Die Funktion ist vom Grad 4 und achsensymmetrisch, besitzt eine einfache Nullstelle bei %%x=-1%% und verläuft durch die Punkte %%P(0|-4)%% und %%Q(2|24)%%.

Steckbriefaufgabe

Gegenstand einer Steckbriefaufgabe ist die exakte Bestimmung eines Funktionsterms anhand von vorgegebenen Informationen.

Eine Funktion 4. Grades hat die allgemeine Form %%f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e%%. Da die Funktion achsensymmetrisch ist, entfallen alle Potenzen mit ungeraden Exponenten und es ergibt sich %%f(x)=ax^4+cx^2+e%%.

Aus den gegebenen Punkten und der der Nullstelle, kannst du drei Gleichungen aufstellen, die alle erfüllt sein müssen.

Punkt %%\mathrm{P}%% einsetzen

%%f(x)=ax^4+cx^2+e%%

Setze den Punkt %%\mathrm{P}(0|-4)%% in die Gleichung ein.

%%-4=a\cdot0^4+c\cdot0^2+e=e%%

%%\mathrm{I}\quad -4 = e%%

Punkt %%\mathrm{Q}%% einsetzen

%%f(x)=ax^4+cx^2+e%%

Setze den Punkt %%\mathrm{Q}(2|24)%% in die Gleichung ein.

%%24=a\cdot2^4+c\cdot2^2+e=16a+4c+e%%

%%\mathrm{II}\quad 24 = 16a+4c+e%%

Nullstelle einsetzen

%%f(x)=ax^4+cx^2+e%%

Setze die Nullstelle %%x=-1%% in die Gleichung ein.

%%0=a\cdot1^4+c\cdot1^2+e=a+c+e%%

%%\mathrm{III}\quad 0= a+c+e%%

Lineares Gleichungssystem aufstellen und lösen

Das Gleichungssystem lautet also:

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &-4& = &&&&&e&\\ \mathrm{II} &24& = &16a& + &4c& + &e\\ \mathrm{III} &0& = &a& + &c& + &e& \end{array}%%

Aus der ersten Gleichung folgt direkt: %%e=-4%%

Setze %%e=-4%% in die anderen beiden Gleichungen ein:

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{II'} &24& = &16a& + &4c& - &4&|:4\\ &6& = &4a& + &c& - &1&\\ \mathrm{III'} &0& = &a& + &c& - &4&\\ \end{array}%%

Löse nun das neue Lineare Gleichungssystem. Hier bietet sich das Einsetzungsverfahren an, indem man z.B. nach %%c%% in der Gleichung %%\mathrm{III'}%% auflöst.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{III'} &0&&& = &a& + &c& - &4&|+4\\ &4& &&= &a& + &c& &&|-a\\ &4& - &a& = && &c& &&|-a\\ \end{array}%%

Nun kannst du %%c=4-a%% in der Gleichung %%\mathrm{II'}%% ersetzen und dann vereinfachen:

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{II''} &6& = &4a& + &4-a& - &1&\\ &6& = &3a& + &3& &&|-3\\ &3& = &3a& && &&|:3\\ &1& = &a& \\ \end{array}%%

Aus Gleichung %%\mathrm{III'}%% weißt du, dass %%c=4-a%%. Setze %%a=1%% in diese Gleichung ein.

%%c=4-1=3%%

Stelle nun mit den herausgefundenen Koeffizienten %%a=1%%, %%c=3%% und %%e=-4%% den Funktionsterm auf.

%%f(x)=x^4+3x^2-4%%