Nullstellen von trigonometrischen Funktionen (1/6)

Trigonometrische Funktionen haben unendlich viele Nullstellen.

Sinus

Für welche %%x\in \mathbb R%% wird %%f(x)=\mathrm{sin}(x)%% Null?

Am Einheitskreis erkennt man, für welche %%x\in[0°;360°[\;\mathrm{sin}(x)%% Null wird.

Es gilt: %%360°\hat{=}\;2\pi%%,
also für jedes beliebige %%\alpha:\;x=\displaystyle\frac{\alpha}{360°}\cdot2\pi%%

sinus

Aus dem Einheitskreis kann man ablesen, dass %%x_1=0°=0%% und %%x_2=180°=\pi%% Nullstellen im Intervall %%[0;2\pi[%% sind.

Da die Sinusfunktion aber periodisch ist, hat sie unendlich viele Nullstellen.
Diese kann man wie folgt aufschreiben:
%%x_1+k\cdot2\pi=0+k\cdot2\pi%% und
%%x_2+k\cdot2\pi=\pi+k\cdot2\pi%% für %%k\in\mathbb Z%%.

Warum?

%%2\pi%% ist die Periode der Sinusfunktion, wenn man dies also addiert, ändert sich nichts am Wert des Sinus: %%\mathrm{sin}(x+2\pi)=\mathrm{sin}(x)%%. Das %%k%% sagt, dass es egal ist, wie oft man %%2\pi%% addiert.

Wenn man also die zwei Nullstellen %%x_1%% und %%x_2%% im Intervall %%[0;2\pi[%% gefunden hat, lautet die Nullstellenmenge:

%%N=\{x_1+k\cdot2\pi; x_2+k\cdot2\pi\;|\;k\in\mathbb Z\}%%

Manchmal kann man diese Menge vereinfachen. %%0+k\cdot2\pi%% und %%\pi+k\cdot2\pi%% sind einfach %%k\cdot\pi%%. Das erkennt man, indem man mal ein paar Werte für %%k%% einsetzt.

Fazit

Um Nullstellen der Sinusfunktion zu bestimmen, musst du prüfen, wann ihr Argument den Wert 0 oder %%\pi%% annimmt.

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