%%f\left(x\right)=\dfrac1{\sqrt{x^2+6x+9}}%%

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

Vorüberlegung

Die Funktion %%f%% ist genau für diejenigen %%x%% definiert, für die der Radikand %%x^2+6x+9%% positiv ist.

Nullstellen von %%x^2+6x+9%%

$$x_{1/2}=\frac{-6\pm\sqrt{36-4\cdot9}}2$$

Mitternachtsformel

$$x_1=\frac{-6}2=-3$$

Für die Diskriminante gilt: %%D=36-4\cdot9=0%% %%\Rightarrow%% 1 Lösung

Interpretation

Da der Graph der Funktion %%g(x)=x^2+6x+9%% unter der Wurzel eine nach oben geöffnete Parabel (positives Vorzeichen vor der höchsten Potenz ) ist, deren Scheitel auf der x-Achse liegt, ist sie für alle %%x\neq-3%% positiv. Nach der Vorüberlegung gilt damit für den Definitionsbereich von %%f%%: $$\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\{-3\}$$