Die Funktion ist vom Grad 4 und achsensymmetrisch, besitzt eine doppelte Nullstelle bei %%x_{1,2}=1%% und geht durch den Punkt %%P(0|3)%%.

Steckbriefaufgabe

Gegenstand einer Steckbriefaufgabe ist die exakte Bestimmung eines Funktionsterms anhand von vorgegebenen Informationen.

Eine Funktion 3. Grades hat die allgemeine Form %%f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e%% bzw. die Nullstellenform %%f(x)=a\cdot(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)%%.

Die Funktion besitzt eine doppelte Nullstelle bei %%x_{1,2}=1%%. Da die Funktion achsensymmetrisch ist, hat sie ebenfalls eine doppelte Nullstelle bei %%x_{3,4}=-1%%. Somit kann man die Nullstllenform aufstellen:

%%f(x)=a\cdot(x-1)(x-1)(x+1)(x+1)%%

Außerdem liegt der Punkt %%P(0|3)%% auf der Funktion. Setze %%P%% in die Gleichung ein und löse nach %%a%% auf.

%%3=a\cdot(0-1)(0-1)(0+1)(0+1)%%

%%\phantom{3}=a\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot 1\cdot 1=a%%

Stelle nun den Funktionsterm auf.

%%f(x)=3\cdot(x-1)(x-1)(x+1)(x+1)%%

Bringe die Funktion in die allgemeine Form. Multipliziere dafür die Klammern aus.

%%\phantom{f(x)}=3\cdot(x-1)(x+1)\cdot(x-1)(x+1)%%

%%\phantom{f(x)}=3\cdot(x^2-1)\cdot(x^2-1)%%

%%\phantom{f(x)}=3\cdot(x^4-2x^2+1)%%

%%\phantom{f(x)}=3x^4-6x^2+3%%