2%%

Faktorisierung mit dem Verfahren von Vieta

Da der Graph der Funktion %%g(x)=x^2+4x+4%% eine nach oben geöffnete Parabel (positives Vorzeichen vor der höchsten Potenz ) ist, deren Scheitel auf der x-Achse liegt, ist sie für alle %%x\in\mathbb{R}%% größer gleich 0.

Nullstellen von %%h(x)=2x^2+20x+60%%

%%D=20^2-4\cdot2\cdot60=-80<0%%

%%\Rightarrow%% keine Nullstellen

Hier zeigt die Berechnung der Diskriminanten, dass die Funktion %%h%% keine reellen Nullstellen besitzt.

Da der Graph der Funktion %%h(x)=2x^2+20x+60%% eine nach oben geöffnete Parabel (positives Vorzeichen vor der höchsten Potenz ) ist, deren Scheitel oberhalb der x-Achse liegt, ist sie für alle %%x\in\mathbb{R}%% positiv.

Interpretation

Da sowohl für %%g%% als auch %%h%% die Bedingung aus der Vorüberlegung für alle %%x\in\mathbb{R}%% erfüllt ist, gilt:

%%\mathbb{D}_f=ℝ%%

%%f\left(x\right)=\dfrac{\left(4x-9\right)^\frac12}{18-8x}%%

Definitionsmenge bestimmen

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

Vorüberlegung

Der Exponent %%\frac12%% steht für die Quadratwurzel. Demnach ist die Funktion %%f%% genau für diejenigen %%x%% definiert, für die %%g(x)=4x-9%% größer gleich %%0%% ist UND die Funktion %%h(x)=18-8x%% im Nenner ungleich %%0%% ist.

Nullstellen von %%g(x)=4x-9%%

%%4x-9=0%%

%%4x=9%% $$x=\frac94$$

Die Nullstelle der linearen Funktion %%g%% lässt sich durch einfaches Auflösen nach x bestimmen.

Da der Graph der Funktion %%g(x)=4x-9%% eine Gerade mit positiver Steigung ist, nimmt %%g%% für alle %%x\geq\frac94%% Werte größer gleich %%0%% an.

Nullstellen von %%h(x)=18-8x%%

%%18-8x=0%%

%%18=8x%%

%%x=\frac94%%

Die Nullstelle der linearen Funktion %%g%% lässt sich durch einfaches Auflösen nach x bestimmen.

Interpretation

Da die Bedingungen an %%g%% und %%h%% aus der Vorüberlegung genau für alle %%x>\frac94%% erfüllt sind, gilt:

%%\mathbb{D}_f= \left]\frac94;\infty\right[%%

%%f\left(x\right)=\sqrt{6x-x^2-9}%%

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

Vorüberlegung

Die Funktion %%f%% ist genau für diejenigen %%x%% definiert, für die %%g(x)=6x−x^2−9%% größer gleich %%0%% ist.

Nullstellen von %%g(x)=-x^2+6x-9%%

%%g(x)=-(x-3)(x-3)%%

%%\Rightarrow%% doppelte Nullstelle bei %%x_1=3%%

Hier lässt sich %%g(x)%% mit dem Verfahren von Vieta faktorisieren.

Da der Graph der Funktion g eine nach unten geöffnete Parabel (negativer Koeffizient vor höchster x-Potenz) mit Scheitel auf der x-Achse ist, nimmt g nur für %%x=3%% einen nicht-negativen Wert an.

Interpretation

Nach der Vorüberlegung gilt:

%%\mathbb{D}_f=\{{3}\}%%

%%f\left(x\right)=\dfrac1{\frac12x^2-2}%%

Definitionsmenge bestimmen

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

%%f\left(x\right)=\dfrac1{\frac12x^2-2}%%

Nenner darf nicht 0 werden  %%\Rightarrow%%  Nenner gleich 0 setzen.

%%\frac12x^2-2=0%%

%%\left|{+2}\right.%%

      %%\frac12x^2=2%%

%%\left|{\cdot2}\right.%%

           %%x^2=4%%

 

%%x_1=\sqrt4=2%%

%%x_2=-\sqrt4=-2%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;\mathbb{D}_f=ℝ\backslash\left\{2;-2\right\}%%

 

%%f\left(x\right)=\dfrac{x^3+x^2+x+1}{\frac49x^2-\frac14}%%

Definitionsmenge bestimmen

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

%%f\left(x\right)=\dfrac{x^3+x^2+x+1}{\frac49x^2-\frac14}%%

Der Nenner %%g(x)=\frac{4}9x^2-\frac{1}4%% darf nicht %%0%% werden.

%%g(x)=\frac49x^2-\frac14=0%%

Um diese %%x%% zu ermitteln, setzt man %%g(x)=0%% an.

%%g(x)=\left(\frac23x-\frac12\right)\left(\frac23x+\frac12\right)=0%%

Hier lässt die die Mitternachtsformel durch Anwendung der 3. Binomischen Formel umgehen.

1.Nullstelle:

%%\frac{2}3x-\frac{1}2=0%%

%%\frac{2}3x=\frac{1}2%%

%%x=\frac{3}4%%

Zunächst betrachtet man den (linearen) Term in der ersten Klammer.

2.Nullstelle

%%\frac{2}3x+\frac{1}2=0%%

%%\frac{2}3x=-\frac{1}2%%

%%x=-\frac{3}4%%

Nun betrachtet man den (linearen) Term in der zweiten Klammer.

Damit gilt: %%\mathbb{D_f}=\mathbb{R}\backslash\{-\frac34;\frac34\}%%

 

%%f\left(x\right)=\dfrac{\sin(x)}{x^2-4x+4}%%

Definitionsbereich bestimmen

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

%%f\left(x\right)=\dfrac{\sin\;x}{x^2-4x+4}%%

Nenner darf nicht 0 werden.

%%x^2-4x+4=0%%

Um diejenigen %%x%% zu ermitteln, die dies verletzen, setzt man den Nenner gleich %%0%%.

%%\left(x-2\right)^2=0%%

Hier lässt sich die 2. Binomische Formel anwenden.  

%%x-2=0%%

%%\left|+2\right.%%

%%x=2%%

Also gilt: %%\mathbb {D}_f=\mathbb{R}\backslash\{2\}%%

 

%%f(x)=\dfrac1{-x^2+6x-9}%%

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

%%f(x)=\dfrac1{-x^2+6x-9}%%

Der Nenner %%g(x)=-x^2+6x-9%% darf nicht %%0%% werden.

%%g(x)=-x^2+6x-9=0%%

Hier setzt man %%g(x)=0%% an.

%%g(x)=-(x-3)(x-3)%%

%%\Rightarrow%% doppelte Nullstelle bei %%x=3%%

Die Funktion %%g(x)=-x^2+6x-9%% lässt sich mit dem Verfahren von Vieta durch "Hinsehen" faktorisieren. So kann man die Anwendung der Mitternachtsformel umgehen.

Also gilt: %%\mathbb{D}=ℝ\backslash\left\{3\right\}%%

 

%%f\left(x\right)=\dfrac{2\mathrm{ax}+4\mathrm{bx}^2+8\mathrm{cx}^3}{80-5x^2}%%

Definitionsmenge bestimmen

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

%%f\left(x\right)=\dfrac{2\mathrm{ax}+4\mathrm{bx}^2+8\mathrm{cx}^3}{80-5x^2}%%

 Nenner gleich 0 setzen

%%80-5x^2=0%%

%%\left|{+5x^2}\right.%%

            %%80=5x^2%%

%%\left|:5\right.%%

           %%x^2=16%%

 

             %%x_1=\sqrt{16}=4%%

             %%x_2=-\sqrt{16}=-4%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;D_f=ℝ\backslash\left\{-4;4\right\}%%

 

%%f\left(x\right)=\left(2-x\right)\cdot\dfrac{x+x^2+x^3+x^4}{x^3-\frac14x}%%

Definitionsbereich bestimmen

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

%%f\left(x\right)=\left(2-x\right)\cdot\dfrac{x+x^2+x^3+x^4}{x^3-\frac14x}%%

Nenner gleich Null setzen.

       %%x^3-\frac14x=0%%

%%x\left(x^2-\frac14\right)=0%%

  1. NST kann man ablesen  %%x_1=0%%   %%\ \Rightarrow%% Betrachtung der Klammer

%%x^2-\frac14=0%%

%%\left|+\frac14\right.%%

                   %%x^2=\frac14%%

  %%\left|\sqrt{}\right.%%

                   %%x_2=\frac12%%

                   %%x_3=-\frac12%%

%%\Rightarrow%% %%\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\{-\frac{1}2\text{;0;}\frac12\textstyle\}%%

 

%%f\left(x\right)=\dfrac x{\sin(x)}%%

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

%%f\left(x\right)=\dfrac x{\sin(x)}%%

Nenner gleich 0 setzen.

%%\sin(x)=0%%

Überlegung: Die gewöhnliche Sinus -Kurve schneidet die x-Achse genau bei allen Vielfachen von %%\pi%%.

%%\Rightarrow%% %%\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\{k\cdot\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}%%

 

%%f\left(x\right)=123\cdot\dfrac{4+5x+6x^2}{\cos\left(x+4\right)}%%

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

%%f\left(x\right)=123\cdot\dfrac{4+5x+6x^2}{\cos\left(x+4\right)}%%

Der Nenner (%%\cos(x+4)%%) darf nicht %%0%% werden.

%%\cos(x+4)=0%%

%%x+4\in\{\frac\pi2+k\cdot\mathrm\pi\vert\mathrm k\in\mathbb{Z}\}%%

%%x\in\{-4+\frac\pi2+k\cdot\mathrm\pi\vert\mathrm k\in\mathbb{Z}\}%%

Nun überlegt man sich, für welche %%x%% der Nenner %%0%% wird.

Also gilt: %%\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\{-4+\frac\pi2+k\cdot\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}%%

 

%%f\left(x\right)=\dfrac{6789}{\sqrt3\;\cos\left(x\right)-\sin\left(x\right)}%%

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

$$f(x)=\frac{6789}{\sqrt3\cos(x)-\sin(x)}$$

Der Nenner (%%\sqrt3\cos(x)-\sin(x)%%) darf nicht %%0%% werden.

%%\sqrt3\cos(x)-\sin(x)=0%%

%%\sqrt3\cos(x)=\sin(x)%%

Nun überlegt man sich, für welche %%x%% der Nenner %%0%% wird.

%%\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}=\tan(x)=\sqrt3%%

$$x\in\{\frac\pi3+2k\cdot\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}$$

Da es kein %%x%% gibt, für das %%cos(x)%% und %%sin(x)%% beide %%0%% werden, dürfen wir durch %%cos(x)%% teilen, ohne eine Lösung zu verlieren.

Also gilt: %%\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\{\frac\pi3+2k\cdot\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}%%

%%f(x)=\dfrac{5x^2-a}{36x^2-16x}%%

Definitionsmenge bestimmen

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

%%f(x)=\dfrac{5x^2-a}{36x^2-16x}%%

Die Definitionslücken sind die Nullstellen des Nenners .

%%36x^2-16x=0%%

Nun überlegt man sich, für welche %%x%% der Nenner %%0%% wird.

  %%4x\;(9x-4)=0;%%

Hier lässt sich %%4x%% ausklammern.

Ein Produkt wird Null, wenn einer der Faktoren Null ist.

1.Möglichkeit:

%%x=0%%

2.Möglichkeit:

%%9x-4=0%%

%%\left|+4\right.%%

%%9x=4%%

%%x=\frac49%%

%%\left|:9\right.%%

Also gilt: %%\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\left\{0;\;\;\frac49\right\}%%

%%f(x)=\dfrac1{x-6}-\dfrac1{6x+1}%%

Definitionsmenge bestimmen

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

%%f(x)=\dfrac1{x-6}-\dfrac1{6x+1}%%

Definitionslücken sind die Nullstellen der Nenner .

%%x-6=0%%

%%\left|+6\right.%%

%%x_1=6%%

%%6x+1=0%%

%%\left|-1\right.%%

%%6x=-1;%%

%%\left|:6\right.%%

%%x_2=-\frac16%%

Also gitl: %%\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\left\{-\frac16;\;6\right\}%%

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