Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (kurz HDI) oder Fundamentalsatz der Analysis führt die Berechnung bestimmter Integrale auf die Berechnung unbestimmter Integrale (also auf die Ermittlung von Stammfunktionen) zurück.

Unter der Voraussetzung, dass %%F(x)%% eine Stammfunktion der stetigen Funktion %%f(x)%% ist, also %%F'(x)=f(x)%%, gilt nach dem HDI: $$\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=\left[F(x)\right]_a^b=F(b)- F(a).$$

Video zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

HDI in Worten

Man kann also den Wert eines bestimmten Integrals einer Funktion %%f%% berechnen, indem man vom Funktionswert %%F(b)%% einer Stammfunktion von %%f%% an der oberen Integrationsgrenze den Funktionswert %%F(a)%% dieser Stammfunktion an der unteren Integrationsgrenze subtrahiert.

Warum "einer Stammfunktion"?

Da sich zwei Stammfunktionen nach Definition nur durch eine Konstante %%c \in \mathbb{R}%% unterscheiden, hebt sich diese Konstante bei der Differenz zweier Funktionswerte der selben Stammfunktion auf. $$\left [ F(b)+c\right ]-\left [F(a)+c\right ]=F(b)+c-F(a)-c=F(b)-F(a)$$ Die Konstante %%c%% ist in diesem Zusammenhang also unerheblich, weshalb eine beliebige aller Stammfunktionen ausgewählt werden kann.

Weitere Version des HDI

Den Hauptsatz der Differentialrechnung gibt es auch noch in einer anderen, äquivalenten Darstellung. Manchmal ist auch folgende Version des HDI nützlich:

Für eine stetige Funktion %%f%% ist die Integralfunktion %%F(\textbf{x})=\int_a^\textbf{x}f(s)ds%% eine Stammfunktion zu %%f%%.

In Kurzform:

$$F'(x)=\frac d{d\boldsymbol x}\int_a^\boldsymbol xf(s)ds=f(\boldsymbol x)$$

In Worten: Die Ableitung der Integralfunktion ist gleich der Integrandenfunktion an der oberen Integrationsgrenze.

$$\small \text{Hinweis: Mit } \frac{d}{dx} (\cdots ) \text{ wird die Ableitung des Ausdrucks in der Klammer nach }x \text{ bezeichnet.}$$

Warum sind die beiden Versionen äquivalent?

Angenommen es gilt Version 1: %%\displaystyle \quad\int_a^xf(s)ds=F(x)-F(a)%%

Dann gilt für folgenden Ausdruck: $$\begin{align} \frac{d}{dx}\int_a^xf(s)ds \overset{(1)}= \frac{d}{dx}(F(x)-F(a))\overset{(2)}=\frac{d}{dx}(F(x))\overset{(3)}=f(x) \;\; \Rightarrow \text{Das ist Version 2}\end{align}$$ %%(1)%% Hier wurde Version 1 eingesetzt.

%%(2)%% Dann wurden mithilfe der Ableitungsregel für Differenzen %%F(x)%% und %%F(a)%% jeweils abgeleitet.

%%\quad \quad\;%% Hierbei ist die Ableitung %%\frac{d}{dx}F(a)=0%%, da %%F(a)%% nicht von %%x%% abhängt.

%%(3)%% Hier wurde eingesetzt, dass %%F%% eine Stammfunktion zu %%f%% ist.

$$\;$$

Angenommen es gilt Version 2: %%\displaystyle \quad\frac{d}{dx}\int_a^xf(s)ds=f(x)%%

Dann ist die Funktion %%\displaystyle F(x)=\int_c^xf(s)ds%% eine Stammfunktion zu %%f%%

%%\small\left(\text{denn es gilt }\frac{d}{dx}F(x)=\frac{d}{dx}\int_a^xf(s)ds=f(x))\right)%%.

Dann gilt für den folgenden Ausdruck: %%\displaystyle F(b)-F(a)\overset{(1)}=\int_c^bf(s)ds-\int_c^af(s)ds\overset{(2)}=\int_a^bf(s)ds \;\; \Rightarrow \text{Das ist Version 1}%%

%%(1)%% Hier wurde %%\displaystyle F(x)=\int_c^xf(s)ds%% eingesetzt, also %%\displaystyle F(b)=\int_c^bf(s)ds%% und %%\displaystyle F(a)=\int_c^af(s)ds%%.

%%(2)%% Wenn man von einer Zahl %%c%% bis %%b%% über eine Funktion integriert und dann das Integral über dieselbe Funktion von %%c%% nach %%a%% abzieht, kann man genauso das Integral über die Funktion von %%a%% nach %%b%% berechnen. Das visualisiert folgendes Bild: Integralgrenzen

Man erkennt an dieser Version recht gut, dass es unendlich viele Stammfunktionen einer Funktion gibt, die sich jeweils durch eine Konstante unterscheiden.

So gibt %%\displaystyle \int_a^xf(s)ds + C%% eine Stammfunktion zu %%f%%, denn %%\displaystyle \frac{d}{dx} \left[ \int_a^xf(s)ds+C\right]=f(x)%%

(wobei %%C%% eine beliebige, reelle Konstante ist).

Siehe auch hier: Mathe für Nicht-Freaks

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Zu article Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung - Didaktische Diskussion
Renate 2014-03-20 10:53:54

Meiner Meinung nach bringt der Artikel zu spät und zu unübersichtlich die für den Schüler relevanten (Kurz-) Informationen.

Aussagen wie "... ist einer der wichtigsten Sätze der Analysis..." o. ä. gehören nicht in die Zusammenfassung, sondern eher ans Ende des Artikels.
Dagegen sollten gleich zu Beginn Aussagen wie F'(x)=f(x) stehen, bzw. eine Wortformulierung davon, sowie die Formel, die hier als 2. Hauptsatz bezeichnet wird.

Eine Aufteilung in 1. und 2. Hauptsatz kenne ich übrigens aus dem Schulbereich nicht.
Felix 2014-05-11 21:19:43
Ich habe den Artikel deinen Anregungen entsprechend geändert.
Die im 1. Hauptsatz definierte Existenz von Stammfunktionen wird offensichtlich im (bayerischen) Gymnasium vorausgesetzt.
Renate 2014-05-12 09:24:43
@Felix: Ich erinnere mich aus meiner Schulzeit (bayerisches Gymnasium) an eine Formulierung der folgenden Art:
"Die Integralfunktion einer stetigen Funktion ist differenzierbar, und ihre Ableitung ist gleich der Integrandenfunktion an der oberen Integralgrenze."

Entscheidend am HDI schien / scheint mir die Erkenntnis, dass es eines Beziehung gibt zwischen Integralfunktion im Sinne von Flächenfunktion (!) und Stammfunktion (im Sinne eines rein technischen Umkehrens des Ableitens).
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