Die Funktion ist vom Grad 3, besitzt waagrechte Tangenten bei %%x=0%% und %%x=1%% und hat im Punkt %%P(2|8)%% eine Steigung von %%m=12%%.

Steckbriefaufgabe

Gegenstand einer Steckbriefaufgabe ist die exakte Bestimmung eines Funktionsterms anhand von vorgegebenen Informationen.

Im Folgenden sind die Informationen mit den jeweils resultierenden Gleichungen dargestellt:

Funktion vom Grad %%3%%

%%f(x)=ax^3+bx^2+cx+d%%

%%f'(x)=3ax^2+2bx+c%%

Waagrechte Tangenten bei %%x=0%% und %%x=1%%

%%\Rightarrow f'(0)=0%%

%%\Rightarrow f'(1)=0%%

%%3a\cdot0^2+2b\cdot0+c=c=0%%

%%3a\cdot1^2+2b\cdot1+c=0%%

Im Punkt %%P(2|8)%% eine Steigung von %%m=12%%

%%\Rightarrow f(2)=8%%

%%\Rightarrow f'(2)=12%%

%%a\cdot2^3+b\cdot2^2+c\cdot2+d=8%%

%%3a\cdot2^2+2b\cdot2+c=12%%

Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &0& = && && &c& &&\\ \mathrm{II} &0& = &3a& + &2b& + &c& &&\\ \mathrm{III} &8& = &8a& + &4b& + &2c& + &d&\\ \mathrm{IV} &12& = &12a& + &4b& + &c&\\ \end{array}%%

%%\;%%

%%\;%%

%%\;%%

Löse das Lineare Gleichungssystem.

Aus der ersten Gleichung folgt direkt: %%c=0%%.

Setze %%c=0%% in die Gleichungen %%\mathrm{II}%%, %%\mathrm{III}%% und %%\mathrm{IV}%% ein.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{II'} &0& = &3a& + &2b& + &0& &&\\ && = &3a& + &2b& && &&\\ \mathrm{III'} &8& = &8a& + &4b& + &2\cdot0& + &d&\\ && = &8a& + &4b& && + &d&\\ \mathrm{IV'} &12& = &12a& + &4b& + &0&&&|:4\\ &3& = &3a& + &b& &&\\ \end{array}%%

Welches Verfahren du zum Lösen des Linearen Gleichungssystems anwenden möchtest, bleibt dir überlassen. Hier wird das Einsetzungsverfahren verwendet, indem z.B. nach %%b%% in Gleichung %%\mathrm{II'}%% aufgelöst wird.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{II'} &0& = &3a& + &2b&|-3a\\ &-3a& = && &2b& |:2\\ &-\frac32a& = && &b&\\ \end{array}%%

Nun kannst du %%b=-\frac32a%% in der Gleichung %%\mathrm{IV}%% ersetzen und dann nach %%c%% auflösen:

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{IV''} &3& = &3a& - &\frac32a& &&\\ && = &\frac32a& &&|:\frac32\\ &2& = &a& \\ \end{array}%%

Aus Gleichung %%\mathrm{II'}%% weißt du, dass %%b=-\frac32a%%. Setze %%a=2%% in diese Gleichung ein.

%%b=-\frac32\cdot2=-3%%

Nun kannst du %%a=2%% und %%b=-3%% in der Gleichung %%\mathrm{III'}%% ersetzen und dann nach %%d%% auflösen:

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{III'} &8& = &8a& + &4b& + &d&\\ &8& = &8\cdot2& + &4\cdot(-3)& + &d&\\ && = &16& - &12& + &d&\\ && = &4& && + &d&|-4\\ &4& = && && &d&\\ \end{array}%%

Stelle nun mit den herausgefundenen Koeffizienten %%a=2%%, %%b=-3%%, %%c=0%%, und %%d=4%% den Funktionsterm auf.

%%f(x)=2x^3-3x^2+4%%