Die Funktion ist vom Grad 3, der %%y%%-Achsenabschnitt liegt bei %%y=\frac83%%, sie besitzt eine doppelte Nullstelle bei %%x=1%% und hat eine Wendestelle bei %%x=-2%%.

Steckbriefaufgabe

Gegenstand einer Steckbriefaufgabe ist die exakte Bestimmung eines Funktionsterms anhand von vorgegebenen Informationen.

Im Folgenden sind die Informationen mit den jeweils resultierenden Gleichungen dargestellt:

Funktion vom Grad %%3%%

%%f(x)=ax^3+bx^2+cx+d%%

%%f'(x)=3ax^2+2bx+c%%

%%f''(x)=6ax+2b%%

%%y%%-Achsenabschnitt bei %%y=\frac83%%

%%\Rightarrow f(0)=\frac83%%

%%a\cdot0^3+b\cdot0^2+c\cdot0+d=d=\frac83%%

Doppelte Nullstellen bei %%x=1%%

%%\Rightarrow f(1)=0%%

%%\Rightarrow f'(1)=0%%

%%a\cdot1^3+b\cdot1^2+c\cdot1+d=0%%

%%3a\cdot1^2+2b\cdot1+c=0%%

Wendestelle bei %%x=-2%%

%%\Rightarrow f''(-2)=0%%

%%6a\cdot(-2)+2b=0%%

Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &\frac83& = && && && &d&\\ \mathrm{II} &0& = &a& + &b& + &c& + &d&\\ \mathrm{III} &0& = &3a& + &2b& + &c&\\ \mathrm{IV} &0& = &-12a& + &2b&\\ \end{array}%%

%%\;%%

%%\;%%

%%\;%%

Löse das Lineare Gleichungssystem.

Aus der ersten Gleichung folgt direkt: %%d=\frac83%%.

Setze %%d=\frac83%% in Gleichung %%\mathrm{II}%% ein.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{II'} &0& = &a& + &b& + &c& + &\frac83&\\ \mathrm{III} &0& = &3a& + &2b& + &c&\\ \mathrm{IV} &0& = &-12a& + &2b&\\ \end{array}%%

Welches Verfahren du zum Lösen des Linearen Gleichungssystems anwenden möchtest, bleibt dir überlassen. Hier wird das Einsetzungsverfahren verwendet, indem z.B. nach %%b%% in Gleichung %%\mathrm{IV}%% aufgelöst wird.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{IV} &0& = &-12a& + &2b&|-2b\\ &-2b& = &-12a& &&|:(-2)\\ &b& = &6a& \\ \end{array}%%

Nun kannst du %%b=6a%% in der Gleichung %%\mathrm{III}%% ersetzen und dann nach %%c%% auflösen:

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{III'} &0& = &3a& + &2\cdot6a& + &c&\\ &0& = &15a& && + &c&|-15a\\ &-15a& = && &&&c&\\ \end{array}%%

Nun kannst du %%c=-15a%% in der Gleichung %%\mathrm{II'}%% ersetzen und dann nach %%a%% auflösen:

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{II''} &0& = &a& + &6a& - &15a& + &\frac83&|-\frac83\\ &-\frac83& = &-8a& && && &&|:(-8)\\ &\frac13& = &a& &&&&\\ \end{array}%%

Aus Gleichung %%\mathrm{IV}%% weißt du, dass %%b=6a%%. Setze %%a=\frac13%% in diese Gleichung ein.

%%b=6\cdot\frac13=2%%

Aus Gleichung %%\mathrm{III'}%% weißt du, dass %%c=-15a%%. Setze %%a=\frac13%% in diese Gleichung ein.

%%c=-15\cdot\frac13=-5%%

Stelle nun mit den herausgefundenen Koeffizienten %%a=\frac13%%, %%b=2%%, %%c=-5%%, und %%d=\frac83%% den Funktionsterm auf.

%%f(x)=\frac13x^3+2x^2-5x+\frac83%%