Die Funktion ist vom Grad 3, besitzt eine doppelte Nullstelle bei %%x_{1,2}=-2%%, eine einfache Nullstelle bei %%x_3=0%% und verläuft durch den Punkt %%P(-1|-2)%%.

Steckbriefaufgabe

Gegenstand einer Steckbriefaufgabe ist die exakte Bestimmung eines Funktionsterms anhand von vorgegebenen Informationen.

Eine Funktion 3. Grades hat die allgemeine Form %%f(x)=ax^3+bx^2+cx+d%% bzw. die Nullstellenform %%f(x)=a\cdot(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)%%.

Die Funktion besitzt eine doppelte Nullstelle bei %%x_{1,2}=-2%% und eine einfache Nullstelle bei %%x_3=0%%. Somit kann man die Nullstellenform aufstellen:

%%f(x)=a\cdot(x+2)(x+2)(x-0)%%

Außerdem liegt der Punkt %%P(-1|-2)%% auf der Funktion. Setze %%P%% in die Gleichung ein und löse nach %%a%% auf.

%%-2=a\cdot(-1+2)(-1+2)(-1-0)%%

%%\phantom{-2}=a\cdot1\cdot1\cdot(-1)=-a%%

%%|:-1%%

%%2=a%%

Stelle nun den Funktionsterm auf.

%%f(x)=2\cdot(x+2)(x+2)(x-0)%%

Bringe die Funktion in die allgemeine Form. Multipliziere dafür die Klammern aus.

%%\phantom{f(x)}=2x(x^2+4x+4)%%

%%\phantom{f(x)}=2x^3+8x^2+8x%%