(nach einer Abituraufgabe von 2012)

a) Begründe, dass jede Integralfunktion mindestens eine Nullstelle hat.

b) Gib einen Term für eine Funktion %%f%% an, sodass die Integralfunktion %%\displaystyle F: x \mapsto \int_{1}^x f(t)\operatorname{d}t%% unendlich viele Nullstellen hat.

Teilaufgabe a)

Für Integrale gilt: %%\displaystyle \int_a^a f(x)\operatorname{d}x =0%%.

Daher hat jede Integralfunktion %%\displaystyle F(x)=\int_a^x f(x)\operatorname{d}x%% die Nullstelle %%x=a%% und damit mindestens eine Nullstelle.

Teilaufgabe b)

Lösung 1: Für unendlich viele Nullstellen muss die Fläche unter dem Funktionsgraphen immer wechselnd unter und über der x-Achse liegen. Für eine solche Funktion bietet sich der %%\sin(x)%% an. Aufgrund der Periodizität des Sinus ist dann für alle %%2\pi k,\, k=1;2;3;\ldots%% die Integralfunktion null.

Lösung 2: Eine einfache Lösung gibt es für %%f=0%%. Dann folgt nämlich, dass die Integralfunktion %%F%% ebenfalls konstant gleich Null ist. Insbesondere hat %%F%% in diesem Fall unendlich viele Nullstellen.