Die Funktion ist vom Grad 3, punktsymmetrisch und verläuft durch die Punkte %%P\left(1|-1,5\right)%% und %%Q\left(3|7,5\right)%%.

Steckbriefaufgabe

Gegenstand einer Steckbriefaufgabe ist die exakte Bestimmung eines Funktionsterms anhand von vorgegebenen Informationen.

Eine Funktion 3. Grades hat die allgemeine Form %%f(x)=ax^3+bx^2+cx+d%%. Da die Funktion punktsymmetrisch ist, entfallen alle Potenzen mit geraden Exponenten und es ergibt sich %%f(x)=ax^3+cx%%.

Aus den gegebenen Punkten kannst du zwei Gleichungen aufstellen, die beide erfüllt sein müssen.

Punkt %%\mathrm{P}%% einsetzen

%%f(x)=ax^3+cx%%

Setze den Punkt %%\mathrm{P}(1|-1,5)%% in die Gleichung ein.

%%-1,5=a\cdot1^3+c\cdot1=a+c%%

%%\mathrm{I}\quad -1,5 = a+c%%

Punkt %%\mathrm{Q}%% einsetzen

%%f(x)=ax^3+cx%%

Setze den Punkt %%\mathrm{Q}(3|7,5)%% in die Gleichung ein.

%%7,5=a\cdot3^3+c\cdot3=27a+3c%%

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{II}&7,5& = &27a& + &3c&|:3\\ &2,5& = &9a& + &c&\\ \end{array}%%

Lineares Gleichungssystem aufstellen und lösen

Das Gleichungssystem lautet also:

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &-1,5& = &a& + &c&\\ \mathrm{II} &2,5& = &9a& + &c&\\ \end{array}%%

Hier bietet sich das Einsetzungsverfahren an, indem man z.B. nach %%c%% in der Gleichung %%\mathrm{I}%% auflöst.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &-1,5&&& = &a& + &c&|-a\\ &-1,5& - &a& = && &c&\\ \end{array}%%

Nun kannst du %%c=-1,5-a%% in der Gleichung %%\mathrm{II}%% ersetzen und dann vereinfachen:

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{II'} &2,5& = &9a& - &1,5-a&\\ &2,5& = &8a& - &1,5&|+1,5\\ &4& = &8a& &&|:8\\ &\frac12& = &a& &&|:8\\ \end{array}%%

Aus Gleichung %%\mathrm{I}%% weißt du, dass %%c=-1,5-a%%. Setze %%a=\frac12%% in diese Gleichung ein.

%%c=-1,5-\frac12=-2%%

Stelle nun mit den herausgefundenen Koeffizienten %%a=\frac12%% und %%c=-2%% den Funktionsterm auf.

%%f(x)=\frac12x^3-2x%%