f(x)=1xlnx\displaystyle f\left(x\right)=\frac1{x\ln x}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktionen finden

f(x)dx=1xlnxdx\int_{ }^{ }f\left(x\right)\mathrm{d}x=\int_{ }^{ }\frac{1}{x\cdot\ln x}\mathrm{d}x
Du kannst den Bruchterm in zwei Bruchterme aufspalten, da es sich um ein Produkt von Brüchen handelt.
1xlnxdx=11xlnxdx=1x1lnx\int_{ }^{ }\frac{1}{x\cdot\ln x}\mathrm{d}x=\int _{ }^{ }\frac{1\cdot 1}{x\cdot \ln x}\mathrm{d}x=\int _{ }^{ }\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{\ln x}
Ziehe 1x\frac 1 x in den Zähler, damit ein Bruch der Form f(x)f(x)\frac{f'(x)}{f(x)} entsteht.
1x1lnx=1xlnxdx\int _{ }^{ }\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{\ln x}=\int_{}\frac{\frac1x}{\ln x}\mathrm dx
Da (lnx)=1x(\ln x)'= \frac 1 x hilft dir die Regel f(x)f(x)dx=lnf(x)+c\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx = \ln |f(x)| +c
1xlnxdx=lnlnx+C\int_{}\frac{\frac1x}{\ln x}\mathrm dx=\ln\left|\ln x\right|+C
Deswegen ist
F(x)=lnlnx+C\displaystyle F(x)=\ln\left|\ln x\right|+C