Zur Lösung quadratischer Gleichungen kann man die pq-Formel benutzen. Dieser Artikel erklärt dir mit anschaulichen Beispielen, wie man die pq-Formel verwendet. In Teilen Deutschlands wird alternativ zur pq-Formel auch die Mitternachtsformel zur Lösung von quadratischen Gleichungen benutzt.

Was ist eine quadratische Gleichung?

Aber was ist überhaupt eine quadratische Gleichung? Quadratische Gleichungen haben die Form ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0. Die Variablen aa, bb und cc können durch beliebige Werte ersetzt werden.
Quadratische Gleichungen sind beispielsweise:
  • x2+2x+3=0x^2+2x+3=0
a=1a=1, b=2b=2, c=3c=3
  • 2x2+6x+2=02x^2+6x+2=0 oder
a=2a=2, b=6b=6, c=2c=2
  • 3x2+4x+1=03x^2+4x+1=0
a=3a=3, b=4b=4, c=1c=1
Um ganz korrekt zu sein, muss man noch hinzufügen, dass aa nicht 00 sein darf.
In dem Fall wäre ax2+bx+c=bx+cax^2+bx+c=bx+c. Das ist keine quadratische, sondern eine lineare Gleichung. Für diese Art benötigt man nicht die pq-Formel zur Lösung.
Mehr zu diesem Thema erfährst du im Artikel Quadratische Gleichung.

pq-Formel anwenden

Eine quadratische Gleichung hat häufig zwei Lösungen x1x_1 und x2x_2. Hat die quadratische Gleichung die Form x2+px+q=0  x^2+px+q=0\;, so berechnet man die beiden Lösungen x1x_1 und x2x_2 mit Hilfe der pq-Formel wie folgt:
x1,2=p2±(p2)2q\displaystyle x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}

Achtung!

  • Um die pq-Formel verwenden zu können, muss der Vorfaktor des quadratischen Summanden a=1a=1 sein. Dazu sind eventuell Umformungen nötig:
  • x2+2x+3=0x^2+2x+3=0 hat als Vorfaktor des quadratischen Summanden aa eine 11 (x2x^2 entspricht 1x21x^2) und kann mit der pq-Formel gelöst werden.
  • 2x2+6x+2=02x^2+6x+2=0 hat als Vorfaktor des quadratischen Summanden aa eine 22 (2x22x^2) und muss zuerst umgeformt werden.
  • Es gilt hier - wie bei der Mitternachtsformel - dass bei einem negativen Ausdruck unter der Wurzel keine Lösung existiert, sowie bei (p2)2q=0\left(\frac p2\right)^2-q=0 die Lösungen x1  und  x2x_1\;\mathrm{und}\;x_2 zusammenfallen.

Den quadratischen Vorfaktor umformen

Wie bereits erwähnt muss der Vorfaktor des quadratischen Summanden a=1a=1 sein. Falls dies nicht der Fall sein sollte, kann man mit einer einfachen Umformung dies ganz einfach erreichen.So muss man den Vorfaktor vor dem quadratischen Term auf 1 bringen und teilt dann beide Seiten der Gleichung durch aa:
  1. ax2+bx+c=0aax^2+bx+c=\frac0a
  2. x2+bax+ca=0x^2+\frac bax+\frac ca=0
Wie das ganze in der Realität ausschaut, erfährst du in diesem Beispiel.

pq-Formel: Musterbeispiele

Die folgenden Beispiele erklären anschaulich, wie man die pq-Formel zur Lösung von quadratischen Gleichungen verwendet.

1. Musterbeispiel

Die Formel x2+4x+3=0x^2+4x+3=0 (a=1a=1, p=4p=4, q=3q=3) hat als Vorfaktor eine 11 und kann somit direkt in die pq-Formel eingesetzt werden:
x1,2=42±(42)23\displaystyle x_{1,2}=-\frac 42\pm\sqrt{\left(\frac 42\right)^2-3}
Nun lösen wir die Formel:
  1. x1,2=2±(2)23x_{1,2}=-2\pm\sqrt{\left(2\right)^2-3}
  2. x1,2=2±43x_{1,2}=-2\pm\sqrt{4-3}
  3. x1,2=2±1x_{1,2}=-2\pm\sqrt{1}
  4. Somit ist x1=2+1x_{1}=-2+1
  5. Und x2=21x_{2}=-2-1
Die Lösung lautet also:
  • x1=1x_{1}=-1 und
  • x2=3x_{2}=-3

2. Musterbeispiel: Mit Umformung

Die Formel 2x2+8x+2=02x^2+8x+2=0 (a=2a=2, p=8p=8, q=2q=2) hat als Vorfaktor eine 22. Die Umformung schaut wie folgt aus:
x2+82x+22=0\displaystyle x^2+\frac 82x+\frac 22=0
Kürzt man diese, erhält man:
x2+4x+1=0\displaystyle x^2+4x+1=0
Setzt man diese nun in die pq-Formel ein, erhält man folgende Gleichung:
x1,2=42±(42)21\displaystyle x_{1,2}=-\frac 42\pm\sqrt{\left(\frac 42\right)^2-1}
Zur Lösung müssen nun lediglich die Brüche aufgelöst werden:
  1. x1,2=2±(2)21x_{1,2}=-2\pm\sqrt{\left(2\right)^2-1}
  2. x1,2=2±41x_{1,2}=-2\pm\sqrt{4-1}
  3. x1,2=2±3x_{1,2}=-2\pm\sqrt{3}
  4. Somit ist x1=2+3x_{1}=-2+\sqrt{3}
  5. Und x2=23x_{2}=-2-\sqrt{3}
Die Lösung lautet also:
  • x1=2+3x_{1}=-2+\sqrt{3} und
  • x2=23x_{2}=-2-\sqrt{3}

Video zur pq-Formel

Wie kommt man auf die pq-Formel?

Man kommt auf die pq-Formel, indem man eine allgemeine quadratische Gleichung in der Normalform x2+px+q=0x^2+px+q=0 mit Hilfe der quadratischen Ergänzung löst.
Zunächst bringt man qq auf die rechte Seite
x2+px=qx^2 + px = -q
Quadratische Ergänzung: Man addiert auf beiden Seiten der Gleichung (p2)2\left(\frac p2\right)^2
x2+2p2x+(p2)2=(p2)2qx^2 + 2 \cdot \frac p2 \, x + \left(\frac p2\right)^2 = \left(\frac p2\right)^2 - q
Erste binomische Formel rückwärts:
(x+p2)2=(p2)2q\left(x + \frac p2 \right)^2 = \left(\frac p2\right)^2 - q
Auflösen nach xx. Dazu zuerst das Quadrieren rückgängig machen: ±  \pm \sqrt{\ \ }
x+p2=±(p2)2qx + \frac p2 = \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2 - q}
Auf beiden Seiten p2- \frac p2:
x=p2±(p2)2qx = -\frac p2\pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2 - q}
Fertig.

Beziehung zur Mitternachtsformel

In Teilen Deutschlands wird alternativ zur pq-Formel auch die sogenannte Mitternachtsformel zur Lösung von quadratischen Gleichungen benutzt. Dieser Abschnitt erklärt, wie diese beiden Formeln zusammenhängen.
Um den Vorfaktor vor dem quadratischen Term auf 1 zu bringen teilt man beide Seiten der Gleichung durch aa:
  1. ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0
  2. x2+bax+ca=0x^2+\frac bax+\frac ca=0
Setzt man die Koeffizienten der unteren Gleichung in die Mitternachtsformel ein, dann erhält man:
x1,2=ba±(ba)241ca21=ba2±( ba2)24ca4\displaystyle x_{1,2}=\frac{-{\frac ba}\pm\sqrt{\left({\frac ba}\right)^2-4\cdot1\cdot \frac ca}}{2\cdot1}=-\frac{\frac ba}2\pm\sqrt{\left(\frac{\ \frac ba}2\right)^2-\frac{4\frac ca}4}
Wenn man für ba=p\frac ba = p einsetzt und für ca=q\frac ca = q ergibt sich die pq-Formel:
x1,2=ba2±( ba 2)24ca4=p2±(p2)244q=p2±(p2)2q\displaystyle \displaystyle x_{1,2}=-\frac{\frac ba}2\pm\sqrt{\left(\frac{\ \frac ba\ }2\right)^2-\frac{4\frac ca}4}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-\frac44q}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}
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Hauke 2017-11-19 19:58:01+0100
Vielen Dank für die schöne Zusammenfassung. Eine Anmerkung habe ich zu dem ersten Teil, wo die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung dargestellt wird. Die Verwendung der Bezeichner "p" und "q" erscheint nicht ganz konsistent. Zu Beginn wurde beschrieben "Quadratische Gleichungen haben die Form ax2+px+q=0. Die Variablen a, p und q können durch beliebige Werte ersetzt werden." und später "Um die pq-Formel verwenden zu können, muss der Vorfaktor des quadratischen Summanden a=1 sein." Das heißt aber in den oben genannten Beispielen, in denen a ungleich 1 ist, dass nicht "p" und "q" eingesetzt werden können, sondern "p/a" bzw. "q/a". Ich denke das könnte so wie es jetzt da steht irritieren, vielleicht wäre es besser nur in der Normalform einer quadratischen Gleichung "p" und "q" zu verwenden und in der allgemeinen Form (mit a nicht notwendig gleich 1) die Bezeichner "b" und "c", also ax2+bx+c=0. Im Abschnitt "Den quadratischen Vorfaktor umformen" wurde diese Notation so verwendet, bei den Musterbeispielen wieder die Notation mit "p" und "q". Schönen Gruß, Hauke
Rebi 2017-11-20 19:21:38+0100
Hallo Hauke,
ich bin deiner Meinung, man sollte in der allgemeinen Formel a, b und c verwenden und in der bereits umgeformten Form p und q.
Kannst du es ausbessern? Das wäre sehr schön. Falls nicht, werde ich mich in den nächsten Tagen darum kümmern.
Liebe Grüße,
Rebi
Rebi 2017-12-03 09:28:45+0100
So, ich habe es ausgebessert.
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Jana1702 2016-11-24 06:54:25+0100
Hallo,
kann mir einer erklären wie ich die Erklärung in Word oder ähnlichem ausdrucken kann. Wenn ich es kopiere und in Word einfüge, dann ist alles durcheinander. Ich möchte es ausdrucken um damit zu lernen. danke für Eure Hilfe.
Digamma 2016-11-25 13:42:27+0100
Hallo Jana,
ich kann dir leider nicht erklären, wie du den Text nach Word kopieren kannst, ohne dass die Formeln kaputtgehen. Aber du kannst versuchen, den Text einfach mit der Druck-Funktion des Browsers auszudrucken. Auf dem Ausdruck erscheinen dann zwar auch die Steuerelemente oben auf der Seite, der Text selbst müsste aber in Ordnung sein.
Viele Grüße, Digamma
Jana1702 2016-11-26 10:11:36+0100
Danke
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Digamma 2016-11-09 21:57:11+0100
Ist es erwünscht, evtl. in einem Spoiler, eine Herleitung der pq-Formel mit Hilfe der quadratischen Ergänzung einzufügen?
peterjaumann 2016-11-10 14:36:33+0100
Hallo Digamma,

gute Idee! Gerade in einem Spoiler kann ich mir das sehr gut vorstellen. Üblicherweise kennzeichnen wir derartige Spoiler mit "Vertiefung: [...]", wie du auch in den Richtlinien nochmals nachlesen kannst:
https://de.serlo.org/richtlinie-artikel-gliederung#

Viele Grüße
Peter
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