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Die pq-Formel zur Lösung quadratischer Gleichungen

Zur Lösung quadratischer Gleichungen kann man die pq-Formel benutzen. Dieser Artikel erklärt dir mit anschaulichen Beispielen, wie man die pq-Formel verwendet. In Teilen Deutschlands wird alternativ zur pq-Formel auch die Mitternachtsformel zur Lösung von quadratischen Gleichungen benutzt.

Was ist eine quadratische Gleichung?

Aber was ist überhaupt eine quadratische Gleichung? Quadratische Gleichungen haben die Form ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0. Die Variablen aa, bb und cc können durch beliebige Werte ersetzt werden.

Quadratische Gleichungen sind beispielsweise:

  • x2+2x+3=0x^2+2x+3=0

a=1a=1, b=2b=2, c=3c=3

  • 2x2+6x+2=02x^2+6x+2=0 oder

a=2a=2, b=6b=6, c=2c=2

  • 3x2+4x+1=03x^2+4x+1=0

a=3a=3, b=4b=4, c=1c=1

Um ganz korrekt zu sein, muss man noch hinzufügen, dass aa nicht 00 sein darf.

pq-Formel anwenden

Eine quadratische Gleichung hat häufig zwei Lösungen x1x_1 und x2x_2. Hat die quadratische Gleichung die Form x2+px+q=0  x^2+px+q=0\;, so berechnet man die beiden Lösungen x1x_1 und x2x_2 mit Hilfe der pq-Formel wie folgt:

x1,2=p2±(p2)2q\displaystyle x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}

Achtung!

  • Um die pq-Formel verwenden zu können, muss der Vorfaktor des quadratischen Summanden a=1a=1 sein. Dazu sind eventuell Umformungen nötig:

  • x2+2x+3=0x^2+2x+3=0 hat als Vorfaktor des quadratischen Summanden aa eine 11 (x2x^2 entspricht 1x21x^2) und kann mit der pq-Formel gelöst werden.

  • 2x2+6x+2=02x^2+6x+2=0 hat als Vorfaktor des quadratischen Summanden aa eine 22 (2x22x^2) und muss zuerst umgeformt werden.

  • Es gilt hier - wie bei der Mitternachtsformel - dass bei einem negativen Ausdruck unter der Wurzel keine Lösung existiert, sowie bei (p2)2q=0\left(\frac p2\right)^2-q=0 die Lösungen x1  und  x2x_1\;\mathrm{und}\;x_2 zusammenfallen.

Den quadratischen Vorfaktor umformen

Wie bereits erwähnt muss der Vorfaktor des quadratischen Summanden a=1a=1 sein. Falls dies nicht der Fall sein sollte, kann man mit einer einfachen Umformung dies ganz einfach erreichen.So muss man den Vorfaktor vor dem quadratischen Term auf 1 bringen und teilt dann beide Seiten der Gleichung durch aa:

  1. ax2+bx+c=0aax^2+bx+c=\frac0a

  2. x2+bax+ca=0x^2+\frac bax+\frac ca=0

Wie das ganze in der Realität ausschaut, erfährst du in diesem Beispiel.

pq-Formel: Musterbeispiele

Die folgenden Beispiele erklären anschaulich, wie man die pq-Formel zur Lösung von quadratischen Gleichungen verwendet.

1. Musterbeispiel

Die Formel x2+4x+3=0x^2+4x+3=0 (a=1a=1, p=4p=4, q=3q=3) hat als Vorfaktor eine 11 und kann somit direkt in die pq-Formel eingesetzt werden:

x1,2=42±(42)23\displaystyle x_{1,2}=-\frac 42\pm\sqrt{\left(\frac 42\right)^2-3}

Nun lösen wir die Formel:

  1. x1,2=2±(2)23x_{1,2}=-2\pm\sqrt{\left(2\right)^2-3}

  2. x1,2=2±43x_{1,2}=-2\pm\sqrt{4-3}

  3. x1,2=2±1x_{1,2}=-2\pm\sqrt{1}

  4. Somit ist x1=2+1x_{1}=-2+1

  5. Und x2=21x_{2}=-2-1

Die Lösung lautet also:

  • x1=1x_{1}=-1 und

  • x2=3x_{2}=-3

2. Musterbeispiel: Mit Umformung

Die Formel 2x2+8x+2=02x^2+8x+2=0 (a=2a=2, p=8p=8, q=2q=2) hat als Vorfaktor eine 22. Die Umformung schaut wie folgt aus:

x2+82x+22=0\displaystyle x^2+\frac 82x+\frac 22=0

Kürzt man diese, erhält man:

x2+4x+1=0\displaystyle x^2+4x+1=0

Setzt man diese nun in die pq-Formel ein, erhält man folgende Gleichung:

x1,2=42±(42)21\displaystyle x_{1,2}=-\frac 42\pm\sqrt{\left(\frac 42\right)^2-1}

Zur Lösung müssen nun lediglich die Brüche aufgelöst werden:

  1. x1,2=2±(2)21x_{1,2}=-2\pm\sqrt{\left(2\right)^2-1}

  2. x1,2=2±41x_{1,2}=-2\pm\sqrt{4-1}

  3. x1,2=2±3x_{1,2}=-2\pm\sqrt{3}

  4. Somit ist x1=2+3x_{1}=-2+\sqrt{3}

  5. Und x2=23x_{2}=-2-\sqrt{3}

Die Lösung lautet also:

  • x1=2+3x_{1}=-2+\sqrt{3} und

  • x2=23x_{2}=-2-\sqrt{3}

Video zur pq-Formel

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Wie kommt man auf die pq-Formel?

Man kommt auf die pq-Formel, indem man eine allgemeine quadratische Gleichung in der Normalform x2+px+q=0x^2+px+q=0 mit Hilfe der quadratischen Ergänzung löst.

Zunächst bringt man qq auf die rechte Seite

x2+px=qx^2 + px = -q

Quadratische Ergänzung: Man addiert auf beiden Seiten der Gleichung (p2)2\left(\frac p2\right)^2

x2+2p2x+(p2)2=(p2)2qx^2 + 2 \cdot \frac p2 \, x + \left(\frac p2\right)^2 = \left(\frac p2\right)^2 - q

Erste binomische Formel rückwärts:

(x+p2)2=(p2)2q\left(x + \frac p2 \right)^2 = \left(\frac p2\right)^2 - q

Auflösen nach xx. Dazu zuerst das Quadrieren rückgängig machen: ±  \pm \sqrt{\ \ }

x+p2=±(p2)2qx + \frac p2 = \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2 - q}

Auf beiden Seiten p2- \frac p2:

x=p2±(p2)2qx = -\frac p2\pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2 - q}

Fertig.

Beziehung zur Mitternachtsformel

In Teilen Deutschlands wird alternativ zur pq-Formel auch die sogenannte Mitternachtsformel zur Lösung von quadratischen Gleichungen benutzt. Dieser Abschnitt erklärt, wie diese beiden Formeln zusammenhängen.

Um den Vorfaktor vor dem quadratischen Term auf 1 zu bringen teilt man beide Seiten der Gleichung durch aa:

  1. ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0

  2. x2+bax+ca=0x^2+\frac bax+\frac ca=0

Setzt man die Koeffizienten der unteren Gleichung in die Mitternachtsformel ein, dann erhält man:

x1,2=ba±(ba)241ca21=ba2±( ba2)24ca4\displaystyle x_{1,2}=\frac{-{\frac ba}\pm\sqrt{\left({\frac ba}\right)^2-4\cdot1\cdot \frac ca}}{2\cdot1}=-\frac{\frac ba}2\pm\sqrt{\left(\frac{\ \frac ba}2\right)^2-\frac{4\frac ca}4}

Wenn man für ba=p\frac ba = p einsetzt und für ca=q\frac ca = q ergibt sich die pq-Formel:

x1,2=ba2±( ba 2)24ca4=p2±(p2)244q=p2±(p2)2q\displaystyle \displaystyle x_{1,2}=-\frac{\frac ba}2\pm\sqrt{\left(\frac{\ \frac ba\ }2\right)^2-\frac{4\frac ca}4}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-\frac44q}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}

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