%%f\left(x\right)=\dfrac{12345}{1-\sin\left(x-\frac12\pi\right)}%%

Definitonsbereich bestimmen

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

$$f(x)=\frac{12345}{1-\sin(x-{\displaystyle\frac\pi2})}$$

Der Nenner (%%1-\sin(x-\frac\pi2)%%) darf nicht %%0%% werden.

%%1-\sin(x-\frac\pi2)=0%%

Du kannst die Gleichung umformen. Bringe durch Addition %%\sin(x-\frac\pi2)%% auf die andere Seite.

%%\Leftrightarrow%% %%\sin(x-\frac\pi2)=1%%

Nun überlegst du dir, für welche Werte der Sinus %%1%% wird.

%%\Leftrightarrow%% %%x-\frac\pi2\in\{\frac\pi2+2k\cdot\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}%%

Da du nach den %%x%%-Werten suchst, musst du noch mit %%\frac{\pi}{2}%% addieren.

%%\Leftrightarrow%% %%x\in\{(2k+1)\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}%%

Also gilt: %%\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\{(2k+1)\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}%%